Processi Stocastici – Programma del corso 2010/11
1. Speranza condizionale (14 ore) [14]
Introduzione.
• Descrizione del corso: obiettivi, prerequisiti, propedeuticità.
[07/03]
Richiami di probabilità.
• Spazi misurabili, applicazioni misurabili. Misura e probabilità, variabili aleatorie.
Integrale e valore atteso, spazi Lp, varianza e covarianza.
• Teoremi di convergenza (monotona, Fatou, dominata). Disuguaglianze (Jensen, [08/03]
Markov, Cauchy-Schwarz, Chebychev, Hölder). Legge di una variabile aleatoria, formula del cambio di variabili. Leggi su Rnassolutamente continue.
• Indipendenza diσ-algebre, variabili aleatorie, eventi. Indipendenza e scorrelazione.
[09/03]
σ-algebra prodotto, misura prodotto, Teorema di Fubini. Lemma di Borel-Cantelli.
Speranza condizionale.
• Definizione di speranza condizionale, esistenza ed unicità. Proprietà elementari:
[14/03]
monotonia, linearità, Jensen.
• Teoremi di convergenza condizionali (monotona, Fatou, dominata). Proprietà di [15/03]
raffinamento, misurabilità, indipendenza.
• Speranza condizionale rispetto a una variabile aleatoria. Esempi. L’urna di Polya.
[16/03]
• Nuclei di probabilità. Versione regolare della legge condizionale di una variabile [21/03]
aleatoria data un’altra. Il caso di variabili congiuntamente assolutamente continue.
Esempi. Lemma di congelamento E(ϕ(T, X)|X) = E(ϕ(T, x))|x=Xper X, T indipendenti.
2. Martingale a tempo discreto (36 ore) [50]
Definizioni.
• Processi stocastici e filtrazioni. Submartingale, supermartingale, martingale e loro [22/03]
interpretazione. Composizione con funzioni convesse. Esempi.
• Processi prevedibili. Integrale stocastico discreto e sue proprietà.
[23/03]
• Tempi d’arresto. (Sub,super)-martingale arrestate restano (sub,super)-martingale.
Teorema d’arresto: condizioni sufficienti affinché E(Xτ)= E(X0).
• Esercizi sulla speranza condizionale.
[24/03]
• Esempi ed esercizi sulle martingale (ABRACADABRA; martingala esponenziale).
[28/03]
• Esempi sulle martingale (tempi di primo passaggio per passeggiate aleatorie semplici [29/03]
sugli interi).
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Teoremi di convergenza e disuguaglianze.
• Disuguaglianza di upcrossing. Teorema di convergenza per supermartingale limitate in L1.
• Integrabilità uniforme. Caratterizzazione della convergenza in L1. [30/03]
• Esempi ed esercizi sulle martingale (rovina del giocatore; Enterprise).
[31/03]
• Esempi sulle martingale (Enterprise - reprise). Caratterizzazione delle martingale [04/04]
uniformemente integrabili.
• Teorema di convergenza di Lévy upward. Corollari: legge 0-1 di Kolmogorov, [05/04]
approssimazione di f : [0, 1) → R integrabili con funzioni costanti a tratti. Teorema di convergenza di Lévy downward. Corollario: legge forte dei grandi numeri.
• Esercizi sulla speranza condizionale.
[06/04]
• Disuguaglianza massimale per submartingale. Corollario: disuguaglianza di Kolmo- gorov per somme di variabili indipendenti. Disuguaglianza di Doob in Lp.
• Martingale convergenti in Lpper p> 1. Il caso L2. Esercizi sulle martingale.
[07/04]
• Esercizi sulle martingale (foglio 1).
[11/04]
• Decomposizione di Doob di un processo adattato.
• Decomposizione di Doob di una submartingala. Variazione quadratica hMi di una [12/04]
martingala M in L2. Legame tra finitezza di hMi∞e convergenza di M.
• σ-algebre associate ai tempi d’arresto e loro proprietà. Teorema d’arresto opzionale per [13/04]
submartingale e tempi d’arresto limitati. Teorema d’arresto opzionale per martingale uniformemente integrabili.
• Esercizi sulle martingale (foglio 2).
[14/04]
Esempi.
• Dimostrazione di Kolmogorov della legge forte dei grandi numeri.
[18/04]
• Dimostrazione combinatoria del teorema di De Finetti per l’urna di Polya.
[19/04]
• Esercizi sulle martingale (foglio 2).
• Processi di ramificazione di Galton-Watson.
[20/04]
3. Moto browniano (28 ore) [78]
Richiami di probabilità.
• Convergenza debole di misure di probabilità. Nozioni di convergenza per variabili [21/04]
aleatorie (in legge, in probabilità, quasi certa, in Lp) e loro relazioni.
• Funzioni caratteristiche e loro proprietà.
• Leggi normali in Rde loro proprietà. Il limite in legge di vettori normali è normale.
• Spazi di probabilità completi (cenni).
[27/04]
3
Processi gaussiani e moto browniano.
• Definizione di processo stocastico (no filtrazione). Spazio delle traiettorie, legge del processo, leggi finito-dimensionali. Processi gaussiani.
• Moto browniano: motivazione, definizione, leggi finito-dimensionali.
• Esercizi sulle martingale (foglio 3).
[28/04]
• Caratterizzazione come processo gaussiano. Proprietà di invarianza. Continuità di [02/05]
tB1/tin t= 0. Legge dei grandi numeri per il moto browniano.
• Esistenza del moto browniano: costruzione di Paul Lévy.
[03/05]
• Funzioni a variazione finita e integrale di Riemann-Stieltjes. Variazione quadratica [04/05]
del moto browniano. Variazione infinita delle traiettorie del moto browniano.
• Esercizi sulle variabili normali e sul moto browniano (foglio 4).
[05/05]
• Legge del logaritmo iterato (enunciato) e sue conseguenze (non differenziabilità).
• Continuità delle traiettorie e misurabilità di funzionali del processo. σ-algebra [11/05]
associata a un processo. Indipendenza di processi; il caso dei processi congiuntamente gaussiani. Filtrazione naturale di un processo. Riformulazione del moto browniano:
indipendenza degli incrementi espressa tramite la filtrazione naturale.
• Nozioni di modificazioni, indistinguibilità, continuità, misurabilità per processi stocastici.
[12/05]
Filtrazioni e loro proprietà; ampliamento standard. Processi adattati e progressivamente misurabili.
• Moto browniano multidimensionale.
[16/05]
• Il moto browniano come applicazione a valori in C([0, ∞), Rd): la misura di Wiener. Il principio di invarianza di Donsker (enunciato).
Processi di Lévy e proprietà di Markov.
• Definizione di processo di Lévy (e di moto browniano) rispetto a una filtrazione.
[17/05]
Indipendenza dallaσ-algebra iniziale. Ampliamento della filtrazione. Legge 0-1 di Blumenthal per i processi di Lévy.
• Tempi d’arresto e loro proprietà. La proprietà di Markov forte per i processi di Lévy.
[18/05]
Uguaglianza in legge di processi di Lévy.
• Esercizi sul moto browniano (foglio 5).
[19/05]
• Il principio di riflessione per il moto browniano. Martingale associate al moto [23/05]
browniano. Principali risultati per martingale a tempo continuo (enunciati). Esempio:
probabilità di uscita del moto browniano da un intervallo.
4. Integrale stocastico (20 ore) [98]
• Estensione di isometrie densamente definite su spazi pseudometrici. Il caso delle [24/05]
isometrie lineari su spazi seminormati.
• Spazi di processi M2[a, b] e S[a, b]. Lo spazio S[a, b] è contenuto in M2[a, b]. Integrale stocastico di processi in S[a, b].
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• S[a, b] è un sottospazio vettoriale denso di M2[a, b]. L’integrale stocastico di processi [25/05]
in S[a, b] è un operatore a valori in L2(Ω) lineare e isometrico. Integrale stocastico per processi in M2[a, b]. Prime proprietà (conseguenze dell’isometria).
• L’integrale stocastico di processi in M2[a, b] ha media nulla. Se il processo integrando [26/05]
è deterministico, l’integrale stocastico (integrale di Wiener) è una variabile normale.
Esercizi (foglio 6).
• Additività dell’integrale stocastico rispetto agli estremi di integrazione. L’integrale [30/05]
stocastico di processi in M2[0, T] è una martingala continua di quadrato integra- bile e ammette una modificazione continua. Integrale stocastico e tempi d’arresto (enunciato).
• Località dell’integrale stocastico. Estensione dell’integrale stocastico a processi in [31/05]
M2loc[0, T]. Proprietà dell’integrale stocastico di processi in M2loc[0, T]: convergenza in probabilità, tempi d’arresto, località (enunciati); approssimazione mediante somme di Riemann. Esercizi (foglio 6).
• Martingale locali. L’integrale stocastico di un processo in M2loc[0, T] è una martingala [01/06]
locale. Martingale locali dominate (risp. positive) sono martingale. La formula di Ito (prima parte della dimostrazione).
• Dimostrazione della formula di Ito (seconda parte). Esercizio (foglio 7). Processi di [06/06]
Ito e differenziale stocastico. Formula di Ito generalizzata (enunciato).
• Esercizio (foglio 7). Moto browniano geometrico. Formula di Ito per il moto browniano [07/06]
multidimensionale (enunciato).
• Il problema di Dirichlet in domini limitati: lemma preliminare; unicità della soluzione e formula di rappresentazione.
[08/06]
• Processo di Poisson come processo di Lévy di conteggio. Gli intertempi sono variabili i.i.d. esponenziali e le distribuzioni marginali del processo sono Poisson.
• Esercizi (foglio 8).
[09/06]
