In questa lezione studiamo la propagazione di un’ onda elettromagnetica in un plasma magnetizzato, utilizzando le equazioni fluide ed alcune ipotesi semplificatrici:

Lezione 19

Propagazione di onde EM in un plasma freddo in presenza di campo magnetico

G. Bosia

Universita’ di Torino

Derivazione della relazione di dispersione

In questa lezione studiamo la propagazione di un’ onda elettromagnetica in un plasma magnetizzato, utilizzando le equazioni fluide ed alcune ipotesi semplificatrici:

1) plasma freddo: sono trascurati i moti termici delle componenti del plasma 2) la pressione del plasma e’ nulla: p = 0;

3) la velocità di fase dell’ onda e’ molto maggiore della velocità termica: v

>> v

Equazione fluida :

Assumiamo E

=0, B= B

e v

= 0 e linearizziamo l’ equazione:

variano sinusoidalmente . v e’ la perturbazione della velocità del plasma dovuta alla presenza dell’ onda.

(XIX-01)

(XIX-02)

Derivazione della relazione di dispersione

che risolto per v in funzione di E da:

con: girofrequenza e con il segno della carica della specie considerata.

La densità di corrente è : (XIX-03)

(XIX-04)

(XIX-05)

Derivazione della relazione di dispersione

z xz y xy x xx y

x

x

i E E E E E

m

n

qnv q ω σ σ σ

ω − Ω ^{− Ω = + +}

= ( )

)

(

2

z xy y yy x yx y

x

y

E i E E E E

m

n

qnv q ω σ σ σ

ω − Ω ^{Ω − = + +}

= ( )

)

(

2

z zz y zy x zx z

z

i E E E E

m n

qnv = q

ω = σ + σ + σ

Esplicitando le equazioni (XIX-04) e (XIX-05) si ottiene

Dal confronto dei termini sinistra e a destra dell’ equazione possiamo scrivere il tensore conduttività per la j-esima specie del plasma come:

(XIX-06)

Derivazione della relazione di dispersione

La conduttività totale si ottiene sommando su tutte le specie:

e pertanto:

Utilizzando la definizione di tensore dielettrico

si arriva alla definizione delle componenti del tensore dielettrico:

(XIX-0)

(XIX-08)

(XVII-25)

Derivazione della relazione di dispersione

Con:

e le frequenze di plasma relative alle determinate specie:

(XIX-06)

(XIX-07)

(XIX-08)

Derivazione della relazione di dispersione

Le quantita’ S, D e possono anche essere espresse in funzione di altre quantita’ : L e R , che si ottengono da una derivazione della relazione di dispersione che tiene conto delle possibili polarizzazione dell’ onda (L → polarizzazione sinistra, R → polarizzazione destra):

Da cui la definizione dei termini L e R diventa:

Ottenuto il tensore dielettrico e’ ora possibile risolvere la relazione di dispersione ottenendo k( ω ) e la polarizzazione dell’onda. Si noti , in particolare, che εεεε e’

indipendente da k, e che pertanto, come gia’ notato, la relazione di dispersione e’

una forma quadratica in k

o N

. (XIX-09)

(XIX-10)

(XVIII-42)

Polarizzazione dell onda EM

In assenza di campo magnetico, la propagazione dell’ onda EM e’

indipendente dal piano di polarizzazione e pertanto non e’ necessario specificarlo la polarizzazione dell'onda La presenza del campo

magnetico rende la propagazione dell’ onda nel plasma e’ diversa a seconda della polarizzazione E’ pertanto necessario necessario definirlo

La ragione fisica dell’ anisotropia e’ che gli elettroni e gli ioni hanno un loro verso naturale di girazione attorno alle linee di campo

magnetico. E’ quindi è lecito aspettarsi che un'onda a polarizzazione circolare interagisca in maniera diversa a seconda che il verso di polarizzazione sia concorde o discorde col verso di girazione degli elettroni. Se , come nel nostro caso, i campi elettrici sono descritti da numeri complessi, il verso di rotazione del campo elettrico si può stabilire assegnando una relazione tra le componenti del campo ortogonali alla direzione di propagazione Per esempio un camo elettrico polarizzato circolarmente e’ rappresentato da :

E

= E

E

= i E

per una rotazione a destra φ > 0 e

E

= E

E

= -i E

per una rotazione a sinistra φ > 0

Propagazione di un’ onda ad un angolo arbirario

Definiamo la geometria di propagazione dell’ onda, come mostrato in figura : Si e’ assunto B diretto come z B(0,0,B

) e la direzione locale dell’ onda, individuata dal vettore k nel piano xz (k

= 0). Non si fa alcuna ipotesi sulla direzione di polarizzazione del vettore campo elettrico (e.g. k·E = 0 ovvero

polarizzazione trasversale), per includere sia il caso di polarizazine trasversale che longitudinale.

Se θ e’ l’angolo tra k e B

e si esplicita la (XIX-11)

(XVII-27) si ottiene:

0 ) (

)

(

2

2

+ + =

−

+

x

x

E E

E c k k E k E

k ω ε ε

0 )

2

(

2

2

+ + =

−

E

E

E c

k ω ε ε

0 )

(

2

2

+ =

−

+

x

x

E k E k k E E

k ω σ

(XIX-12)

Propagazione ad un angolo arbitrario

E raccogliendo le componenti di E si ottiene :

ossia in forma matriciale:

Ponendo eguale a zero il determinante della matrice

con:

(XIX-12 bis)

(XIX-13)

0 )

(

2 2

2

2 _{x x}

− +

+

+ c k

k

E

= E

E k

k c k

ε ω ω ε

0 )

(

2

2

− + + =

+

x

yx

c k E

E ε

ε ω

0 )

(

2 2

2 _{x z x}

+ − c k

+

E

= E

k c k

ω σ ω

= 0

(XIX-14)

Soluzioni della relazione di dispersione

Dove F e’ il discriminante dell’ equazione biquadratica:

E’ in generale necessario che sia F > 0 perché la propagazione dell’onda si verifichi.

Alternativamente, se F < 0 l’onda e’ evanescente o riflessa senza assorbimento. La relazione di dispersione (XIX-14) può essere riscritta nella forma :

che permette di definire in un modo semplice le caratteristiche di propagazione in funzione dell’ angolo di propagazione θ. In particolare :

Per propagazione parallela al campo magnetico (tan( θ ) = 0) : P = 0, N

= R, N

= L Per propagazione ortogonale al campo magnetico (1/tan( θ ) = 0) : N

= P, N

= RL/S

(XIX-15)

(XIX-16)

(XIX-17)

Caratteristiche di propagazione parallela a B ₀ ( ^{P = 0, N}

^{= R, N}

^{= L)}

Relazione di dispersione (onda “destra):

Scritta per elettroni e ioni:

L’onda ha un cut-off per N

= R= 0 Questo avviene quando:

Che per m

>> m

si può approssimare a :

L’ onda destra ha una risonanza per:

(XIX-18)

(XIX-19)

(XIX-20)

(XIX-21) che avviene per

|)

| (

|)

| 1 (

i pi e

R pe

Ω

− + Ω

− −

=

ω ω

ω ω

ω ω

|)

| (

|)

| 1 (

i pi e

L pe

Ω

− − Ω

− +

=

ω ω

ω ω

ω ω

> | Ω

|

In condizioni di risonanza L’ indice di rifrazione N → ∞

la velocita’ di fase v

= ω /c → 0 e la lunghezza d’ onda

La risonanza prende il nome di risonanza ciclotronica elettronica L’ andamento della relazione di dispersione nell’ intorno di una risonanza e’ mostrato in figura : in generale risonanza e cut off si presentano a coppie. Dalla figura si vede che la risonanza si verifica a frequenze inferiori alla frequenza di cut-off e non sarebbe pertanto “accessibile” in un plasma a proprieta’ dielettriche uniformi

Caratteristiche di propagazione parallela a B ₀

λ = 2π v

/ω → 0

Cut off

Risonanza

Allo stesso modo per l‘ onda sinistra:

si ottiene:

L’onda ha un cut-off per N

= L = 0

o approssimativamente Per ω →∞ N → 1

L’ onda sinistra non ha una risonanza ciclotronica elettronica, ma una risonanza cicloronica ionica. Questa proprietà e’ legata alla polarizzazione relativa delle due

Caratteristiche di propagazione parallela a B ₀ ( ^{P = 0, N}

^{= R, N}

^{= L)}

(XIX-18 bis)

(XIX-19 bis)

(XIX-20 bis)

(XIX-21)

|)

| (

|)

| 1 (

i pi e

L pe

Ω

− − Ω

− +

=

ω ω

ω ω

ω ω

L

|)

| (

|)

| 1 (

2

i pi e

N

Ω

− − Ω

− +

= ω ω

ω ω

ω ω

ω = ω

= − ^{< |} Ω

| < ω

ω

- _{< | Ω}

e

| < ω

Propagazione parallela a B ₀ - Polarizzazione dell’ onda

L’ equazione di dispersione per θ = 0° (cos( θ ) = 1) è:

Per N

= R diventa:

L’ onda “destra” un’ onda trasversa polarizzata circolarmente a destra nel piano xy ortogonale al campo magnetico. Questa polarizzazione e’

concorde con il verso di rotazione degli elettroni nel campo magnetico B

Se la frequenza dell’ onda e’ uguale alla frequenza di girazione degli elettroni onda e particella sono in “risonanza” ed e’ possibile un trasferimento (risonante) di energia tra onda e particella (o viceversa).

0 0

0

0 0

2 2

 =

 





 







 







 







+ +

− +

− +

−

z y x

E E E

P S

N iD

iD S

N

0 0

0

0 0

 =

 





 







 







 





 +

−

z y x

E E E

P D iD

iD D

= 0

0

0 0

=

= + +

=

−

z

y x

y x

E

E iE

iE E

= 0

=

z

y x

E

iE

E

Propagazione parallela a B ₀ Polarizzazione dell’ onda

L’ equazione di dispersione per θ = 0° (cos( θ ) = 1) per N

= L diventa:

L’ onda “sinistra” un’ onda trasversa polarizzata circolarmente a sinistra nel

piano xy ortogonale al campo magnetico. Questa polarizzazione e’ opposta al verso di rotazione degli elettroni nel campo magnetico B

, ma concorde con quello degli ioni Se la frequenza dell’ onda e’ uguale alla frequenza di girazione della particella, onda e particella non sono in “risonanza” perche’ i loro moti non dono sincroni Non è possibile un

trasferimento (risonante) di energia tra onda e particella (o viceversa).

La risonanza avviene, a frequenza molto piu’ bassa con il moto di girazione degli ioni

0 0

0

0 0

2 2

2

 =

 





 







 







 







+ +

− +

− +

− +

−

z y x

E E E

P S N S

N iD

iD S

N

0 0

0

0 0

 =

 





 







 







 







− +

−

−

z y x

E E E

P D iD

iD D

0

0 0

=

= +

−

= +

z

y x

y x

E

E iE

iE E

= 0

−

=

z

y x

E

iE

E