PROGRAMMA DEL CORSO DI MATEMATICA II PROF. CIARLETTA – PROF.SSA CARLOMAGNO
C.L. IN INGEGENERIA MECCANICA & GESTIONALE (GRUPPO 3) A.A. 2018-2019
ALGEBRA LINEARE: Matrici. Matrice particolari: nulla, diagonale, identità, triangolare. Matrice trasposta. Matrice simmetrica ed antisimmetrica. Le operazioni con le matrici: somma, differenza e prodotto. Matrici a scalini. Il determinante. Regola di Laplace e di Sarrus per il calcolo dei determinanti. Le proprietà dei determinanti. Calcolo del determinante con la riduzione a scala della matrice. Rango di una matrice. Teorema degli orlati. Calcolo del rango con la riduzione a scala della matrice. Matrici inverse. Unicità dell’inversa di una matrice. Sistemi lineari. Sistemi lineari e le matrici. Regola di Cramer. Esempi di sistemi compatibili (caso determinato e caso indeterminato) e sistemi impossibili. Metodo di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari. Teorema di Rouchè-Capelli. Sistemi omogenei di equazioni lineari. Risoluzione di sistemi lineari parametrici. Spazi vettoriali: definizione, proprietà ed esempi. Dipendenza ed indipendenza lineare. Generatori. Basi. Sottospazi: definizione ed esempi. Sottospazio generato da un insieme di vettori. Definizione di autovettori ed autovalori di una matrice quadrata. Autospazio relativo all’autovalore. Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica e relative proprietà. Diagonalizzazione di una matrice quadrata. Teoremi sulla diagonalizzazione di una matrice quadrata. Vettori nel piano e nello spazio. Somma di vettori. Prodotto di uno scalare per un vettore. Parallelismo e complanarità di vettori. Basi di vettori e basi ortonormali. Componenti. Coseni direttori di un vettore. Prodotto scalare. Prodotto vettoriale e prodotto misto. Vettori in base ortonormale: calcolo del prodotto vettoriale e del prodotto misto tramite l’uso dei determinanti.
GEOMETRIA ANALITICA: Geometrica analitica in Rn: rette e piani. Geometria analitica in R2: rappresentazione parametrica e cartesiana in forma esplicita di una retta. Geometria
analitica in R2: rappresentazione cartesiana in forma implicita di una retta; retta passante per due punti; posizione reciproca di due rette; condizione di allineamento di tre punti; distanza di un punto da una retta. Geometria analitica in R3: rappresentazione parametrica
di una retta. Rappresentazione parametrica e cartesiana di un piano. Condizione di parallelismo e perpendicolarità tra due piani e tra un piano ed una retta. Condizione di complanarità di quattro punti. Rappresentazione di una retta di R3 come intersezione di due piani. Retta di R3 passante per due punti. Posizione reciproca di due rette nello spazio. Rappresentazione di una circonferenza. Rappresentazione dell’ellisse. Rappresentazione dell’iperbole. Rappresentazione della parabola.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI: Introduzione alle equazioni differenziali e al problema di Cauchy. Proprietà generali delle equazioni differenziali lineari. Rappresentazione dell’integrale generale di un’equazione differenziale lineare. Equazioni differenziali lineari del primo ordine: integrale generale delle equazioni lineari omogenee del primo ordine, integrale generale delle equazioni lineari del primo ordine. Equazioni differenziali a variabili separabili. Equazioni differenziali della forma y’=g(y/x). Equazioni differenziali della forma y’=g(ax+by). Equazioni differenziali di Bernoulli. Teorema di
Cauchy di esistenza ed unicità locale. Teorema di esistenza e unicità globale. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee: Condizione sufficiente per l’indipendenza di due funzioni. Caratterizzazione dell’indipendenza di due soluzioni. Integrale generale delle equazioni lineari omogenee del secondo ordine; Caratterizzazione dell’integrale generale delle equazioni lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti (dim solo il caso Δ> 0). Equazioni differenziali lineari di ordine n omogenee a coefficienti costanti. Risoluzione di equazioni differenziali lineari di ordine n non omogenee a coefficienti costanti.
FUNZIONI SCALARI DI VARIABILI VETTORIALI: Cenni sullo spazio vettoriale R2. Elementi di topologia di R2. Limiti e continuità. Derivate parziali. Derivate successive. Teorema di Schwarz. Gradiente e differenziabilità. Relazione differenziabilità-continuità della funzione. Relazione derivabilità-continuità di una funzione. Teorema del differenziale: relazione derivabilità-differenziabilità. Funzioni composte. Teorema di derivazione delle funzioni composte. Derivate direzionali. Derivata direzionale di una funzione differenziabile. Interpretazione geometrica del vettore gradiente. Funzioni con gradiente nullo in un connesso. Massimi e minimi relativi. Condizione necessaria del primo ordine. Condizione necessaria del secondo ordine. Condizione sufficiente. Criteri per lo studio di massimi e minimi relativi con Hessiano nullo. Massimi e minimi assoluti. Formula di Taylor. Formula di Taylor al secondo ordine con il resto di Lagrange. Formula di Taylor al secondo ordine con il resto di Peano.
CURVE ED INTEGRALI CURVILINEI: Definizione di curva. Curve semplici e curve chiuse. Esempi. Curve regolari. Curve regolari a tratti. Vettore tangente. Esempio di curva regolare a tratti. Equazione cartesiana e polare della curva. Versore normale. Curve orientate. Lunghezza di una curva. Teorema di rettificabilità delle curve. Teorema sulla lunghezza di curve equivalenti. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione scalare di variabile vettoriale. Indipendenza dell’integrale curvilineo dalla parametrizzazione della curva. Baricentro di una curva.
FORME DIFFERENZIALI LINEARI: Campi di forze vettoriali. Lavoro di un campo di forze e campi di forze conservativi. Forme differenziali lineari. Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare. Forme differenziali esatte. Teorema di caratterizzazione delle forme differenziali esatte. Relazione esattezza-chiusura. Forme differenziali esatte nel piano. Forme differenziali chiuse. Forme differenziali in un rettangolo. Forme differenziali in un aperto semplicemente connesso. Curve e forme differenziali nello spazio.
Forme differenziali in aperti stellati di R3.
INTEGRALI MULTIPLI: Integrali doppi su domini normali. Teorema di integrabilità delle funzioni continue in un dominio normale di R2. Formule di riduzione per gli integrali doppi.
Baricentro di un dominio normale. Area di un dominio normale di R2. Formule di Gauss-Green. Teorema della divergenza. Formula di Stokes. Formule di integrazione per parti. Formule per il calcolo dell’area. Teorema di cambiamento di variabili negli integrali doppi. Integrali tripli. Integrabilità delle funzioni continue in un dominio normale di R3. Formule di riduzione. Formula di cambiamento di variabili da coordinate cartesiane in polari. Formula di cambiamento di variabili da coordinate cartesiane in cilindriche.
SUPERFICI ED INTEGRALI DI SUPERFICIE: Superfici regolari. Esempi di superfici regolari. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Integrali di superficie. Superfici orientabili. Superfici con bordo. Teorema della divergenza. Formula di Stokes. SUCCESSIONI DI FUNZIONI: Convergenza puntuale e convergenza uniforme. Teorema sulla continuità del limite. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata.
SERIE DI FUNZIONI: Serie di funzioni puntualmente convergente, uniformemente convergente, assolutamente convergente, totalmente convergente. Teorema sulla continuità della serie. Teorema di integrazione per serie. Teorema di derivazione per serie. Serie di potenze: Teorema di Cauchy-Hadamard e Teorema di D’Alembert.
