=+ 0)2cos(2sin S ~ S ~ Appendice I

Appendice I

Appendice I

Consideriamo una matrice S~ reciproca, S~∈X_rec. Tale matrice si può allora scrivere come combinazione lineare delle matrici che formano la base di Pauli, nel modo seguente: c b a S S S S~=α~ +β~ +γ~ (AI.1) dove _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 0 1 2 1 ~ a S , _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 0 1 2 1 ~ b S , _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 0 1 1 0 2 1 ~ c S .

Se S~, oltre che reciproca è anche simmetrica, allora, esiste un angolo ψ tale che

d

X R

S

R~(ψ)~~(− )ψ ∈ (AI.2)

dove Xd è il sottospazio delle matrici diagonali e ( )

~_ψ

R è la matrice di rotazione (3.10). Utilizzando le (3.17-3.19) la (A.I2) si può scrivere

[

]

[

] [

[

cos(2 ) sin(2 )

]

~

[

sin(2 ) cos(2 ) ~ ~ ~ ) 2 cos( ~ ) 2 sin( ~ ) 2 sin( ~ ) 2 cos( ~ ) (

]

]

~ ~ ~ ~ ) ( ~ ) ( ~ ~ ) ( ~ ψ γ ψ β ψ γ ψ β α ψ ψ γ ψ ψ β α ψ γ β α ψ ψ ψ + + − + = + − + + + = − + + = − c b a c b c b a c b a S S S S S S S S R S S S R R S R (AI.3)

Perché R~(ψ)S~R~(−ψ) sia diagonale, deve essere verificata la condizione (AI.4)

( )

2 cos(2 ) 0

sin ψ +γ ψ =

β (AI.4)

Appendice I

Imponendo la (AI.4), S~si può scrivere in questo modo:

(

)

[

]

[

cos(2 ) sin(2 )

]

~ ( )~ ~ ( ) ~ ) ( ~ ) 2 cos( ) 2 sin( ~ ~ ) ( ~ ~ 1 1 1 1 ψ ψ ψ γ ψ β α ψ ψ γ ψ β α ψ − − + = − − + = − − − − R S R S R S S R S b a b a (AI.5)

Invertendo le (3.18-3.19) si possono scrivere S~_b e S~_c nel modo seguente

) ( ~ ~ ) ( ~ ) 2 sin( ) ( ~ ~ ) ( ~ ) 2 cos( ~ _{1 1 1 1} ψ ψ ψ ψ ψ ψ − + − = − − − − R S R R S R S_{b b c} (AI.6) ) ( ~ ~ ) ( ~ ) 2 cos( ) ( ~ ~ ) ( ~ ) 2 sin( ~ _{1 1 1 1} ψ ψ ψ ψ ψ ψ − + − − = − − − − R S R R S R S_{b b c} (AI.7)

Esplicitando R~−1(ψ)S~_cR~−1(−ψ) dalla prima equazione e sostituendolo nella seconda, si ottiene = − − + − − = − − − − ) ( ~ ~ ) ( ~ ) 2 ( cos ~ ) 2 cos( ) ( ~ ~ ) ( ~ ) 2 ( sin ~ ) 2 sin( ψ S_c 2 ψ R 1ψ S_bR 1 ψ ψ S_b 2 ψ R 1 ψ S_bR 1 ψ ) ( ~ ~ ) ( ~ ~ ) 2 cos( ψ S_b −R−1 ψ S_bR−1 −ψ (AI.8)

Quindi la (AI.8) si può riscrivere

c b

bR S S

S

R~−1(ψ)~ ~−1(−ψ)=cos(2ψ)~ −sin(2ψ)~ (AI.9)

Sostituendo la (AI.9) nella (AI.5), S~ si può riscrivere come

(

−

)

(

−

)

=

+

= S_a S_b S_c

S~ α~ βcos(2ψ) γsin(2ψ) cos(2ψ)~ sin(2ψ)~

Appendice I

(

b c

)

a S S S~ ε cos(ϑ)~ sin(ϑ)~ α + + (AI.10) dove ) sin( ) cos(ϑ γ ϑ β ε = + (AI.11) 117

Appendice I