Urti • “Elementi di Fisica”, Mazzoldi, Nigro, Voci Testo di riferimento:

Urti

Testo di riferimento:

•  “Elementi di Fisica”, Mazzoldi, Nigro, Voci

a.a. 2017-2018

Urti

Testo di riferimento:

•  “Elementi di Fisica”, Mazzoldi, Nigro, Voci

a.a. 2017-2018

dal Programma

o  Urti

Forze impulsive. Urti in sistemi isolati/non isolati.

Urti elastici e anelastici.

Applicazione ai sistemi di due particelle. Urti centrali.

Urti tra punti materiali e corpi rigidi. Urti con corpi

rigidi liberi/vincolati.

Definizione di urto tra due corpi

o  Si parla di processo d’urto quando due corpi interagiscono scambiando una forza molto più intensa delle altre eventuali forze

presenti e la durata dell’interazione è breve

n  breve rispetto a cosa ? Rispetto alla durata

complessiva del moto

o  si possono avere urti tra galassie (Δt =10⁶ anni) o  urti tra nuclei (Δt =10^-18 secondi)

n 

le altre forze sono molto meno intense à si possono trascurare

o  il sistema dei due corpi è isolato durante il processo d’urto

n  à conservazione della quantità di moto e del momento angolare rispetto al CM

Urto tra due punti materiali

o  Conservazione della quantità di moto:

P_in=m₁v_1,i + m₂v_2,i = m₁v_1,f + m₂v_2,f=P_fi

La quantità di moto “del centro di massa” rimane anch’essa invariata:

P=(m₁+m₂) v_CM=P_in=P_fi

Il moto del centro di massa non viene alterato dall’urto. Cambiano invece le quantità di moto di

ciascuno dei due punti, per effetto dell’impulso della forza di interazione

m₁!

v_{1, f} − m₁!

v_1,in = !

J_2,1 = !

F_2,1 dt

t₁ t₂

∫

m₂!

v_{2, f} − m₂!

v_2,in = !

J_1,2 = !

F_1,2 dt

t t₂

∫

Urti elastici ed anelastici

o  Urto elastico: si conserva l’energia cinetica del sistema

n  E

= E

à E

= 1/2m

v

+ 1/2m

v

n  tornerà utile il 2° teorema di konig:

E_K=1/2(m₁+m₂)v_cm² + E’_K

E’_K = 1/2m₁v’₁² + 1/2m₂v’₂² (energia nel sist. CM)

o  Urto anelastico: non si conserva l’energia cinetica. Q=ΔE

≠0

n  endotermico: Q<0 n  esotermico: Q>0

o  urto completamente anelastico: dopo

l’urto i due corpi si sono “uniti”

Urti centrali e periferici

o  la definizione ha senso solo per oggetti estesi (non puntiformi)

n  urto centrale

n  urto periferico

b parametro d’impatto

Urti normale e obliquo

o  la definizione ha senso anche per punti materiali

n  urto normale

n  urto obliquo

Sistema laboratorio e sistema CM

o  sistema laboratorio, usiamo i simboli senza apice, es v_1,i , E_k,i e v_CM

o  sistema CM: usiamo i simboli con l’apice:

es. v’_{1,i ,} E’_k,i e v’_CM=0

v !

= !

v '

+ ! v

v !

= !

v '

+ ! v

Nel sistema CM: P’_in=P’_fin=0

relazione tra sistemi di riferimento in moto relativo

P=m₁v₁+m₂v₂=m₁v’₁+m₂v’₂+(m₁+m₂) v_CM à  m₁v’₁+m₂v’₂=0

ossia: m₁v’_1,in + m₂v’_2,in= m₁v’_1,fin + m₂v’_2,fin =0 à p’_1,in= - p’_2,in ; p’_1,fin= - p’_2,fin

Urto completamente anelatico

o  I due corpi si fondono:

v

=v

=v

=v

m

!

v

+ m

!

v

= (m

+ m

) !

v

= (m

+ m

) ! v

v !

= m

!

v

+ m

! v

m

+ m

L’energia cinetica

E

=

m

v

+

m

v

= E '

+

(m

+ m

)v

E

=

(m

+ m

)v

, E

> E

L’energia cinetica assorbita vale:

ΔE

= E

− E

= −E '

Esempio 8.2 e 8.3

Urto Elastico

o  si conserva l’energia cinetica

n  P

=P

n  E

=E

o  consideriamo solo gli urti centrali normali

n  problema unidimensionale

o  P_x,in=P_x,fin e E_k,in=E_k,fin

o  sistema completamente determinato

m₁v_1,in + m₂v_2,in = m₁v_{1, fin} + m₂v_{2, fin} = (m₁+ m₂)v_CM

1

2 m₁v_1,in² + ¹₂ m₂v_2,in² = ¹₂ m₁v_{1, fin}² + ¹₂ m₂v_{2, fin}²

Urto Elastico

m₁v_1,in + m₂v_2,in = m₁v_{1, fin} + m₂v_{2, fin} = (m₁ + m₂)v_CM

1

2 m₁v_1,in² + ¹₂ m₂v_2,in² = ¹₂ m₁v_{1, fin}² + ¹₂ m₂v_{2, fin}²

o  risolvendo il sistema (2 equazioni per le due incognite v

e v

)

v_{1, fin} = (m₁ − m₂)v_1,in + 2m₂v_2,in m₁ + m₂

v_{2, fin} = (m₂ − m₁)v_2,in + 2m₁v_1,in m₁ + m₂

o  nel sistema centro di massa:

v '! _{1, fin} = −!

v '_1,in , !

v '_{2, fin} = −! v '_2,in

Urto anelastico

o  l’energia cinetica non si conserva

o  Si definisce il “coefficiente di restituzione”

o  L’energia cinetica è:

o  si può dimostrare:

e = − p'_{1, fin}

p'_1,in = −v'_{1, fin}

v'_1,in = − p'_{2, fin}

p'_2,in = −v'_{2, fin} v'_2,in

E '_{k, fin}

=

+

= e

(

+

)

= e

v_{1, fin} = (m₁ − em₂)v_1,in + m₂(1+ e)v_2,in m₁ + m₂

v = (m₂ − em₁)v_2,in + m₁(1+ e)v_1,in