ELETTROLOGIA Cap II

ELETTROLOGIA

Cap II

Calcolo del Campo Elettrico dovuto ad

alcune distribuzioni di carica

Anello di raggio R uniformemente carco con carica Q.

Anello di dimensioni trasversali trascurabili rispetto al raggio.

= Q/2R, dq =  dl , Calcoliamo il campo lungo l’asse dell’anello

|dE₁| = |dE₂|

dE₁sin() = - dE₂sin() : somma = 0

Se x >> R allora: come se l’anello fosse puntiforme !

=

Dalla formula del Campo E di un anello, con dq per Q e r per R

Prendiamo al suo interno un anello (di sezione rettangolare) di raggio interno r e raggio esterno r+dr; Area d = 2r dr, dq =  2r dr.

Consideriamo un disco di raggio R e spessore trascurabile. Su di esso una carica Q:

 = Q/R²

e integrando E

dE

Per x 0 (R ),

| |

Quindi E per un piano carico “infinito” è per qualunque x

Passando da –x a +x il campo passa da - a + con una discontinuità di 2 =

- +

Dati due piani indefiniti paralleli con densità di carica uniforme + e -  i due campi +E e –E si sommano: dentro , fuori 0.

+  - 

Campo dovuto a un filo rettilineo di lunghezza 2l con carica uniforme Q.

(Mazzoldi… es. n.1.16, pag. 25 )

 = Q/2l

-l l -x x

y

r





0

Campo dE in (0,y,0) diretto lungo y

Tre variabili legate : x, r , dx, dq =  dx

Per integrare si devono eliminare due variabili su tre. Quali ?

Meglio integrare su  :

r = y/ sin(  ), dx? x = y/tg(  ),

-l l -x x

y

r



 0

₁

r’

N.B. E non è  1/y² perché non è puntiforme ! Se y >> l allora E  1/y²

Per l  , E ? Si deve tornare indietro.

E ha simmetria cilindrica attorno al filo.

Linee di “forza” del campo elettrico

Cariche uguali

Cariche diverse

Campo Elettrostatico e Campo Elettromotore

Finora abbiamo visto il Campo prodotto da cariche ferme:

Campo Elettrostatico

Non è l’unico!

Campo Elettromotore:

Lavoro infinitesimo della Forza F

Calcoliamo l’integrale di linea da A a B

W₁/q₀ =

Se calcoliamo il lavoro per spostare la carica q₀ lungo un percorso chiuso:

W₁₂ = W₁ – W₂ (attenzione al verso) = q₀ (T₁ -T₂)

= T₁ – T₂ = forza elettromotrice (f.e.m.)

E

In generale una f.e.m. non è conservativa.

Di che natura è il Campo Elettrostatico?

Calcoliamo il lavoro fatto dal Campo E.S.

Dato che il lavoro per spostare la carica q₀ da A a B non dipende dal percorso fatto, ma solo dalle coordinate degli estremi la Forza elettrostatica e il campo Elettrostatico sono conservativi.

U(x) si definisce Energia Potenziale Elettrostatica

V(x) = 1/q₀ U(x) si definisce Potenziale Elettrostatico

W

= - q

(V

– V

) = - q

 _V

W

= -  _U

_{= - [(U}

_{– U}

_{) ]}

E = 0 Per un campo conservativo:

 _{U = q}

 _V

Definiamo Potenziale Elettrostatico dovuto al campo E, nel punto r:

V(r)

A = B = 0

U(r) = q₀ V(r)

Unità di misura di V(r) : Joule/Coulomb = J/C  Volt: V

Allora E  N/C = N m/(C m) = J/(C m) = V/m ! Volt su metro

E è - la derivata di V rispetto a x ( la pendenza di V(x) )

dV = V ds

U e V campi scalari, ammettono il gradiente, 

In una sola dimensione:

Es. : E = cost. , V(x) = V₀ – E x

x

x E

V Se E è positivo, V(x) cala, …..

E(x) e V(x) dipendono solo dalla carica che genera il campo

Invece la U(x) = q₀ V(x) dipende anche dal valore e dal segno di q₀

N.B. I sistemi vanno spontaneamente da U maggiore a U minore, quindi

q+ va da V maggiore a V minore (scendono lungo il x U₊

Dato che derivare è più semplice di integrare, per avere Conviene calcolare V(r) (scalare) e poi derivare.

N.B.: è perpendicolare alle superfici di livello, equi…. (qui superfici equipotenziali ) e punta verso i V crescenti.

Quindi punta verso i V calanti

Se:

q

q

E

= 0

Abbiamo visto che:

Abbiamo anche visto il teorema di Stokes:

Quindi applicandolo a conservativo, si ottiene

Conservatività

Il secondo integrale è = 0, per qualunque  solo se è sempre = 0

Esempi di calcolo del potenziale

1)

3 cariche uguali, q, ai vertici di un triangolo equilatero di lato l. Trovare il potenziale al centro (V scalare!)

+

2)

2 piani indefiniti carichi con ₊ e _- E = cost. = /₀

+  - 

E

V V₀

3) Potenziale ( e Campo Elettrico) di un anello uniformemente carico

q₀

Energia Potenziale Elettrostatica

Abbiamo visto che possiamo scrivere

= W_r

Cioè U_e(r) è il lavoro che un ente esterno deve compiere per portare la carica q₀ da  a r , nel campo creato da q₁

Se abbiamo tante cariche (fisse) q_i , per avere l’energia immagazzinata nel sistema, si sommano i contributi di tutte le coppie (e si divide per due)

Se si aggiunge un’altra carica q₀ si deve sommare tutti i termini della somma = Energia necessaria per tenere insieme le cariche

Moto di una carica elettrica in un Campo Elettrico

Due possibili approcci:

1) Cinematica

2) Conservazione dell’energia

1)

F = ma = qE a =qE/m hp: E = costante e uniforme(!)

2) Teo delle “Forze Vive” :

½ mv_B² - ½ mv_A² = W_AB = U_A – U_B = qV_A - qV_B  K_e = -qV

½ mv_A² + qV_A = ½ mv_B² + qV_B

V= U/q

A B x

Cinescopio = Tubo a raggi catodici

Se E è perpend. a v₀ allora moto parabolico

K_e = q V : 1J =1 C 1V (V= J/C)

1J è un’energia molto grande per i fenomeni di tipo atomico.

Allora si usa l’elettro-volt = eV , l’energia che acquista un elettrone che attraversa la V di 1 V

1eV = 1.6 10^-19 C 1V = 1.6 10^-19 J 1J = 6.25 10¹⁸ eV

eV, meV, eV, KeV, MeV, GeV, TeV