Universit`a dell’Aquila - Elettromagnetismo e Fisica 2
Nome Cognome N. Matricola Corso di Studio CFU ... ... ... ... ....
Prova scritta - 23/01/2017 Tempo a disposizione due ore e mezza.
Fisica 2 esercizi 1,2 e 3 Elettromagnetismo esercizi 1,2,4 Problema 1
Una nuvola sferica isolante ha un raggio R1, ha una
densit`a di carica uniforme e una carica totale 3Q. Concentrica con questa sfera vi `e un guscio sferico metallico di raggio interno R2 e raggio esterno R3,
come mostrato in figura con una carica −Q.
Determinare: a) il campo a distanza 2R3 dal centro;
b) la densit`a di carica nella superficie interna ed ester-na del guscio sferico metallico; c) a che distanza dal centro il campo elettrico `e massimo ed il suo valore;
d) la differenza di potenziale tra il guscio metallico e il centro. (dati del problema Q = 4 nC, R1 = 1 cm, R2 = 5 cm, R3 = 6 cm)
Problema 2
Nel circuito mostrato in figura determinare: a) la ca-rica sui condensatori con l’interruttore aperto a re-gime; b) la carica sui condensatori con l’interruttore chiuso a regime; c) se dopo essere stato chiuso a lun-go l’interruttore viene aperto, quali sono le cariche dei due condensatori quando `e passato un tempo tx
dall’apertura ? d) nel transitorio, da b) ad a), tro-vare il tempo, te, per cui le correnti nei rami dei due
condensatori sono eguali ed il loro valore.
(Dati del problema R1 = 100 Ω, R2 = 200 Ω, R3 = 80 Ω, C1 = 2µF , C2 = 4µF , f = 12 V ,
tx = 0.5 ms).
Problema 3
Due spire circolari concentriche e complanari di rag-gio R e 2R sono percorse rispettivamente da una cor-rente I e −I come indicato in figura. Determinare a) il campo di induzione magnetica generato al centro del sistema; b) il campo lungo l’asse e in particola-re trovaparticola-re il punto sull’asse dove il campo si annulla; c) il dipolo magnetico equivalente del sistema; d) il campo magnetico sull’asse a distanza 10R confron-tando l’espressione approssimata (dipolo magnetico) con quella esatta.
(dati del problema: R = 2 cm, I = 7 A)
Problema 4 Il circuito mostrato in figura `e alimentato con un genera-tore di cui pu`o essere variata la frequenza. Determinare: a) la corrente efficace approssimativamente fornita dal ge-neratore se la pulsazione vale ω1 (notare come ω1L R e
inoltre . . .); b) la potenza media erogata dal generatore se la pulsazione vale ω2 ; c) la pulsazione per cui il circuito `e
puremente resistivo (antirisonanza); d) la impedenza alla antirisonanza.
(dati del problema tensione efficace del generatore Vef f =
2 V , L = 1 µH, C = 10 nF , R = 2 Ω, ω1 = 100 rad/s,
Soluzioni: Problema 1
a)
La carica totale `e pari:
Qtot = 3Q − Q = 8 nC
Quindi a distanza 2R3 dal centro il campo `e radiale e vale:
E(2R3) =
Qtot
4πεo(2R3)2
= 5 · 103 V /m b)
All’interno del guscio metallico il campo `e nullo quindi sulla superficie interna deve essere indotta una carica eguale ed opposta a quella della nuvola isolante.
Quindi sulla superficie interna del guscio metallico la densit`a di carica `e: σ2 = −
3Q 4πR2
2
= −3.82 · 10−7 C/m2
Mentre sulla superficie esterna per la conservazione della carica deve esserci una carica Qtot =
8 nC. Quindi la densit`a superficiale vale: σ3 = Qtot 4πR2 3 = 1.77 · 10−7 C/m2 c)
Per la legge di Coulomb sull’esterno del guscio metallico il campo vale: E(R3) =
σ3
εo
= 2 · 104 V /m
Mentre sul bordo della nuvola isolante vi `e il valore massimo del campo elettrico: E(R1) =
3Q 4πεoR21
= 1.08 · 106 V /m d)
la densit`a di carica della sfera interna `e: ρ = 3(3Q)
4πR3 1
= 0.0029 C/m3 Quindi il campo per 0 ≤ r ≤ R1 vale:
E(r) = ρr 3εo
La differenza di potenziale tra il bordo della nuvola `e il centro vale: DV1 = Z R1 0 E(r)dr = ρR 2 1 6εo = 5.4 kV
mentre il campo per (R1 ≤ r ≤ R2):
E(r) = 3Q 4εoπr2
La differenza di potenziale tra l’interno del guscio metallo e il bordo della nuvola: DV2 = Z R2 R1 E(r)dr = 3Q 4πεo 1 R1 − 1 R2 = 8.6 kV In totale la differenza di potenziale vale:
DV = DV1 + DV2 = 14 kV
Problema 2 a)
Con l’interruttore aperto a regime entrambi i condensatori hanno una differenza di potenziale ai capi pari a f per cui le loro cariche sono rispettivamente:
Q1a = C1f = 24 µC
Q2a = C2f = 48 µC
b)
Con l’interruttore chiuso a regime scorre nel circuito una corrente: Ic=
f R3+ R2
= 43 mA quindi la carica del primo condensatore sar`a pari a:
Q1c = C1IcR3 = 6.8 µC
mentre l’altro:
Q2c = C2IcR2 = 34 µC
c)
I due condensatori si caricano dalla carica iniziale a quella finale con due costanti di tempo diverse:
Q1(t) = Q1a+ (Q1c− Q1a)e−t/τ1
con τ1 = C1(R1+ R2) = 0.6 ms. Mentre la carica sull’altro condensatore `e:
Q2(t) = Q2a+ (Q2c− Q2a)e−t/τ2
con τ2 = C2(R3) = 0.8 ms. Quindi:
Q1(tx) = 16 µC
Q2(tx) = 45 µC
La corrente sul ramo del primo condensatore `e:
I1(t) = I10e−t/τ1
con I10= (Q1a− Q1c)/τ1 = 29 mA.
Mentre quella sul ramo del secondo condensatore `e: I2(t) = I20e−t/τ2
con I20= (Q2a− Q2c)/τ2 = 43 mA.
Sono eguali per:
I10e−te/τ1 = I20e−te/τ2
te= log(I20/I10)/(1/τ2− 1/τ1) = 0.28 ms
Ie = I10e−te/τ1 = 18 mA
Notare che nel testo del problema di esame era erroneamente posto R2 = 300 Ω per cui non vi
era soluzione nel punto d)
Problema 3 a)
Il campo generato al centro di una spira tonda di raggio r vale: Bz =
µoI
2r
quindi nel caso specifico, assunto come asse delle z la normale uscente passante per il centro, si ha la sovrapposizione di due spire circolari:
Bz = µoI 2 1 R − 1 2R = 0.11 mT b)
Il campo generato sull’asse vale nel punto generico z per una spira di raggio r: Bz =
µoIr2
2(r2+ z2)3/2
quindi nel caso specifico:
Bz(z) = µoIR2 2 " 1 (R2+ z2)3/2 − 4 (4R2+ z2)3/2 #
Che si annulla per:
1 (R2+ z2)3/2 = 4 (4R2+ z2)3/2 z0 = ±R s 4 − 42/3 42/3− 1 = ±1.97 cm c)
Il dipolo magnetico vale:
mz = Iπ(R2− 4R2) = −3IπR2 = −0.026 Am2
d)
Il valore del campo approssimato per z = 10R: Bza(10R) =
µ0mz
2π(10R)3 = −0.66 µT
che non si discosta dal valore esatto: Bz(z) = µoIR2 2 ( 1 [R2+ (10R)2]3/2 − 4 [4R2+ (10R)2]3/2 ) = −0.61 µT Problema 4 a)
Essendo ω1L R, ma anche 1/(ω1C) R praticamente `e come se ci fosse solo la resistenza
quindi:
Ie =
Ve
R = 1 A b)
L’impedenza totale vale:
Z = 1 jωC + 1/(R + jωL) = R + jωL 1 − ω2LC + jωRC Razionalizzando: Z = (R + jωL)(1 − ω 2LC − jωRC) (1 − ω2LC)2+ (ωRC)2 = R − Rω2LC + ω2LRC (1 − ω2LC)2+ (ωRC)2 + jω L − ω2L2C − R2C (1 − ω2LC)2+ (ωRC)2 Per ω = ω2 si ha che: ZR= 0.22 Ω ZI = −6.6 Ω Quindi: |Z| =qZ2 R+ ZI2 = 6.6 Ω La corrente efficace `e: Ie = Ve |Z| = 0.3 A Lo sfasamento tra corrente e tensione vale:
ϕ = − arctan ZI ZR
= 88o Quindi la potenza media del generatore vale:
Pm = VeIecos ϕ = 20 mW
si noti come:
c)
La pulsazione di antirisonanza `e quella per cui:
L − ωr2L2C − R2C = 0 ωr = s 1 LC − R2 L2 ≈ 1 √ LC = 10 7 rad/s d)
L’impedenza alla antirisonanza vale: Zr = R − Rω2 rLC + ω2rLRC (1 − ω2 rLC)2 + (ωrRC)2 ≈ L RC = 50 Ω
