Equazioni differenziali ordinarie quasi lineari con condizioni quasi lineari. Unicit~ e dipendenza della soluzione dai dati (*).

Equazioni differenziali ordinarie quasi lineari con condizioni quasi lineari. Unicit~ e dipendenza

della soluzione dai dati (*).

di @IUSEI~PB SANTA~A'rI (a Catania).

Santo. - Viene studiato il problema ai limiti:

(E) ~ = A(t)x + g(t, x) (C) f d F x = H x

d

h

in ipotesi di Carathdodory, trattando le seguenti questio,,i:

l'esistenza e l'unicit4 della soluzione; la dipendenza continua della matrice di GI~EE~

del problema dai dati A(t) ed F(t); la dipendenza continua della sotuzione del problema dai dati A(t), E(t), g(t~ x), J~.

S u m m a r y . - The boundary value problem:

(E) x = A(t)x + g(t)~)

(c)

J d F x = H x

h

is studied under hypothesis of Carathdodory. The following questions are analyzed:

existence and uniqueness of the solution; continuous dependence of the Gnrm=~'s m a t r i x of the problem on the da~a A(t) and F(t); continuous dependence of the

solution of the problem on the data A(t), F(t}, g(t, x), H.

S i c o n s i d e r i il p r o b l e m a :

(E) x = [ A ( t ) z + g(t, x)

( c) f dFx = Ha

d A

d o v e A(t) ~ u n a m a t r i e e r e a l e di t i p o n X n d e f i n i t a n e l l ' i n t e r v a l l o A - - I n , b],

= ~c(t) i~ u n n - - v e t t o r e r e a l e :

xl(t))

x ( t ) = . . .

\ x . (t)

(*) L a v o r o eseguito nell'ambito dell'attiviti~ del G-ruppo di ricerca n. 6 del Comitato per la matematica del C./~.~. per l ' a n n o accademico 1961-62,

336 G. SANTAGATI: Equazio.~ differcnziali ordinarie quasi lineari, ecc.

definito in A C~), x : d x e g(t, u ) s o n o n - v e t t o r i reali, il primo definito in h e d il secondo in h }( R,(2); inoltre F = F ( t ) ~ u n a nmtriee reale di tipo n X n a variazione limitata in h, c o s i c c l ~

f dFx,

t h e ~ un integrale di

A

STIELTJES~ r a p p r e s e n t a una ),~--upla di funzionali reaIi lineari e continui

sullo spazio di BANAC~ ~ dei vettori ad n componenti reali, funzioni conti- n u e in A con la n o r m a :

[ [ ~ v l l ~ - - : m a x ! x(l) I , I x(t) i : '~ I xi(t) I (a);

A / = I

H ~ invece una n - u p l a di funzionali reali, continui su ~ , non necessaria- mente lineari.

Tale problema, t h e pub r i g u a r d a r s i come una generali~,zazione dei problemi lineari, ~ stato r e c e n t e m e n t e studiato da G. PUL¥IREN~I (efr.[5])(4], il quale ha stabilito dei risultati in merito a l F e s i s t e n z a di almeno una soluzione i n ipotesi di C.~RAT~O]:)O~ servendosi dei metodi d e l F a n a l i s i funzionale e p r e c i s a m e n t e del teorema del punto unito.

A p p a r e n t e m e n t e , hello studio dei problemi lineari gli sforzi maggiori sono stati rivolti alla ricerea di soluzioni (err. ad es., anche p e r la biblio- grafia, [1], [2], [3]); la questione della loro unieita sembra, invece, sia stata s t u d i a t a p r e v a i e n t e m e n t e in casi piuttosto particolari. Degno di nora ~, in proposito, un risultato di R. COATI (cfr. [1] teor. 2 p. 115) r e c e n t e m e n t e migliorato da P. S A ~ o R o (cfr. [7]), in cui la condizione accessoria (C) i~ del tipo p a r t i e o l a r e :

( C') f dFx = c

A

c essendo u n a m a t r i c e reale di tipo n X 1 e costante.

Meno ancora ~ noto circa la dipendenza delle soluzioni dai dati; sono in proposito, degni di essere notati, nella scarsa letteratura, due lavori di W . M . WI=[¥BU]{:N (cfr. [9], [10]) nei quati tale dipendenza ~ s t u d i a t a in rela- zione a condizioni del tipo polilocal% la continuit'~ essendo intesa nel senso di W . L . HART [4].

(t) 2~vvertiamo che iL prodotto t r a ma~rici ~ inteso r i g h e p e r colonne.

(~) I a d i c h i a m o con /~n Io spazio euclideo reale ad n d i m e n s i o n i .

(3) I n g e n e r a l e se M = ( m i l ~) ~ u n a m a t r i c e qualunque~ porremo, come di c o n s u e t o :

I i 1 = ~ l~'~i

i, 7~,

(4) I h u m e r i i n [ ], q u i e n e l seg,ait% si riferiscono alla b i b l i o g r a f i a r i p o r t a t a alia fine del p r e s e n t e lavero.

G. SA~AGATI:

Equaz om differenzi(di ordi~arie qt~asi Iineari, ecc.

337 Nel prescnte lavoro mi oceupo dello studio del p r o b l e m a

(E)(C)

con r i f e r i m e n t o alla questione deW unicith della soluzione nonch~ a q u e l l a della dipendenza c o n t i n u a di essa dai dati in ipotesi di C~.RAT~ODORY, i n t e n d e n d o per soluzione del problema (E)

(C),

c o m e di eonsueto, un n - v e t t o r e

x(t)

a s s o l u t a m e n t e continuo in ~ verificante la

(C)e,

quasi o v u n q u e in A la (E).

0ttengo~ cosi, il t e o r e m a di unicith del n. 2, che generalizza quello di R. CoaTI relativo al problema (E)

(C%

e i teoremi del n. 5 r i g u a r d a n t i la dipendenza c o n t i n u a della soluzione del p r o b l e m a in esame dai dati F(t),

A(t), H, g(t, u).

~ e l n. 3 dimostro tre l e m m i p r e l i m i n a r i utili per la trattazione fatta nei n u m e r i suecessivi; nel n. 4, invece, due teol'emi r i g u a r d a n t i la dipen- denza c o n t i n u a della m a t r i e e di GnEE~ del p r o b l e m a in esame dai dati

F(t)

ed

A(t),

utili, questi, per la dimostrazione dei teoremi del n. 5, riguar.

danti la d i p e n d e n z a c o n t i n u a della soluzione del problema

(E)(C)

dai dati

F(I)

ed

A(t).

Nel n. 6 dimostro, con t e c n i c a d i f f e r e n t e da quella a d o p e r a t a da G. PULVII~E~t, un t e o r e m a di esistenza p e r il problema (E) (C) nelie ipotesi che interessano la trattazione d e l l ' u n i c i t a e della dipendenza conti.

nua, basandomi su un noto eorollario del t e o r e m a di L . E . J . BROUWER (efr. [1] p. 112).

II n. 1 g dedicato ad a l c u n e questioni p r e l i m i n a r i r i g u a r d a n t i la traduo zione del problema (E)(C) in f o r m a integrale nonchg a l c u n e convenzioni; ci6 allo scope di r e n d e r e piit o r g a n i c a e pifi snella ta trattazione degti argo- m e n t i svituppati nei h u m e r i successivi.

1 . - Considerate il p r o b l e m a ( E ) ( C ) e supposte

A(t)e g(t, u)

soggette alle condizioni di CAI~ATH]~ODO~¥ (cfr.

i~) e iig)

del successivo Teor. Io), facile vedere che esso si pub porre sotto f o r m a inlegrale nel modo seguente.

Si consideri il p r o b l e m a omogeneo associato:

(Eo) y -- A(t)y

(Co) ( d F y : O

h

(0 m a t r i e e nutla di tipo n N 1), e posto:

DA,~ = frillY(t)

2~

dove

Y(t) b

u n a matriee f o n d a m e n t a l e di (Eo), ad esempio quella prin-

J n n a l i d i M a t e m a t i c a 43

338 G. SANTAGATI: Equazio~v$ differcnziali ordi~arie quasi lineari, ecc.

cipale (~), come s u p p o r r e m o nel seguito della p r e s e n t e nota (~), sia:

(1A, F) det DA, F@=O

it t h e equivale a s u p p o r r e t h e il p r o b l e m a (E0)(Co) a m m e t t a solo la solu- zione nulla.

Sia, allora, x(t) una soluzione del p r o b l e m a (E) (C); 6 facile verificare ehe x(t) soddisfa l ' e q u a z i o n e funzionale:

(2)

- - i T 1

h

t

+ ~(t)Ti(s)g(s, ~(s))ds, t E a

e i n v e r s a m e n t e che se x(t) ~ u n a soluzione di (2), essa ~ anche solu- zione del p r o b l e m a ( E ) ( C ) .

I1 problema (E) (C) risulta, pertanto, e q u i v a l e n t e a l l ' e q u a z i o n e fun- zionale (2).

Se introduciamo, ora, la m a t r i c e di GR]~E:~:

(3)

/

^{' - - i [" b - - I - - 1}

- - Y(t)DA,~ ] d F l ( z ) Y ( s ) + Y(t)Y(s) a ~ s < t ~ b G~,y(t, s) = 1

(

- - Y(t)D,4, F dFY(~) Y(s)

;

a ~ t ~ s ~ b, la (2) si s c r i v e :

_1 [

(4) x(t) --" Y(t)DA,~Hx + GA,~(t, s)g(s, :v(s))ds, h

t E A ;

conseguentemen~e il p r o b l e m a (E) (C) risulta e q u i v a l e n t e all' equazione funzionale (4).

(~) Tale, cio~, che Y{a)--.~L I essendo, qai, come nel segaito, la matrice identica di tipo n><n.

(~) Cib non muta nulla nell'ambito nelle nostre considerazioni in quanto ogni altra matrice fondamentale Z(t) di (E0) ~ rappresentata da Y(t)C, essendo C una matrice n X n costante non degenere.

G. SAN~AGA~I: E q u a z i o ~ diffcrcnziali ordinarie quasi lin~ari, ecc. 339 Conveniamo, nel seguito della nora, di indicare

positiva tale che:

I GA, F(t, s) t ~ FA, m (~)

con

rA, F u n a costante t, S E A ,

con KA u n a costante positiva tale c h e :

e c o n :

K A = i m a x [ :Y(t) l , m a x t Y(t) i !

--1

h

v ~ =

l

V i l V l 2 ,..

Vtn t

V2lV~ ^{. . .} W n

V , ~ i ~ ) n 2 .o. ~)nn

(~),

la m a t r i c e che ha p e r e l e m e n t o v ~ la variazione in 5 di F,.~.

2. Vogliamo, era, stabilire il s e g u e n t e t e o r e m a relative all'uniciti~ della soluzione del problema in e s a m e :

TEO~EMA I o. - Se ~ verificata la condizione (1.4,~) ed inoltre le seguenti : iA) A(t) sia misurabile secondo Lebesgue in h e d esista u n a f u n z i o n e

~tA(t) sommabile secondo Lebesgue in A tale che:

I A(t) I ~ ~A(t), t E h,

iig) g(t, u) sia, per ogni fissato valore di u, m~surabile secondo Lebesgue rispetto a t in 5 e, per quasi tutti i valori di t E h, continua rispetto ad u ed esista u n a funzione kg(t) sommabile secondo Lebesgue in h tale che :

] g(t, u) I ~ ~.g(t), t E h, u E B', iiiH) esista u n a costante positiva hH tale che:

I H x l ~ h ~ per x, E ~ (9),

(v) T a l e costante ~ subito v i s t o che esiste.

(s) I,a c o s t a n t e KA esiste in q u a n t o Y(t)eY(t) sono c o n t i n u e in A.

(9) T a l e i p o t e s i ~ i n e s s e n z i a l e p e r l ' u n i c i t h della soluzione. ]~ n e c e s s a r i a per6 p e r l ' e s i s t e n z a , noneh~, come v e d r e m o in seguito, p e r la d i p e n d o n z a c o n t i n u a di essa dai d a t i

F(0 ea A(t).

340 G. SA~AGA~I: Equazioni rlif]('rcnzi,di ,~rdi~arie q,qa.,i lineari, eec.

iv q) aversi:

esista u n a funzione vg(t) sommabile secondo Lebesgue in A tale da

I g(t, u ' ) - - g ( t , u") I ~ v~,(t) l u ' - - u " ] , t E A

t u t r

per ogni coppia u , E R ' ,

vg) esista u n a costante non negativa L H tale da aversi:

I

H u ' - - H u ' l ~ L H l l u ' - - u " l[ g3 per ogni coppia u', u" E ~3.

ViA, 1~, ~, g) risulti :

_1 f

KA I D~,F I L ~ + r~,F %(s)ds < 1,

allora it l~oblema (E) (C) ammette una ed una sola soluzione.

L ' e s i s t e n z a di almeno u n a soluzione p e r il p r o b l e m a (E) (C) eonsegue in base al t e o r e m a I ° di [5] (~°),

P r o v i a m o n e , allora, l ' u n i e i t ~ .

Siano x'(t) ed ~"(t) due soluzioni di ( E ) ( C ) e q u i n d i d e l l ' e q u a z i o n e funzionale (4); si ha, per t E A :

_i f

x'(t) - - x"(t) "- Y(t)D.4, F [Hx' - - Hx"] + GA, F(t, s) [g(s, x'(s) - - g(s, x"(S))] ds h

da cui, a n o r m a delle ipotesi VH) e ivg), s e g u e :

--1 ; t //

I

x'(t)--~"(t) I ~ I Y(t)ll DA, F I LHII x ' - x ' ' tl ~ + 1'.4,~- vg(s) _] x ( s ) - - ~ ( s ) l d s ~

h

_t f

~ KA [DA, F i LH]I ~'--Od" ]I ~3 2r - rA, F vg(8)d8 [t x t - - g c " [l g3, h

p e r t E A .

(t0) Si o s s e r v i ehe p e r l ' e s i s t e n z a di a l m e n o u n a soluzione di (E) (C} bastano le sole i p o t e s i iA) ~ Jig), iiiH) ed (1A, F). Si iloti~ inoltre, t h e l ' e s i s t e n z a di a l m e n o u n a s o l u z i o n e del p r o b l e m a ( E ) (C) si pub a n e h e p r o v a r e , n e l l e i p o t e s i (1A, F), iA)~ Jig) iiiH) , i v g ) e VH) , f a c e n d o uso di u n iloto e o r o l l a r i o del t e o r e m a di L. E . J . BR01JWER (Cfr. [1] p. 112); eib

s a r h faSto n e l n. 6 del p r e s e n t e lavoro.

G. SANTAGATI: Equazion,i differcnzi~li o rdinarie quasi lineari, etc. 341 Ne v i e n e

e q u i n d i ,

cio~ :

c o n s e g u e n t e m e n t e :

( -, f )

II z ' - x," II ~ g.4 I DA,~, I LH ~- rA, F vg(s)ds I1 x ' - z" II

A

p e r l ' i p o t e s i (ViA, F,H,g):

II x ' - - oY' I] ~ = 0

e l ' a s s e r t o b cost p r o r a t e .

x'(t) =_ x"(t), t E A,

3. - D i m o s t r i a m o i s e g u e n t i l e m m i che ci s a r a n n o u t i l i n e l seguito.

LEMMA I% - Se ~ verificala l' ipotesi iA) del teorema I °, la matriee ¥(t) dipende con continuitO~ dalla matriee A(I) nel senso che per ogni numero r e a l e s > o d possibile determinare un numero reale ~ > o tale ehe per ogni A'(t) misurabile seeondo'Lebesgue in A, per eui / I A ( z ) ~ A'(x) l dz < ~,

~atrive

detta Y'(t) la matrice fondamentale prineipale di (Eo) relativa ad A'(t), risulta:

I y ( t ) - y'(t) I <

per tEA.

C o m i n c i a m o con t' o s s e r v a r e c h e s e A'(t) ~ tale e h e / I f A('c)--A'(x) t dz < 1,

J

h

in virtfi d e l l ' i p o t e s i iA)~ e s s a s o d d i s f a F ipotesi iA,); p e r t a n t o e s s e n d o ]~(t) ed Y'(t)~ r i s p e t t i v a m e n t e , le m a t r i c i f o u d a m e n t a l i p r i n c i p a l i di (Eo) r e l a t i v e a d A(t) ed A'(t), si h a :

t

(5) Y(t) -- I +/A('~)Y(~:)d~ in A

¥'(t) = I + f A'('c)Y'(z)dz in h

342 G. SAN~aGaTI:

Equazio~d clifferenzia, li ordin~trie qt~asi lineari, ecc.

nonch~, sempre in A:

t t

t t

da oui segue:

t

[ g(t) - - Y'(t) I <z K.4 f I A(':) - - A'(~) [

dx -{- f I Y(=)- 1

^a=

in h.

Applicando, allora, il l e m m a di GRONW~LL ( ~ ) n e viene:

(6)

[ Y(/)-- Y'(t)I ~

KAf[A(~)--A'(~) d~

exp

(fl A'(~)I ^dz),tEA.

A A

Avendosi, d ' a l t r a parte :

(7) f [ A'('c) I d~ ~ f l A'(~)-- A('c) d': -~ f l

A(z) I d%

A h A

ed essendo stata scelta la matrice

A'(t)

in guisa tale che:

f l A ' ( ' : ) - A(~) [ dz < 1,

A

si ha in (7), anche a norma dell'ipotesi

iA):

f l A'(=) I & < 1 + fga(~)d~

h h

e quindi nella (6):

(s) t y(t)- r'(t) I < ~Af f.4(-:)- ,,'(~) I d= o~p (

A

1 ÷ f~A('~)d=), t~ A.

h

pq Cfr. a4 es. [6] p. 15.

G. SA~AGA~'I: Equazioni, differenziali ordinarie q ~ s i lineari, ece. 343 P e r ogni n u m e r o r e a l e e ~ o, p r e s o a t l o r a :

~ - - rain. l l ,

KA e x p (1 + f~t.4(z)dz) se A'(t) ~ tale che

r i s u l t a n e l l a (8):

" l A('c) - - A'('c) l d': < 8,

A

I Y(t)-- Y'(t) I <

p e r t E A, e l ' a s s e r t o b cosi p r o v a t o .

LE~t)~A I I o. - Se ~ verificata l'ipotesi iA) del teorema I °, ta matrice

- - 1

Y(t) Y(s), con t ~ s, dipende con continuil& dalla matrice A(t) nel senso che per ogni n u m e r o reale e ~ o ~ possibile determinare u n n u m e r o reale 8 ~ o tale ehe per ogni matrice A'(t) misurabile secondo Lebesgue iu A, per cui f l A(z) ~ A'(x) i d: ~ ~, delta Y'(t) la matrice f o n d a m e n t a l e p r i n c i p a l e di

A

(Eo) relativa ad A'(t), r i s u l t a :

I Y(t):~(s) - - y'(t) y'fs) I <

per t, s E A con t>_s.

Si ha infatti, d a l l a (5):

t

~1 f ~Tt

Y(t)Y(s) = I + A('~)Y('~)Y(s)d% s <_ t, s, t E 5 ;

$

e o u s e g u e n t e m e n t e , a n o r m a del l e m m a [o, ne v i e n e F a s s e r t o q u a l o r a si ml

o s s e r v i che Y(I)Y(s) ~, p e r ogni s E A , la m a t r i c e f o n d a m e n t a l e princi- p a l e di (Eo) r e l a t i v a al p u n t o s.

LEMI~A III°. - Se ~ verificata l'ipotesi iA) del teorema I °, la matrice Y (t) dipende con continuit~ dalla matrice A(t) nel senso che per ogni n u m e r o r e a l e ~ > o ~ possibile determinare u n n u m e r o reale 8 > o tale che per ogni 5, per c u i / I A(~) - - A'(z) ] dz ~ 8, malriee A'(t) misurabile secondo Lebesgue in

A

344 G. SANT2kGATi: Eqtmzioni differenziali ordi+~arie q~asi Ii~eari, ec(~.

delta 7#(t) la matrice fonda+nenlale p r i n c i p a l e di (Eo) r e l a l i v a a d A'~t), r i s u l t a :

p e r t E A .

L ' a s s e r t o c o n s e g u e con dimostrazione

in e s a m e :

--1 wl

I y ( t ) - - :Y'(t) l <

r a g i o n a m e n t o analogo a quello seguito p e r la del lemma I °, q u a l o r a si tenga p r e s e n t e t h e si ha, nel caso

--1 / --1 t

Y(t) = I - - Y('c)A(z) dz

a

i n h .

4 . - Allo scopo di stabilire, nel n u m e r o successivo, dei teoremi riguar-

danti la dipendenza continua della soluzione del p r o b l e m a (E) (C) dai daft, passiamo a dare nel p r e s e n t e numero dei teoremi sulla dipendenza c o n t i n u a della m a t r i e e di GR]~E~ dai daft F(t) ed A(t) del prob]ema in esame.

Gominciamo, a tal uopo, a p r o v a r e il s e g u e n t e :

TEORElVIA I i °. - - S e ~ verifieata la eor, dizione (1A, F ) ed inollre l'ipolesi iA) del teorema i 0, la malrice di Green GA, F(t, s) d i p e n d e con eonlinuit~, d a l l a +nalrice F(t) net senso che p e r ogni m , mero reate s ~ 0 ~ possibite d e t e r m i n a r e u n nu+nero reale ~ ~ o tale che p e r ogni matrice F'(t) a v a r i a . zione l i m i l a t a i n h per cui [ VF_~,, ] ~ , r i s u l t a :

t GA, F(t, s ) - - G A , • , ( t , s) l <

p e r t, s E A .

Cominciamo con l ' o s s e r v a r e the, essendo il d e t e r m i n a n t e di una matrice q u a d r a t a u n a funzione algebrica degli elementi di essa, in virtfi d e l l ' i p o t e s i (1A,~-) ~ possibile d e t e r m i n a r e un opportuno n u m e r o reale positivo ~o tale the, se F'(t) soddisfa la condizione I VF-E, [ < ~o, risulta det Dx, F,=~: o (12).

(i2) I n f a t t i si h a :

d e t DA, F' = d e t [DA, F, - - DA, F + DA, F ] ---~ d e t DA, F + P,

P i n d i e a n d o l a s o m m a d e i d e t e r m i n a n t i c h e f i g u r a n o n e l l o s v i l u p p o d i d e t [DA,F+-- - - D A , F + DA, F] esc]-uso d e t DA, F , e d a v e n d o s i , i n o l t r e , c o m e si v e r i f i c a c o n facili calcoli~

se 2"'(t) ~ t a l e o h e t V F - - F , i < ( 1 :

f P l < M I v~,-F, I

c o n M c o s t a n t e p o s i t i v a ~ n e v i e n e

] d e t DA, F t ] ~ [ d e t DA, F I - - [ P [ ~> [ d e t DA, F [ - - M [ VF--F, ] •

G. SANTAGATI: Equazio~ diffcrcnziali or diuarie quasi lineari, ecc. 345 Si ha, allora, sia per a ~ s < t ~ b che per a ~ t ~ s ~ b :

b

--1 l --1

GA, F(t, S ) - - GA, F,(t,

S ) = -

Y(I)DA, F d F Y ( ~ ) Y ( s ) +

$

b b

+ Y(t)DA, F t d F ' Y('~) ~(s) = - - Y(t) [DA, F - - DA, F, dFY(z) Y(s) - -

s

~1 ( b --1

- - Y(t)DA,F, d ( F - - F')Y(z) Y(s)

s

nonch~:

--1 --1

K 3

(9)

I GA, F(t, S)-- GA,F,(t, S) [ ~ A [ DA, F - - DA, F,[[ VF I %-

+ K~ IDA,

F

^t [[ V F - - F, [ , t, s 6 A .

D' altra pa,rte risulta:

e q u i n d i :

DA, F,-- DA, F - - / d F ' Y ( t ) - - ] ' d F Y ( t )

h A

= ~d(F'-- F)Y(t)

h

IDA, F ' - DA, F [ ~ KA ] VFt--F ]

da cui, osservando t h e :

- - I --I - - I - - i

OA,F

^--

DA, F,--

DA,F(DA, w - - DA,

F)OA, F,

Conseguentemente, considerato il n u m e r o reale I det

DA, F i

M della (1A,F), e posto:

¢ o : min (1, ] det DA, F ] ) M

se F'(t) b tale ehe I

VF--F,I~%

si ha infine:

t det

DA, F,I ~ °

il che p r o v a l'asserto.

, positivo a nornla

A n n a l i di M a t e m a t i c a 44

346 G. SANTAGATI:

Equazion4 differcnziali ordiuarie quasi lineaxl, ece.

ne viene :

0o)

- - 1 - - i ---I - - I

I D,4, F--DA, F 'I ~ I D A , F I I D A , F , - D A , F I I D A , F , I ~

- - 1 - - 1

KA I DA, F

I IDA,

F'

It

VFt--F

^{[ •} Si ha, allora, nella (9):

(11)

t, s E h .

Posto :

- - 1 m l

GA, At, s ) - - G A , F(t, 8) I ~ ( K ~ I DA, FIIDA,F, II VFI -+"

- - 1

-q- K~ IDA, F, t) I VF--F l,

scegliamo, ora, la matrice

F'(t)

in guisa tale che risulti:

(12) [

V~--F, I < ~ ;

allora, essendo, in virtfi della (10) e della (12):

- - 1 - - 1 - - I - - 1 ~ i - - I

IDA, F' I ~ I DA, F, - - DA, F I -k- I DA, F I ~ KA t DA, F,

II DA,FI}

VF--F' t qL

si ha :

- i 1 - - 1 - - i

+ IDA, FI < ~ IDA, F,]"]- [DA, FI

t D A , F '

1

< 2 IDA, Ft e quindi la (ll) di~ luogo alia relazione seguente:

(13)

] GA,F(t, s ) - GA, Ft(t,

S) I < (2K~ IDA,

F] 2 ]VF I + 2K] IDA, F[)]VF--F,[, t, s E A .

P e r ogni numero rea, le ~ >

o,

preso allora:

~ = m i n I ~, - 1 ~ t

2K~ I DA, E I ( KA I DA,F II VF ] -]-1)

t

G. SANTAGATI: Equazio~d di]ferenzi¢tli oJ'di~mric quasi lincari, etc. 347 se F'(t) ~ tale che I VF-s, ] < 8, risulta nella (13):

I GA, F(t, s) ~ GA, F' (t, S) 1 < ~, t, s ~ A.

L ' a s s e r t o ~ cosi provato.

0 S S E I ~ ¥ A Z I O N E ]~a. _ Si noti ehe, in virtfi del t e o r e m a I I o, f e r m a restando t ' i p o t e s i iA), se F(t) ~ una m a t r i e e a variazione limitata in h soddisfacente le ipotesi (1A,F) e viA, F,[4, g), ~ s e m p r e possibile d e t e r m i n a r e un opportune n u m e r o reale positivo ~ tale che, per ogni m a t r i e e F'(t) a va]~iazione Hmi- tara in 5 per cui I VF--F'[ < ~ , valgono la (1.4, v,) e la viA, F , g , g ).

Infatti, a n o r m a del t e o r e m a I I °, assegnato il n u m e r o reale

1 - KA I DA, F [ L H -

rA,

g(8)d8 A

_1 f

2LHK.~ I DA, F]~-] - vo(s)ds h

(19,

positivo in I base

denza un n u m e r o reale positivo ] VF--F, I ~ 8, risulta :

all'ipotesi ViA, F,H,g), ~ possibile d e t e r m i n a r e in corrispon- 8 tale che se F'(t) soddisfa la condizione

per

_1 f

1 - - K~ [ DA, F [ L H - ~A,F Vg(S) d8

]

GA, F,(t, S ) - - G A , F(t, S) t <

_1 [

A

2L~K~

[ DA,~ I ~ +

vg(s)ds

A t, s E A, ave,ndosi, inoltre, i m p l i e i t a m e n t e la (1A, F,) nonehg:

] DA, F, I < 2 I DA, F I.

Si ha, allora, p e r la (10):

I DA, F,r--

I DA, F I ~ I DA, F,--DA, F I <(2KAIDA,FI=I VF-- F' I

(i3) Si noti ehe, il caso in cui tanto L H c h e ) ' v ~ ( s ) d s sono nulli~ b banale in quanto si h a : A

j

-K-41-D~,F, I Z,~ +

r~,

F, vg(s)as = o.

348 G. SANTAGATI: Eq,~azioni diffcret~zioli ordim~ric qtta~si Iineari, etc.

ed i n o l t r e p e r t, s E A :

t GA, F,(t,s) I ~ I GA, F,(t, S ) - GA,F(t, S) I -[- I GA,P( t, S)] <2

1 f

1 -- KA I DA,FI LI4-- gA, F vg(s)ds

< ~ + ~A,r.

2LHK~ [ DA,F 12 -~- vg(8)d8 A

C o n s e g u e n t e m e n t e , a s s u n t o :

_1 f

1 ~ KA ]DA, F I L H - - rA, F %(s)ds F A , F t

z.K31 D-~,~ I ~ + f ~(.)~

J A

s i h a :

_1 f

KA I

DA, F' t LH AV PA, F' yg(8)d8 h

-- KALH[[ D 4,F, ] --

] DA,Ft] -+-

f _1 {

-~- [rA, F,-- rA,F] vg(8)ds'-[- g A I DA,F ] LH-~- PA,F vg(8)ds <

h h

< 2 L H K ~ ]DA, FI ~ ] VF--F, ] +

2LHK~ ] DA, F]~-'~ vg(s)ds A h

j

+ KA ]DA, F ] LH'-~ rA,F vg(s)ds.

h P o s t % a l l o r a :

- - m i n

_1 {

1 - - KA I DA, F ] L H - - [A,F vg(s)ds A

2LHK~ J DA, F ]~ vg(s)ds A

G. S:~N~.~G~':cI : Equ~tzioni di:f]ercnziali ordi~t.a~'iv qua.si lincari, c(~c. 349 si ha, se F'(t) ~ tale che [ Vx:--FI < ~ :

1 f

KA I DA,~, I LH q-FA,~, vg(s)ds ~ 1.

h

L ' a s s e r t o i~ cosl p r o v a t o . D i m o s t r i a m o , era, il s e g u e n t e :

TEOnEMA III°. - Se ~ verificata la condizione (1A,~) ed inollre l'ipotesi iA) del teorema I% la matrice di Green GA, Fft, S) dipende con continuit~ dalla matriee A(t) nel sense ehe per ogni numero reale~ ~ o ~ oossibile determinare u n numero reale ~ ~ o tale che per ogni matriee Al(t) misurabile secondo Lebesgue in h per cui ] I A(z) - - A'('c) I d'c ~ ~, risulta :

h l

I GA,~(t, S)--GA,,F(t, S) I <

per t, s E S.

con l ' o s s e r v a r e ehe se A'(t) ~ tale che [IA('c)--A'(~)ld~ < 1, C o m i n e i a m o

A

in v i r t h d e l l ' i p o t e s i iA), e s s a s o d d i s f a l ' i p o t e s i iA1) ed inoltre, e s s e n d o il d e t e r m i n a n t e di u n a m a t r i c e q u a d r a t a u n a ~unzione a l g e b r i c a degli e l e m e n t i di essa, a n o r m a d e l l ' i p o t e s i (1A.x:), ~ p o s s i b i l e d e t e r m i n a r e u n o p p o r t u n e n u m e r o r e a l e p o s i t i v e to tale che se A'(t)soddisfa la e o n d i z i o n e / [ A ( ~ ) - -

A'(x) I d : < to r i s u l t a p u r e det D.4,, F :4: o (~).

(~4) Si h a i n f a t ~ i , sc A'(t) ~ tale e h e / I A ( z ) - - A ' ( ~ ) I d t ~ l : h

det DA,, F ~ dot [DA,, F - - DA, F-t- DA, F | ---- det DA, F - l - Q

Q indieando la somma dei d e t e r m i n a n t i che figurano rtello sviluppo di det IDA,, t r - -

~ DA, F-I- DA, F] eseluso det 1)A,F.

Avendosi, inoltr% come si v e r i f i c a f a c i l m e n t e :

I Q I ~ N max I Y(t)-- :Y'(~) I A

350 G. SA~TAGAT~: Equazion~ differenzitdi ~rdi;mrie quasi linear i, ccoc.

Siano, allora, Y(t), Y'(t) le m a t r i c i f o n d a m e n t a l i principali di (Eo) deter.

minato, rispe~tivamente, in corrispondenza delle m a t r i c i A(t) eel A'(t).

Si ha, suppos~o, per fissare le idee, a _ ~ s < t ~ b:

b

G.~,F(t, s ) - GA,,F(t, S) -- - - Y(t)D,~,F I dFY(x)Y(s)-1- Y(t)Y(s) q-

s

--i [ b --i --I

q- Y'(t)DA,, FJ d F Y ' ( ~ ) Y ' ( s ) - Y'(t)Y'(s)=

s

b b

--I f --I --I --i

Fir

^{- i}

= - - [Y(t) - - Y'(t)] D,4, F dFY(~) Y(s) -- Y'(t) [DA, F - - DA,, dFY(~) Y(s) - -

8

b

- - ¥'(t)DA,, v ] dF[Y(z)Y(s)-- Y'(~)Y'(s)] + Y(t) Y(s) - - Y'(t) Y'(s)

8

so A'(t) b tale ehe ( t A(~) - - A ' ( z ) l d v < t o i , toi e s s e n d o u n o p p o r t u n e n u m e r o reale positive A

d e t e r m i n a t e a n o r m a d e l l o m m a ]o ed N u n a costante positiva~ n e ariene:

[ d e t DA,,FI~=~I det DA, F I - - I Q l ~ - - l d e t DA, F I - - N m a x I Y ( t ) - - : Y ' ( t ) l . A

C o n s i d e r a n d o , ora~ il n u m e r o reale I d e t /)A, F / p o s i t i v e p e r l ' i p o t e s i (IA, F), s e m p r e 2 N "

a n o r m a del l e m m a I e, b possibile d e t e r m i n a r e i n c o r r i s p o n d e n z a u n n u m e r o r e a l e p o s i t i v e tale che so At(t) soddisfa la condiziorte t I A(z) - - At(x) I d~ < t% r i s u l t a :

0) 2

]

h

I dot DA,FJ I t r ( t ) - It'(t) I < 2 N

p e r t e t ~ e q u i n d i :

Posto a l l o r a :

m a x [ It(t) - - ¥ ' ( t ) [ < 1 dot DA, F i

- - 2N

h

to ~ rain (1, toi, to~),

se A'(t) tale ehe f l A ( z ) - - A ' ( z ) [ d ~ % si h a i n f i n e : h

I det /)A,~ I > o

I det D A , , F [ ~ I det DA, F[ - - - 2 e l ' a s s e r t o ~ eosi~ p r o r a t e .

G. SANTAGATI:

Equazio~d diy]erenziali ordinarie q~asi linea/ri, etc.

351

n o n c h ~ : (14)

- - 1

1 GA,F(t, 8 ) - GA,,F(t, 8) 1 ~ i Y(t) - - Y'(t)II DA, F 1 K~ I VF I "1-

-t- L :Y'(t)II DA,~e-- D,4,, F t K 2 1 VF 1 -t-

- - i - - i - - 1

-1- I Y'(t) 11 DA,, F I1 VF 1 m a x I Y(~)~(s) - - Y'(':)Y'(s) I -t-

h

- - 1 - - I

+ I : Y ( t ) ~ ( s ) - Y'(t)]z'(s) I.

A n o r m a del l e m m a I °, a s s e g n a t o il n u m e r o 1, ~ p o s s i b i l e d e t e r m i n a r e in c o r r i s p o n d e n z a u n n u m e r o r e a l e ~ 1 > o tale ehe, se

A'(t)

s o d d i s f a la c o n d i z i o n e j [ A(~) - - A'(':) I d'c < ~1, r i s u l t a :

/ z~

I Y ( t ) - - I'(t) l < 1

p e r t E h e quindi, s e m p r e in h :

(15) I y'(t) I ~ I ~ ' ( t ) - :v(t) I + I Y(t)

I

< 1 + Ka.

D ' a l t r a p a r t e si h a :

n o n c h ~ :

DAI, F--DA, F - - - f d F Y ' ( t ) - - f d F Y ( t ) - - f dF[Y'(t)-- Y(t)]

h h h

I Da,, F - - Da, F I ~ I V~ I m a x 1 Y'(t) - - Y(t) 1

h

d a cui~ o s s e r v a n d o c h e :

- - I - - I - - I - - I

D.4,F -- DA,, F -- DA, F(DA,,F -- DA,~) D~,, F

u e v i e n e :

(16)

I DA, F--DA,,FI <<. [DA,,FIIDA,,F--DA, F]IDA,,FI ~'

^{- - 1 --I - - I - - I}

- - 1 - - 1

<-- I DA, F II D z , F II V~ f m a x I ]Z'(t) - - ]z(t) I • h

352 G. SA~AaA~I: Equazio~i di]'fercnziali ordi,~arie qua..~i lineari, ccc.

Assegnato, ora, il n u m e r o r e a l e positivo i -~ (~), s e m p r e a nor-

2t vy II DA,~ [

m a del l e m m a I °, esiste in c o r r i s p o n d e n z a u n n u m e r o reaIe ~2 > o tale che, se soddisfa la condi~ione [ [ A(~:) ^-- A'(~) 1 d'~ < ~2 si h a in h :

A'(t)

J

A

(17) I Y ( t ) - Y'(t) I <

1 ^{_ ~}

;

2 1 V F I I D A , FI allora, essendo, in virtfl della (16) e (17):

--I - - i - - I --I --i - - i

I DA,,FI ~ I D A , , F - - D A , FI + IDA, El --<' I DA, FII DA,,FII V~,[ max i Y'(t)--

h

- - 1 1 - - 1 - - 1

--~(t) I+IDA, FI--< 21Dz,~f+IDA,~I

ne s e g u e :

(18) I DA,,r I <:-- 2 I DA, F[ •

P o s t o :

- - r a i n (51, ~,, o)),

si ha, allora, n e l l a (14), se A'(t) ~ tale ehe f ] A(z) - - A'(z) [ dz < g, a n o r m a h

delle (15}, (16) e (18):

- - 1

(19) I GA, ~(t, s) - - GA,, ~(t, s) I ~-' [ Y(t) - - Y'(t) II DA, F I K~ [ VF I +

- - 1

+ 2K.~(I + Ka) I V~. ]~ IDA, F 12 m a x I Y(t) - - Y'(t) I + h

- - 1 - - 1 - - 1

2(1 -~ Ka) L DA, e 11 V~- I m a x b Y ( z ) Y ( s ) - Y'(':)Y'(s) h

- - 1 - - 1

-t- I Y(t):Y(s)- Y'(t)Y'(s) l .

+

(~) Si noti ehe non pub essere I VFI ~ 0 perch,, se eo~ fosse, si avrebbe I DA,FI ~---0 e quindi det DA,F=O, eib ohe b contro la (1A.F).

(.~. SANTAGATI:

Equazioni diffcrenziali ordi~a~'ie quasi lineari, ecc.

353 Osserviamo, ora, ehe, in virtfl dei Iemmi I ° e 11% per ogni

r e a l e s > o , considerato iI n u m e r o :

n u m e l : O

~ I - - I - - I

K~ ! DA, F [i

VFI "+" 2K~(1 + K~)IDA, FI ~ ] VF[~+

2(1 +

KA) IDA, FI] VF[ + 1

si possono d e t e r m i n a t e in corrispondenza due n u m e r i reali positivi ~. e ~4 tali che, se

A~(t)

soddisfa le eondizioni:

f t A(*) - - A'(z) I dz < Sa, f I A0:) -- A'(~:) I d* < a,,

A A

risutta, rispettivamente ^:

<

I Y ( t ) - Y'Ct) I <

- - i --1 - - 1

K~ I

DA ~'

II Vpl

+ 2K~(t + KA) in h, e:

_ _

DA,FI~ I Vrl

f Y ( t ) Y ( s ) - y'(t)y'(s)

.+.2(1

+ KA) I DA, F[ ]

VF I + 1

<

- - i - - 1 - - i

K.~ [DA, F II VF ] + 2K~(1 +

KA) ] A, F I ] VF 1~+

D 2(1 + KA) [DA, F

]] VF I + 1

per s, t E A con s ~ t .

Posto, q u i n d i :

= rain (~, ~3 $~)

si ha, in definitiva, nella (19), se A'(t) ~ tale che ]'t A ( z ) - - A ' ( x ) T d~ < 8:

h

- - 1 - - 1

!

GA,/t, 8)--GA, F(t,s)]

< ( K ~ I D~,FII ^{V F [}

+ 2K3(I+KA) I VV]Z]DA, FI2+

- - 1

+ 2(1 + K~) ]

D~,FI[ VF] +

+ 1 ) - 1 -1 -1 =

n 2

K.~ I DA, Flt VF I

+2K,~(1 + K . a ) l

A, FI I VF]2 @ 2(I + KA) I DA, FiI VFI + 1

per

t,

s E A con t > s .

Annali di Matematiea

354 G. SANTAGATI: Equazioni diffcrc~zi(~li <~rdinarie q ua<~i li+~eari, etc.

L ' a s s e r t o ~ cosi, nel caso in esame, p r o v a t o .

II caso in cui a ~ t ~ s < : b si e s a m i n a con a n a l o g h i p r o c e d i m e n t i .

0 S S E R V . & Z I O N E I i a. - Si o s s e r v i che, a n o r m a (]el t e o r e m a I I I o, se A(t) u n a m a t r i c e s o d d i s f a c e n t e le i p o t e s i (1A, F) , iA) e viA, F,H,g), ~ s e m p r e possi- bile d e t e r m i n a r e u n o p p o r t u n o n u m e r o r e a l e positivo ~ tale che, p e r ogni m a t r i c e A'(t) m i s u r a b i l e s e c o n d o LEB~SGUE in ~ p e r cui ] I A(x) - - A'(z) tdz

zi J

v a ! g o n o la iA,) ]a (1A,,:~) e la via,, F,H,g).

C o m i n c i a m o , infatti, a n o t a r e ehe in ~irtfi dei l e m m i [o e II[°, a s s e g n a t o il n u m e r o r e a l e :

_1 /

v.(s) ds

1 - - K A t D z , F[ L H - - r A , F

h

--1 ~1 f"

4 ( 1 --}-- KA)LHI VF II DA, FlZ"[ - 2 [DA, F [ LH--~ 2 vg(8)d8

(1%

positivo in b a s e a l l ' i p o t e s i v/A, ~. H, g), ~ p o s s i b i l e d e t e r m i n a t e in corrispon- d e n z a due h u m e r i reali positivi to~ ed ¢% tall che, se A'(t) s o d d i s f a le c o n d i z i o n i :

f l A(z) - - A'('~) [ d": ,< o),, ( ] A(z) - - A'('c) [ dz ,< t%

5

r i s u l t a , r i s p e t t i v a m e n t e , in h :

I y(t)--Y'(t) I <

.

1 - - KA I DA, F I L H ~ ~A,F Vg(8)d8 h

--1 --1 /

4(1

^-q-- KA)LH [ VF'[I DA, F 12 "-~ 2 t DA, F t LH Jr 2 va(8)d8

(16) Si noti che il caso in cui tanto LH che / v.q(s)ds sono nulli, ~ b a n a l e in q u a n t o h

si h a :

KA, t DA,, F I 1-~H + IJA,, p ,+~(s)gs = O.

A

G. S.~xTa(:.~:rI:

Equazioni ~{if.fereJ~zSdi ,.)rdi*mri(; qua,~i lincari, ece.

355

--1 --1 t Y ( t ) - - Y ' ( t ) ! <

_1 f

1 - - KA 1 DA, F I L H - - FA, F "/g(8) d8 A

-* -~ /v~,(s)ds

4(I + KA)LH I VFII DA, r[2-t- 2 ] DA,,~ I LH-t- 2

t e qaindi, s e m p r e in 5 :

-1 f

1 - - K A [ DA, F I L H - - f A , F va(s)ds

1 Y'(t) 1 < _ , _ , A

4(1 +

KA)L H I VFI[ D A o p I = - t - 2 IDA, F I LH"]- '2

+KA f vg(s)ds

h

_1 f

1 -- KA I D.~, F I

L H - -

PA,

F Vg(8)d8

I Y'(t) l < --I

--1 --L f

4(1 -1-

K ~ ) L . I VF I1DA, F I'q" 2 I DA, F I

LH-']- 2 vg(s)d8

avendosi, inoltre, i m p l i e i t a m e n t e la

iA,).

Ancora, a n o r m a del t e o r e m a E I o , assegnato lo stesso n u m e r o reale positivo, si pub in c o r r i s p o n d e n z a d e t e r m i n a r e n , n u m e r o reale positivo % tale the, se

A'(t)

soddisfa la condizione f [

A ( z ) - - A ' ( ~ i l d ~

~. % , r i s u l t a :

£

<

I G,~,, F(t, s ) - Ga, F(t, s) I <

--1 /"

t - - K A I I).~,FI L H - r.~,~ %(s)ds

A

--:t --1 f

4(1

q- K~)L~r [ VF il DA,Fi~ d- 2 1 D a , F ! L ~ - ~ 2 v~(s)ds

p e r

t, s E_~,

avendosi i m p l i c i t a m e n t e la (1.~,,F) nonch6 :

si ha, allora, p e r la (16):

I D A , , v t ~ 2 1 D a , vl;

- - i - - I --i - - i - - I

I D~',F]--ID.~,FI ~ I Da',F--D.~,~[ ~ 2 [ VFIIDa, FI2max

^{7t(t) y'(t) [,}

3 5 6 G. S a N ~ a a a ~ t : E q u a z i o , t 4 d i f f c r e n z i a l i ordiua~'ic q t t a s i l i n c a r i , e t c .

ed inoltre, p e r t, s ~ h:

I G~,,F(t, S) [ "< [ G.~,,F(t,s) -- G.~,~(I, s) [ "~-A,F <

1 - -

K~ I Da, F] LH -- P.~,F vo(s)ds

< A

4 ( t q-

K~)L~ I VF

I1D~,~ t ~ ÷ 2 t D.~,~ [ Lz~ q- 2

/vv(s)ds

/

Posto :

"--min (¢ol, m2, %),

se

A'(t) ~

tale c h e f I A('c) -- A'(~:) I d': < ~, assunto :

_l (

1 - - KA IDA, F I L H - - ~A,F va(s)ds

P A ' , E --" --1 --1 A A;_ f ~t,F

4(1 -q-

K.~)LH] V~,

II

D~,FI~q - 2 [ D.,F] L . q - 2 f va(s)ds

h

1 - - K A

1D~,FI L s - - PA, F g(s)ds

K . ~ , = A + K a

4(1

q-K~)LHI VFI[DA,~,]~q-2 I D.~,F I L~-}-2 vg(s)ds

5

si ha, infine, a n c h e a n o r m a della (15):

KA, I D.~,,~'] LH + r.~, ; vg(s)ds =

A

- - i - - I --I

: K.~,LH[] DA,, F I - - IDA, F I ] -'}- [K.~, - - KA] L DA, F [ L ~ -+-

f _i f

-{- [ r A , , ~ , - ~.a,Y] vg(s)ds q- K~ I D.~,F I LH-[- f.~,F %(s)ds

5 h

- - 1 - - 1

_<(2(1

q- K.~)LR I

VFIID.~,FI=q -

I D ~ , ~ I L R +

G. S=~N~:AC~: Equ.ezioni di]fercnz~ati ordinerie quasi literati, etc. 357

1 f

1 - - K A I D.~,FI L H - - r A , ~ . vg(s)ds

+ / vgs)ds) --1 --1 a / +

4 (l q- [V.~)L. l i/~ ll D.~,~.t~ q- 2 [ DA, p! L . q - 2 vgs)ds

+ KA IDA, F [ Lrz + r . ~ , F vg(s)ds < 1.

L ' a s s e r t o ~ cosi p r o r a t e .

5. Dimostriamo, ora, i seguenti teoremi r i g u a r d a n t i la dipendenza con- tinua della soluzione del p r o b l e m a (E) (C) dai dati F(t), A(t), H e g(t, u).

T]~O]~EMA IV o. - Se sono soddisfatte le ipotesi del teorema I °, l~unica soluzio~e del problema (E) (C) dipende con continuit?e della matrice F(t) nel senso vhe per ogni numero reale ~ ~ 0 ~ possibile delerminare un numero reale ~ > 0 tale the per ogni matrice F'(t) a variazione limitata in A per cui ] VF--F, I < ~, dette x(t) e x/(t) rispettivamente le soluzioni di (E) (C) in corrispondenza di F(t) ed F'<t), risulta:

I x(t) -- x'(t) I <

per t E S .

I n base a quanto stabilito n e l l ' o s s e r v a z i o n e I a, esiste un o p p o r t u n e n u m e r o reale positive ~) tale ehe, se F'(t) ~ u n a m a t r i c e a variazione limitata itt A per eui I VF-~, I < ~ , valgono la (ia, F,) e la V/a,F,,mg).

Allora, se x(t) ~ l ' u n i e a soluzione del p r o b l e m a (E) (C), e quindi della equa~ione f u n z i o n a b (4), d e t e r m i n a t a in corrispondenza della matriee asse- gnata F(t) ed ~'(t) ~ quella relativa alia matrice F'(t)~ si h a :

- ~

/GA,

x(t) = Y(t) D~, F H x + gt, s)g(s, x(s))ds in A

x ' ( t ) = Y(t)D.~,F, Hx' -~ G~.F~(t, s)g(s, x'(s))ds in ~ h

n o n c h ~ s e m p r e in A-

x(t) - - x'(t) -- Y(t)D,~, F H x -- Y(t)Da, v,Hx' +

358 G. SANTAGATI:

Equazioni gifferenzi~di ordinarie quasi lincari, ecc.

+ / G~,~(t, 8)g(~, ~(~)) ds - f ~ , ~,(t, s) g(s, ~'(s)) ds =

A

= Y(t)D.cF[HX, -- Hx'] + Y(t)[D.~,F- D.~,F,]Hg +

+ fG~,~(t, s)[g(s, x(s))-g+, x'(s))]ds +

h

+/[G~,,~(t, :)

^-

G:,~,(t, :>]g(:, +<s))d:

A

da eui, a n o r m a delle ipotesi

iiq), iiiH), ivg),

v~) nonch~ della (10), s e g u e :

(20) l x ( t ) - - x ' ( t ) l ~ K ~ i D , ~ , ~ i L H t i x - - g l l ~ +

--1 --1 /

-~- K1h~ l VF-F, II D.~,FN D.~,F, ] -~ r~,F %(s)ds H ~ - - x' [I ~ -~-

A

-]- f ).g(s) ] G~,F(t, s ) - GA,F,(t, S) I ds,

h

per tEA.

Osserviamo, ora, the, per il considerato il n u m e r o :

teorema II% per ogni n u m e r o reale ~ ~ 0,

1 /

1 -

KA I D.~,F t L ~ - - rA, y vg(s)ds

1 /

D 2

4 K ~ h ~ t A,Yl + 2 Xa(s)ds

h

positivo in base alt'ipotesi

viA, F,~,g),

si pub d e t e r m i n a r e in corrispon4enza u n n u m e r o reale positivo ~ tale ehe se

F'(t)

soddisfa la condizione

{VF--F'

] < ~, r i s u t t a :

t Ga, F(t, s ) - G.~,F,(t,

s) I <

_1 /

1 - - K~ t D.~, ~1 L• - - r~,~ %(s)ds

_1 /

h

D ~ )~gs)ds

G. SAN:rXCATI: EquaZio~vi dif]erenziali ordinaxie quasi lineari~ ecc. 359

p e r t, s CA, a v e n d o s i , inoltre, i m p l i c i t a m e n t e :

P o s t o :

- - " m i n

- - 1 - - 1

IDA, F, ~.. 2 I DA,z' I .

_1 f

1 ~ KA [ DA, ~, 1 L ~ - - FA. ~ vg(s)ds

A si ha, allora, in (20) se F'(t) ~ tale che I V~,_~, ] < 8:

1 j

, v~(s)ds I[ x - - x' II~ + t x ( t ) ~ x'(t) I < K.~ t DA,~'I LH H x - - x ' li ~ + FA ~

5

_1 j

1 - - K ~ ]DA, FI LH - - rA, F vg(s)ds

-1- 2 K J h ~ ] D.~,FI '~ a ~ -t-

4 K ~ h ~ I DA, F I 2 + 2 Xg(s)ds

A

÷

_1 l

1 - - K A ! DA, ~[ L H - - FA, F vg(s)ds

4 g ~ h u l DA,~I ~ + 2 Xg(s)ds

f ~g(s)ds

h

p e r t E h, d~ cui~ a n o r m a dell' i po te s i vim, F, H, g), ne viene :

cio~ :

p e r l E A .

2K.~hH [ DA,~I2 + )~a(s)ds

--1 J'

4K,~hH I D a , F 12 -t" 2 Xa(s)ds

h

t x(t) - - x'(t) ] <

L ' a s s e r t o ~ cosi p r o v a t o .

360 G. SANTAG&'I:I: Equazion~ di]ferenziali ordi~,~axie quasi l incari, ccc.

TEOREMA V °. - Se sono soddisfatte le ipotesi del teorema I °, l ~ uniea solu- zione del problema (E) (C) dipende con coutinuit&, dalla matrice A(t) nel senso che per ogni numero reale ~ ~ o ~ possibile determinare u n numero reale

> 0 tale ehe, per ogni matriee A'(t) misurabile secondo Lebesgue in 5 per cui l l A(z A'(x) l dz ~ ~, dette ~c(t) ed x'(t) rispettivamente le soluzioni di

5

(E) (C) in corrispondenza di A(t) ed A'(t), risulta:

f x(t) - x'(t) ] <

per tEA.

I n base a quanto stabilito neW osservazione I I a, esiste un opportuno n u m e r o reale positivo ~ tale c h e s e A'(t) ~ u n a m a t r i c e misurabile secondo LEBESGUE in h per cui / ] A ( z ) - - A ' ( z ) l d x < ~ , valgono la i.~,), la (la,,F)

d

h

e la vi~,~F,~,g). Allora, se x(t) ~ l ' u n i c a soluzione del problema (E)(C), e quindi d e l l ' e q u a z i o n e f u n z i o n a l e (4), d e t e r m i n a t a in corrispondenza della m a t r i c e assegnata A(t) ed x'(t) ~ quella relativa alla m a t r i c e A'(t), si h a :

x(t) -- ~(t)DA, F t l x + G~,F(t, s)g(s, x(s))ds in A

A

_1 j

~'(t) = Y'(t)Da,, FHx' +

A

uonchb, s e m p r e in A:

Ga., F(t, s)g(s, x'(s))ds in A

- - 1 - - i P

x ( t ) - x'(t)-" Y(t)D~,FHx -- Y'(t)D~v, FHX/ + / GA, F(t, s)g(s, x ( s ) ) d s -

h

-- O~,,F(t, s)g(s, x'(s))ds = I(t)Dx, F [ H x - Hx'] +

A

+ g(t) [D~, v - - D~,, v] H~c' + [ Y(t) - - Y'(t)] D~,, FHX' +

+ / GA, F(t, s)[g(s, X(S)) - - g(s, x'(s))]ds -+-

h

+ f [G.~, •(t, s) - - G~,, F(t, s)]g(s, x'(s))ds

A

G. SAN~ACA~:

Equazioni dif]erenzieli ordinaxie quesi lir~eari, ecc.

361 da eui, a n o r m a delle ipotesi

iig), iiiH), ira),

v~r) noneh~ d e l l a (16), s e g u e :

(21) I x(t) - - ae'(t) I ~ K a I D.~, ~, I .L~ II x - - x' II ~

-1-

- - 1 - - 1

-I- K.~/~H t D.a, a~ I1 D~t,, F 11 VF I m a x I Y(t) - - ~'(t) 1 -I-

h

_1 j

+ I Y(t) - - Y'(t) I h~r [ Da,,~" I -t- Pa,~" %(s)ds

It x - - ~' II ~ +

A

+ jXo(s) I O,~,~(t, s ) - Ga,,F(t, s) Ids

h

p e r t E A .

O s s e r v i a m o , ora, e h e a s s e g n a t o il n u m e r o r e a l e positivo

2[ V~ll D~,~,I C),

a n o r m a del l e m m a I o, esiste in c o r r i s p o n d e n z a u n n u m e r o r e a l e ~ > o tale che, se

A'(t)

soddisfa la e o n d i z i o n e [ 1 A ( z ) - A'(~:) I dz < ~1, si h a in A

J A

la (17) e q u i n d i la (18).

I n o l t r e , s e m p r e a n o r m a del l e m m a I ° n o n c h 6 in virtfi del t e o r e m a III°, p e r ogni n u m e r o r e a l e s > o, e o n s i d e r a t o il n u m e r o :

_1 /

1 -

K.~ I D.~, ~ l L ~ ~ r.~, ~. %(s)ds

--1 --1

A

J'

4 K A h ~ t D,~,~,I~ I Vp I + 4 I DA,F t h~-t- 2

A

Xg(s)ds

positivo p e r l ' i p o t e s i vi.~,F,~,g), si possono d e t e r m i n a t e in c o r r i s p o n d e n z a d u e h u m e r i reali positivi ~ , ~ tali che, se

A'(t)

soddisfa le e o n d i z i o n i :

f [ A(:) -- A'(':) I d,: < ~z, f I A(~) - - A'(':) 1 d': < ~3,

A

(iT) Si rieordi che r i s u l t a n e e e s s a r i ~ m e n t e ] VF ] =# 0; err. nora (15).

Annali di Matematica 46

362 G. SANTAGATI: Equaziowi differenziali ordinarie quasi li~leari, ecc.

risult~, rispettivamente :

] Y ( t ) - Y'(t)[ <.

1 f

1 - - K,~ I D~, ~'I LH - - r_a, F v g ( 8 ) d 8

J

h

~1 --1 f

4 K-ah~ I D-a, F I ~ ] VF ] + 4 I D-a, m] hzr + 2 Xg(s)ds

h

i n A, e :

t G-a,~(t, s ) - G-a,,~(t, s) i <

_1 f

1 - - K-a I D-a, F l Lrt - - -l?.a, F v~(s)ds

A

--i - i f e

4 KAhH

I

D-a,F

121 v~ I + 4 I D-a, ~1]~ +

2 ] )~a(s)ds

A

per t, s E h.

Posto :

si ha, allora, in (21), se A'ft) ~ tale che f l A(':)--A'(x) [ d ' : ~ : A

- - i

i x ( t ) - - x ' ( t ) [ < K a l D - a , ~ j L H i i x - - x , ' l l ~ +

_1 f

1 - - I~-a I D-a, m[ L~r - - r-a, ~, vg(s)ds

--1

+ 2K-ahH[D '2 --i '~ e +

-a'FJ l VFI 4K-ah, lD-a "~' 121VFI+4i--D~,FIhH+ 2 f X~(s)ds

h

_1 f

1 - - K-a IDA, F I L ~ - - i?-a.F v~(s)ds

-{- 2 f DA,~t h~z _1 -1 ~ s +

4K.ah~z I D-a, F I s I VF ] -q- 4 [ D.a, F I hR -{- 2 ] X a(s)ds

A

G. SANTAGATI: Equazioni, diffcrcnziali ordinarie qttasi li~cari, etc. 363

+

-J- PA, F f %(s)ds II x -- x/ ]] g5 -4-

-' f

1 - - K ~ I DA, F I L ~ - - r ~ , ~ v~(s)cls

--1 --1 f

4 K.g,~ i 4, F I I V~. i + 4 I D~, ~ I h~ + 2

D

~g(s)ds

h

f ~g(s)ds

h

per t E A, da cui, a n o r m a deWipotesi vim, F,r/,9), ne viene :

--1 --i f

2KAhH I DA,~I~t VF I -{- 21D.~,F I hrz -[- ),a(s)ds

h

4 K A h ~ I D~t,F ] V~ ] + 4 ] DA, F I hFz + 2 kv(s)ds

a cio~ :

I ~c(t)--x'(t) l <

per tE h, e l ' a s s e r t o ~ cosi provato.

TEOREMA VI °. - Se 8ono soddisfatte le ipotesi del teorema I °, l' unica soluzione del problema (E) ( C) dipende con continuitd~ dalla trasformazione H nel senso che per ogni numero reale e > o ~ possibile delerminare un numero reale ~ > o tale che, per ogni trasformazione H ' continua da g3 in R" sod.

disfacente le ipotesi iii~,), v~,) ^e v i A , F , H , , g ) p e r cui I H u - - H ' u j ~ per ogni n--vettore u(t) assolutamente continuo in h, dette x(t) ed x'tt) rispettiva.

mente le soluzioni di (E) (C) in corrispondenza di H ed H', risulta : I x(t) - - vc'(t) ] < s

per t E h.

Se x(t) ~ l'uniea soluzione del p r o b l e m a (E) (C), e quindi d e l l ' e q u a z i o n e funzionale (4), d e t e r m i n a t a in corrispondenza della trasforma~ione H ed x'(l) ~ quella r e l a t i v a alla t r a s f o r m a z i o n e H', si h a :

1 l

x(t) = Y(t)DA,FHx A- GA,~'(t, s)g(s, x(s))ds

h

_1 i

x'(t) -- Y(t)DA, r.H'x' -f- Ga,~,(t, s)g(s, x(s))ds

h

in h

in

364 G. SANTP~GATI: EquazioJti differc~tziali ordinaric quasi lincari, ecc.

nonch~, s e m p r e in 5 :

- - 1 - - 1 ~ 1

x( t) - - x/( t) = Y (t)D.~, F H x - - Y(t) D~, F H x / + Y(t)Da, F H x / - -

1 f

- - Y(t)Da, Y H ' x ' + Ga, F(t, S)[g(s, X(S)) - - g(s, X'(S))] ds A

da cui, a n o r m a delie ipotesi vH) e ivg), segue:

I x ( t ) - - x / ( t ) l < _ K a l D a , F I L . I l o c - - x ' I I ~ + K a l D a , F I I H x ' - - H ' x ' l +

r~,Ffv~(s)ds

II a~ - - x ' It

+

J h p e r t 6 h .

~ e viene, q u i n d i :

--1 f --1

( 1 - - K ~ l D a , y l L H - - r a , x %(s)ds)llw--w'llg<--g.~lDa, F

I I H x ' - - H ' x ' I .

h

nonchb, p e r 1' ipotesi via, F, ~, g) :

--1

K a [ D.~,r ]

(22) I I x - - x ' l l S ~ - ~ r

iHx'--H'x'I"

1 - - K a I D,~, F I L H - - i'A, Y I vg(s)ds

J

5

P e r ogni n u m e r o reale e > o, preso a l l o r a :

_1 [

t - - K a ] D a , x ] L u - - rA, Y vg(s)ds 8 - - 5

- - 1

se la trasformazione H' ~ tale che u(t) a s s o l u t a m e n t e confinuo in A, si q u i n d i dalla (22) segue:

I H u - - H ' u l < ~ ha, in particolare

per ogni n - - v e t t o r e I H x ' - - H ' x ' l

<~

^e

c i o ~ :

per tEA.

L' a s s e r t o cosi provato.