Esercizio 6 dettagliato

(1)

Riscrivo con maggiori dettagli la soluzione dell’esercizio 6.

a)

Considero il polinomio 𝑥 + 3. Esso si annulla quando 𝑥 + 3 = 0 ⇒ 𝑥 = −3. Per il Teorema del Resto, il resto 𝑅 della divisione 𝑃(𝑥): (𝑥 + 3) è dato dalla valutazione del polinomio 𝑃(𝑥) in 𝑥 = −3, cioè

𝑅 = 𝑃(−3) = 𝑘(−3) − 2𝑘(−3) + 1 = −27𝑘 + 6𝑥 + 1 = −21𝑘 + 1.

Per definizione, il polinomio 𝑥 + 3 divide il polinomio 𝑃(𝑥) se e solo se 𝑅 = 0, cioè se e solo se −21𝑘 + 1 = 0 ⇒ −21𝑘 = −1 ⇒ 𝑘 = + 1

21 b)

Il resto 𝑅 della divisione 𝑃(𝑥): (𝑥 + 3) lo abbiamo calcolato poc’anzi: 𝑅 = −21𝑘 + 1. Sempre per il teorema del resto, il resto della divisione 𝑄(𝑥): (𝑥 + 3) è dato dalla valutazione di 𝑄(𝑥) in 𝑥 = −3, cioè

𝑄(−3) = (−3) − 2(−3) + (−3) = 81 − 18 − 3 = 60 I due resti coincidono se e solo se

−21𝑘 + 1 = 60 ⇒ −21𝑘 = 59 ⇒ 𝑘 = −59 21