Esercizi sui sottospazi vettoriali
1. Dire quali dei seguenti sottoinsiemi sono R-sottospazi di R3 :
{(a, 0, a) | a ∈ R}; {(a, 0, a − 1) | a ∈ R};
{(a, a + 2c, c − a) | a, c ∈ R}; {(a, a + c, ac) | a, c ∈ R}.
2. Dire quali dei seguenti insiemi sono R-sottospazi vettoriali dello spazio P3 dei polinomi a
coefficienti reali di grado minore o uguale a 3: (a) {a0+ a1x + +a2x2+ a3x3 | a0 = a1};
b) {a0+ a1x + +a2x2+ a3x3 | a0− a1+ a2− a3 = 0};
(c) {a0+ a1x + +a2x2+ a3x3 | ai∈ Q ∀i};
3. Dire quali tra i seguenti insiemi sono sottospazi vettoriali: (a) {(x, y) | x2 = y2} ⊆ R2
(b) {(x, y, z) | x = πy} ⊆ R3
(c) {f : R −→ R | f (0) + 2f (1) = 0} ⊆ C(R) = {f : R −→ R | f continua} (e) {f : R −→ R |f (x + 2kπ) = f (x), k ∈ N } ⊆ C(R)
(g) {f : R −→ R |f (x) = f (−x)} ⊆ C(R)
4. Sia V = Mn(K); dire se i seguenti sottoinsiemi sono sottospazi:
{A ∈ V |tA = −A}; {A ∈ V | a
ij = 0 ∀i, j, i 6= j};
GLn(K) (matrici invertibili); {A ∈ V | A2 = A};
{A ∈ V | tr(A) = 2 }; {A ∈ V | tr(A) = 0 }; {A ∈ V | AtA = 0}.
5. Dire se i seguenti sottoinsiemi di R3 sono R− sottospazi vettoriali. In caso affermativo de-terminare la dimensione e, in caso negativo, dede-terminare una base del piu’ piccolo sottospazio vettoriale di R3 che lo contiene.
A = {(x, y, z) : y = x2} B = {(x, y, z) : 2y = x + z} C = {(x, y, z) : y = x + 1}
6. Dire se i seguenti sottoinsiemi di C2 sono C− sottospazi vettoriali eøR− sottospazi vettoriali di C2. . In caso affermativo determinarne la dimensione e, in caso negativo, determinare una base del piu’ piccolo sottospazio vettoriale di C2 che lo contiene.
A = {(z1, z2) : z1 = z2}
B = {(z1, z2) : z1z2 = 1}
C = {(z1, z2) : Im(z1) = Im(z2)}.
7. Dire se V = {A ∈ Mn(R) | A `e nilpotente (ossia una sua potenza `e nulla) } `e un R− sottospazio
vettoriale di Mn(R) con le operazioni usuali.
8. Data una matrice A ∈ Mn(R) tale che detA = 0 si consideri S = {X ∈ Mn(R) : AX = 0}.
Provare che S `e un R− spazio vettoriale (con le usuali operazioni in Mnk) e calcolare dim S.
9. Date A, B ∈ Mn(R) si consideri
E(A, B) = {X ∈ Mn(R) : AX = XB}.
Dire se E(A, B) `e un R− spazio vettoriale (con le usuali operazioni in Mn).
confutare i seguenti fatti: a) Se S 6= V allora < S >6= V .
b) Se dimU + dimW ≥ dimV allora U + W = V .
c) Se dimV = 3 e dimU = dimW = 2, allora U ∩ W 6= ∅. d) Se U ⊕ W = U ⊕ Z allora W = Z.
11. Sia V = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x−y = z+t = 0}. Determinare dimV e una base di V. Determinare inoltre una base e dimensione di V ∩ W e di V + W dove W =< (1, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1) > .
12. Sia V = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x + 2y = z + t = 3x + 1}. Determinare la dimensione e una base di < V > .
(*) 13. Siano P5 lo spazio dei polinomi di grado d ≤ 5 e W = {p(X) ∈ P5 / p(1) = p0(1) = 0},
dove con p0 si indica la derivata di p.
Provare che W `e sottospazio vettoriale di R[x] e determinare una base di W.
Determinare inoltre la dimensione e una base di W ∩ Z dove Z = {p(X) ∈ R[x] / p(0) = 0}.
14. Siano V = {(a, b, c) ∈ R3 | a + 2b − 3c = 0} e W =< (2, 1, 2), (1, 0, 1), (1, 2, 1) >⊆ R3.
a) Dire se (0, 1, 0) ∈ V e se (0, 1, 0) ∈ W b) Determinare una base di V e una di W .
c) Determinare le dimensioni e di W ∩ V e V + W e trovare una base.
d) Determinare un sottospazio Z di R3 tale che W + Z = R3 e W ∩ Z = {(0, 0, 0)}.
15. Siano V = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x − y − z + t = 0} e W =< (1, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 1), (3, 2, 1, 3) > . a) Determinare una base di V e una di W .
b) Determinare la dimensione e una base di V + W c) Determinare la dimensione e una base di V ∩ W .
16. Sia R2[x] = {p ∈ R[x] : deg(p) ≤ 2} e sia V il sottospazio di R2[x] generato da p1 = x+1, p2 =
x + x2, p3 = 1 + ax2. Determinare per quali a ∈ R risulta dim V = 2.
17 Sia S = {A ∈ M2(R) | det(A) = 1}. Provare che S non `e un sottospazio di M2(R) e determinare
una base di < S >.
18 Si consideri C2 come R−spazio vettoriale e sia
V = {(x, y) ∈ C2 / 2x − y = 0} i) Provare che V `e un R-sottospazio vettoriale di C2.
ii) Determinare una base e la dimensione di V.
iii) Determinare un sottospazio W di C2 tale che W + V = C2. e W ∩ V sia il sottospazio nullo.
19 Sia P2 il sottospazio R[X] dei polinomi di grado minore o uguale a 2.
Siano S = {a + bX + cX2 | a ≤ b, c = a − 2b} ⊂ P2 e V =< S >.
i) Determinare un sottospazio non nullo W di P2 contenuto propriamente in V ;
ii) Dire se S = V ;
iii) Determinare una base di V ;
