Molla compressa che “salta”

Molla compressa che “salta”

Figure 1:

Due dischi di massa m_A e m_B sono collegati da una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo l₀, come mostrato in figura. Il disco B `e appoggiato su un piano.

Determinare:

1. la posizione di equilibrio

2. Il valore limite della massa del disco A al di sopra del quale il moto oscillatorio non pu`o avvenire

3. se all’istante iniziale la molla `e totalmente compressa, cio`e i dischi si toccano (almeno idealmente), determinare il valore minimo di k al di sopra del quale il disco B “salta”, cio`e si stacca dal tavolo

1

0.1 Posizione di equilibrio

Fissando un asse z verticale diretto verso l’alto con origine sul tavolo, la condizione di equilibrio ´e data da:

k(l0− z_eq) − mAg = 0 → zeq= l0−mAg

k (1)

0.2 Condizione su M_A

Il moto oscillatorio avviene se:

z_eq > 0 → m_A< kl0

g (2)

Al di sopra di questo valore limite, il disco A rimane appoggiato sul disco B, con la molla idealmente di lunghezza nulla (=totalmente compressa).

0.3 Distacco del corpo B dal tavolo

Scriviamo la legge di Newton lungo l’asse z per i due corpi, chiamando con R > 0 la reazione del piano sul corpo B (il moto e’ unidimensionale, per cui il segno di vettore `e superfluo):

 mAz¨A = −m_Ag + k(l0− z_A)

m_Bz¨_B = −m_Bg + R − k(l₀− z_A) (3) Il moto del corpo A sar`a un moto oscillatorio intorno alla posizione di equilibrio zeq con massima elongazione zM AX = 2zeq= 2(l0−^m_k^Ag).

Fino al momento dell’eventuale distacco dal tavolo il disco B `e fermo, per cui ¨z_B = 0. Dalla seconda equazione del sistema 3 ricaviamo R:

R = m_Bg + k(l₀− z_A) (4)

La condizione di distacco `e data da R = 0; l’equazione precedente ci permette di trovare z_Aal momento del distacco:

z_A(dist) = l₀+m_Bg

k (5)

Ponendo ZA(dist) = ZM AX si trova la condizione di distacco su mB in funzione di k:

zA(dist) < zM AX → mB< l0k

g − 2m_A (6)

o, equivalentemente, il valore k_LIM dato m_B. kLIM = (2mA+ mB)g

l0

(7)

2

In maniera alternativa, si pu`o trovare lo stesso risultato scrivendo la conservazione dell’energia:

1

2kl²₀ = 1

2m_Az˙_A²+1

2k(l₀− z_A)²+ m_Agz_A (8) La condizione limite di distacco e’ che esso avvenga alla massima elongazione della molla, cioe’ per ˙z_A= 0. In questo caso:

1

2kLIMl₀²= 1

2kLIM(mBg

k_LIM)²+ mAg(l0+ mBg

k_LIM) (9)

da cui ricaviamo lo stesso valore trovato in precedenza per k_LIM.

3