Soluzione dell’esercizio 7 dell’esercitazione guidata del 16-12-2009 7. Discutere al variare di a ∈ R le soluzioni del sistema lineare
ay− z = 1 (a − 2)x + 4y − 2z = 2 (2 − a)x + 2y + (1 − a)z = 1 e trovare le soluzioni per a = 2.
Soluzione: La matrice dei coefficienti del sistema lineare `e
A= 0 a −1 a− 2 4 −2 2 − a 2 1 − a .
Ricordando che se si moltiplica per una costante una riga o colonna di una matrice il determinante risulta moltiplicato per tale costante, poich´e la prima colonna `e multipla di a− 2 si ha det(A) = (a − 2)det 0 a −1 1 4 −2 −1 2 1 − a = (a − 2)(a2+ a − 6) = (a − 2)2(a + 3).
Se a 6= 2, −3 si ha quindi det(A) 6= 0 e il sistema ha un’unica soluzione per il teorema di Cramer.
Se a = −3 si ha ρ(A) ≤ 2 ed `e proprio 2 perch´e 0 −3 −5 4 = −15 6= 0, mentre il rango della matrice completa
C = 0 −3 −1 1 −5 4 −2 2 5 2 4 1 `e 3 perch´e 0 −1 1 −5 −2 2 5 4 1
6= 0 e quindi per Rouch´e Capellli il sistema non ha soluzioni.
Se a = 2 le righe di A e di C = 0 2 −1 1 0 4 −2 2 0 2 −1 1
sono tutte proporzionali e quindi ρ(A) = ρ(C) = 1 e il sistema ha ∞2 soluzioni che si ottengono risolvendo una qualunque
delle tre equazioni del sistema, per esempio 2y − z = 1.
L’insieme delle soluzioni `e dunque {(x, y, 2y − 1) | x, y ∈ R}.
