Programma del corso di Analisi Matematica I / Analisi Matematica II - 1 Modulo (a.a. 2019/20)

PROGRAMMA DEL CORSO DI

ANALISI MATEMATICA I / ANALISI MATEMATICA II

(Modulo 1)

CORSO DI

L

M

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2019/20

P

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L

C

1. Nozioni di teoria degli insiemi

Insiemi, elementi, proprietà. Simboli logici. Funzioni o applicazioni. Funzioni iniettive, suriettive e biettive. Restrizioni e prolungamenti. Funzioni composte. Insieme prodotto e relazioni binarie: relazioni di equivalenza, relazioni d’ordine, relazioni d’ordine totale e relazioni d’ordine stretto. Principio del buon ordine in N. Principio di induzione e applicazioni.

2. I numeri reali

Gli assiomi dei numeri reali e conseguenze. Numeri naturali, interi, razionali. Non completezza dell’insieme Q dei numeri razionali. Valore assoluto di un numero reale: definizioni e alcune proprietà. Interpretazione geometrica di R e R2. Massimo e minimo di un insieme numerico: definizioni e unicità. Estremi di un insieme numerico: definizioni e caratterizzazioni. Ulteriori proprietà dei numeri reali: proprietà di Archimede, densità di Q e di R \ Q in R e conseguenze. Insieme ampliato dei numeri reali. Intervalli di R. Coppie di insiemi separati e coppie di insiemi contigui. Caratterizzazione degli insiemi contigui.

3. Funzioni reali

Funzioni reali. Combinazione e composizione di funzioni. Massimo, minimo ed estremi di una funzione reale: definizioni e caratterizzazioni. Rappresentazione cartesiana e grafico. Funzioni pari, dispari, periodiche: definizioni e proprietà geometriche. Funzioni monotone. Iniettività delle funzioni strettamente monotone. Successioni reali. Successioni limitate; estremi di una successione. Successioni monotone. Successioni estratte. Il numero di Nepero (senza dim.). Proprietà delle potenze n-sime di numeri reali positivi. Esistenza della radice n-sima di un numero reale positivo (senza dim.).

4. Funzioni elementari

Funzione lineare, funzione valore assoluto, funzione potenza n-esima, funzione radice n-esima, funzione potenza ad esponente razionale, funzione esponenziale, funzione logaritmo, funzione potenza ad esponente reale, funzioni trigonometriche, funzioni trigonometriche inverse: definizioni e proprietà.

5. Limiti di successioni

Definizione di limite di una successione. Unicità del limite. Limitatezza delle successioni convergenti. Operazioni coi limiti di successioni nel caso della convergenza (senza dim. il caso del rapporto). Limite della somma, della differenza, del prodotto e del rapporto di successioni nel caso generale e forme

indeterminate (senza dim.). Teoremi di confronto: teorema della permanenza del segno e corollari, teorema dei carabinieri. Altre proprietà dei limiti di successioni: confronto di successioni divergenti; successione e successione dei moduli; prodotto tra successioni infinitesime e successioni limitate. Regolarità delle successioni monotone. Criterio del rapporto per le successioni. Criterio di convergenza di Cauchy per le successioni (dim. solo condizione necessaria). Alcuni limiti di successioni fondamentali e infiniti di ordine crescente.

6. Limiti delle funzioni reali

Punti di accumulazione di un insieme numerico. Definizione di limite di una funzione reale. Legame tra limiti di funzioni e limiti di una successione. Limite da destra e limite da sinistra. Proprietà dei limiti di funzioni (senza dim.): unicità del limite, operazioni con i limiti, forme indeterminate, risultati di confronto, limiti delle funzioni monotone, limite delle funzioni composte. Limiti delle funzioni elementari agli estremi del loro insieme di definizione.

7. Continuità delle funzioni reali

Definizione di funzione continua. Classificazione dei punti di discontinuità. Continuità della somma, differenza, prodotto e quoziente di funzioni continue. Continuità delle funzioni composte. Teorema della permanenza del segno per funzioni continue e conseguenza. Teorema degli zeri. Primo teorema dell’esistenza dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass (senza dim.). Secondo teorema dell’esistenza dei valori intermedi. Criterio di continuità delle funzioni monotone. Teorema sulla continuità delle funzioni inverse (senza dim.). Continuità delle funzioni elementari. Limiti notevoli.

Testi consigliati:

P. Marcellini – C. Sbordone: Analisi Matematica uno, Liguori Editore M. Troisi: Analisi matematica I, Liguori Editore

P. Marcellini – C. Sbordone: Esercitazioni di Matematica I, Liguori Editore

A. Alvino – L. Carbone – G. Trombetti: Esercitazioni di Matematica I, Liguori Editore