Esercizi
1. Calcolare l’integrale indefinito delle seguenti funzioni:
, x 4
x 1
x - 1 , x - 4 , 1 senx
1
cosx 2 2
+ + +
+ .
2. Usando un opportuno criterio di integrabilità a priori, stabilire l’esistenza dei seguenti integrali:
∫ ∫
−
+∞
+ + +
0
/2 1 2 dx
1 x logx , dx 1 senx
1 cosx
π
.
3. Data la funzione f ( x ) = 1 - x
x
log , provare che è integrabile in un intorno di 0 e di 1, mentre non lo è
in nessun intorno di +∞. Utilizzare questi risultati per studiare la funzione F ( x ) = ∫x −
1
dx 1 x
logx .
4. Risolvere le equazioni differenziali:
y” + 4 y = ( 1 + x ) e2 x ; yiv + y = cosx ; y’ = x ( 1 + y2 ) ; y’ = (1 y )arctgy 1
x
x 2
2 +
+ .
5. Studiare la convergenza delle serie al variare del parametro reale x:
2 n n
1 n n
; n n x
1
n 3
2 x
1
n 3
2n ∑
∑ ∞
=
∞
= + +
+ +
+ .
