Magnetostatica • • “Elementi di Fisica”, Mazzoldi, Nigro, Voci “Fisica 2”, Giancoli Testo di riferimento:

Magnetostatica

Testo di riferimento:

•  “Elementi di Fisica”, Mazzoldi, Nigro, Voci

•  “Fisica 2”, Giancoli

a.a. 2017-2018

Dal programma

MAGNETOSTATICA

o  Campo magnetico e Forza magnetica: Interazione

magnetica. Campo magnetico. Correlazioni fra elettricità e magnetismo. Forza magnetica su una carica in moto. Forza magnetica su un conduttore percorso da corrente. Momenti magnetici meccanici sui circuiti piani. Effetto Hall. Moto di una particella carica in un campo magnetico con esempi di calcolo. Sorgenti del campo magnetico e legge di

Ampère: campo magnetico prodotto da una corrente.

Calcoli di campi magnetici prodotti da circuiti particolari.

Azioni elettrodinamiche tra fili percorsi da corrente. Legge

di Ampère.

Magneti e campi magnetici

o  si potrebbe sviluppare una magnetostatica in perfetta analogia all’elettrostatica

n  esistono due tipi di cariche (N e S)

n  cariche uguali si respingono, cariche opposte si attraggono

n  la dipendenza della forza, del campo B (che

sostituisce il campo E) e del potenziale magnetico per la singola carica magnetica sarebbero

analoghe a quelle viste nell’elettrostatica

o  il campo del dipolo magnetico, all’esterno del magnete, è perfettamente analogo a quello del dipolo elettrico

o  unica (e grande) differenza: non esiste la

singola carica magnetica

Magneti naturali

Magneti naturali

o   la forza tra i poli dei

magneti ha andamento

analogo a quello tra le

cariche elettriche

Magneti naturali

Non “esiste” la carica magnetica

o  esperienza della calamita spezzata

o  Le linee di B sono sempre linee chiuse

n  non esiste la carica

magnetica à non esistono

le sorgenti ed i pozzi del

campo magentico

Linee del campo magnetico

Campo magnetico terrestre

Le correnti generano un campo magentico

o  Esperienza di Oersted

Legge “elementare” di Biot-Savart

o  fornisce il campo magetico in un

generico punto P dello spazio prodotto da una corrente che scorre in un

circuito

d !

B = µ

4 π

Id ! l × !

u

r

= µ

4 π

Id ! l × !

r r

Per avere il campo in P, devo integrare su tutto il circuito percorso da

corrente

Campo B prodotto da una corrente rettilinea indefinita

o  Si può ottenere a partire dalla legge elementare di Biot-Savart

o  Le linee di B sono linee chiuse (vero in generale)

n  in questo caso sono delle circonferenze concentriche rispetto alla corrente

o  anche questa legge è detta di Biot-Savart

L’intensità del campo B, a distanza d dal filo vale:

B = µ

2 π

I

d

ricaviamolo dalla legge

elementare di Biot-Savart

d !

B = µ

4 π

Id ! s × !

u

r

= µ

4 π

Id ! s × !

r

r

Campo magnetico generato da correnti

o  campo di un tratto finito

rettilineo di lunghezza 2a, sui

punti del piano mediano

Campo magnetico generato da correnti

o  campo di un tratto finito

rettilineo di lunghezza 2a, sui punti del piano mediano

B = 2 B_a vettorialmente:

Campo magneti di una spira circolare

o  si può ricavare sull’asse della spira:

dB = µ

ⁱ 4 π

| id ! s × !

u

|

r

= µ

^ids 4 π r

dB

= µ

^ids

4 π ^r

^cos θ B = ! µ

^{i cos} θ

4 π ^r

^ds u !

"∫ ⁼ ₄ ^µ _π

_r ⁱ

^cos _r

^{θ 2 π R u !}

r

= x

+ R

, cos θ = R / r B(x) = ! µ

^iR

2r

u !

= µ

^iR

2(x

+ R

)

u !

B ! = µ

ⁱ !

u

Campo magneti di una spira

circolare

Principio di equivalenza di Ampere

o  Vedremo più avanti che il principio di

equivalenza di Ampere afferma che le uniche sorgenti del campo magnetico sono le

correnti

o  Si può sempre utilizzare la legge elementare di Biot-Savart per ricavare il campo

magnetico

o  Nel caso di correnti con geometrie semplici (simmetrie) si sfrutterà il teorema di Ampere (che vedremo più avanti)

n  equivalente della legge di Gauss in elettrostatica

n  vale solo in magnetostatica

Carica elettrica che si muove in un campo magnetico esterno

o  Una carica elettrica che si muove in una regione dello spazio dove è presente un campo magnetico (“carica che si muove in campo magnetico”) è soggetta ad una forza, detta forza di Lorentz

F = q ! !

v × ! B

Proprietà: la forza di Lorentz non compie mai lavoro

Forza di Lorentz

o  innumerevoli applicazioni

Moto di una carica in B uniforme

o  definiamo il sistema di riferimento in modo che z sia diretto come B

o  la componente della velocità parallela al campo resta invariata, perché F

=0

o  nel piano xy (perpendicolare al campo B) la particella descrive un moto circolare

uniforme, il cui raggio si ottiene facilmente:

n  v

=√(v

+v

) è la proiezione della velocità nel piano perpendicolare a B

F = q ! !

v × ! B

F=qv_TB

F=ma=mv² R à qv B =mv² /R à R=mv /(q B)

proiezione nel piano xy

R=mv_T/(q B)

ω=v_T/R =q/m B

Moto di una carica in B uniforme

F = q ! !

v × ! B

F=qv_TB

F=ma=mv²_{T /} R à qv_TB =mv²_T /R à R=mv_T/(q B)

nel caso in cui non vi sia una componente della velocità diretta lungo B (v_z=0) à v=v_T

Caso più generale (v_z ≠0): moto elicoidale

Forza su una carica elettrica

o  Se è simultaneamente presente sia un campo elettrico E che un campo

magnetico B, su una carica q la forza totale vale:

F = qE + qv x B = q (E + vxB)

Selettore di velocità

o  Utilizzando un campo elettrico ed un campo magnetico tra loro “incrociati”, si può realizzare un “selettore di

velocità”

Condizione:

qE = qvB à v=E/B

Solo le particelle con velocità pari

Effetto Hall

o   permette di determinare il segno dei portatori di carica nei materiali attraversati da corrente elettrica

n  nei materiali comuni: elettroni

n  nei semi-conduttori: possono essere sia elettroni che

“lacune” (cariche positive)

Forza su circuito percorso da corrente

o   abbiamo visto prima che un circuito in cui scorre corrente genera un

campo magnetico

o  consideriamo ora un circuito percorso da corrente immerso in un campo

magnetico esterno

o   il circuito è soggetto ad una forza o   la seguente legge da la forza

(infinitesima) che agisce

sull’elemento di circuito infinitesimo di lunghezza dl

n  è anche detta “legge elementare di Laplace”

! ! !

Forza su un tratto finito di conduttore

o  in un campo

uniforme, su un

tratto finito lungo l, la forza vale

F = i ! !

l × ! B

il vettore l è orientato nel senso di percorrenza della corrente

circuito chiuso in campo magnetico uniforme

o  Si può agevolmente dimostrare quanto

mostrato in figura a destra o  Corollario: su un circuito

chiuso immerso in un

campo magnetico la forza totale è nulla

n  nota bene: su ciascun

elemento di circuito agisce una forza

o  se il circuito non è rigido, può

Verifica sperimentale

o  semplice

Definizione dell’unità di corrente

o  Consideriamo due fili molto lunghi percorsi da corrente

forza attrattiva forza repulsiva

F

= B

i

d = µ

ⁱ

ⁱ

^d 2 π ^r

Forza agente su tratto di lunghezza d dal secondo filo ad opera del primo:

Forza per unità di lunghezza:

F

= µ

ⁱ

ⁱ

2 π ^r

corrente di 1 Ampere: è la corrente che scorre in due

Legge di Ampere

o  La circuitazione del

campo B lungo una linea chiusa è pari alla somma algebrica delle correnti concatenate con la linea per µ

n  convenzione tra verso di percorrenza sulla linea chiusa e segno della corrente

o  mano destra

Γ( !

B) = !

B ⋅ d !

"∫ s ^{= µ}

ⁱ

Dimostrazione del teorema di Ampere

o  Ci limitiamo a considerare una corrente

rettilinea, ma il teorema ha valenza generale

B ⋅ d ! !

s = µ

ⁱ 2 π ^r

u !

⋅ d ! s u !

⋅ d !

s = rd φ B ⋅ d ! !

s = µ

ⁱ

2 π ^d φ

! ! µ ⁱ

Integrale su linea chiusa nella figura:

Dimostrazione del teorema di Ampere

o  Ci limitiamo a considerare una corrente rettilinea, ma il teorema ha valenza generale

Γ = !

B ⋅ d !

"∫ s ^{= µ} _{2 π}

ⁱ !∫ ^{d φ}

Integrale su linea chiusa nella figura, che concatena la corrente:

d φ

!∫ ^{= ±2 π}

della corrente nel filo è “concorde” a quello di di percorrenza sul

percorso chiuso secondo la regola della vite.

Il segno meno nel caso

B ⋅ d ! !

"∫ s ^{= ± µ}

ⁱ

Dimostrazione del teorema di Ampere

Γ = !

B ⋅ d !

"∫ s ^{= µ} _{2 π}

ⁱ !∫ ^{d φ}

Integrale su linea chiusa nella figura, che non concatena alcuna corrente:

d φ

!∫ ^{= 0}

proiezione lungo B vista sotto l’angolo dφ c’è un altro

trattino ds₂ con proiezione vista sotto l’angolo –dφ, come mostrato in figura

B ⋅ d ! !

!∫ s ^{= 0}

Dimostrazione del teorema di Ampere

Γ = !

B ⋅ d !

"∫ s ^{= µ} _{2 π}

ⁱ !∫ ^{d φ}

Integrale su linea chiusa nella figura, nei diversi casi:

B ⋅ d ! !

"∫ s ^{= µ}

∑ ⁱ

Applicazioni del teorema di Ampere

o  filo indefinito (ovvio) o  solenoide rettilineo o  solenoide toroidale

o  corrente piana indefinita