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11 - Derivate delle funzioni elementari

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Academic year: 2021

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Testo completo

(1)
(2)

Funzione costante

f (x) = c

!f

!x

=

f (x

+ !x) " f (x)

!x

=

c

" c

!x

= 0

# f '(x) = 0

(3)

f (x) = mx + p

!f

!x

=

f (x

+ !x) " f (x)

!x

=

(m(x

+ !x) + p) " mx " p

!x

= m

# f '(x) = m

Retta

(4)

f (x) = ax

2

!f

!x

=

f (x

+ !x) " f (x)

!x

=

a(x

+ !x)

2

" ax

2

!x

=

=

ax

2

+ a(!x)

2

+ 2ax # !x " ax

2

!x

= a!x + 2ax

$ lim

!x%0

!f

!x

= 2ax

$ D ax

( )

2

= 2ax

Parabola

(5)

f (x) = x

3

3

3

3

2

2

3

3

2

2

2

0

(

)

( ) (

)

3

(

) 3 (

)

(

)

3

3

(

)

lim

3

x

f

f x

x

f x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

x

x

! "

!

=

+ ! #

=

+ !

#

=

!

!

!

+

$ ! + $ !

+ !

#

=

=

!

=

+ $ ! + !

!

%

=

!

Cubica

(6)

• Generalizzando si ottiene:

f (x) = x

n

n

!!

D x

( )

4

= 4x

3

D x

( )

5

= 5x

4

!

D x

( )

n

= n ! x

n

"1

# estensione al caso n $"

(7)

Funzioni razionali fratte

( )

( )

( )

1

2

2

2

3

2

3

1

1

1

1

2

2

1

n

n

D

D x

x

x

x

D

D x

x

x

x

n

D

D x

n x

!

!

!

!

!

! !

" # =

= !

= !

$ %

& '

" # =

= !

= !

$ %

& '

" # =

= ! (

= !

$ %

!

(8)

Funzioni irrazionali (radicali)

( )

( )

( )

( )

1/ 2

1/ 2

1/ 3

2 / 3

3

2

3

1

1

2

2

1

1

3

3

D

x

D x

x

x

D

x

D x

x

x

!

!

=

=

=

"

=

=

=

"

(9)

Funzione esponenziale

f (x) = e

x

(

)

(

)

0

0

1

(

)

( )

1

lim

lim

essendo (limite notevole)

1

lim

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

e

e

f

f x

x

f x

e

e

x

x

x

x

e

f

e

e

x

x

e

!

+!

!

! "

! "

#

$

!

=

+ ! $

=

$

=

!

!

!

!

$

! =

#

=

!

!

$ =

(10)

Funzione logaritmica

f (x) = log x

(

)

0

(

)

( ) log(

) log

utilizzando il limite notevole:

1

lim 1

si ottiene:

1

1

lim

log

x

x

x

f

f x

x

f x

x

x

x

x

x

x

e

x

f

D

x

x x

x

!"

# !

#

=

+ # $

=

+ # $

=

#

#

#

%

+

&

=

'

(

)

*

# = +

=

#

Riferimenti

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