Esercizi di Algebra Lineare Funzioni Lineari

Esercizi di Algebra Lineare Funzioni Lineari

Anna M. Bigatti 19 febbraio 2013

Definizione 1. Siano V e W due spazi vettoriali su un campo K e ϕ : V −→W un’applicazio- ne. ϕ si dice funzione lineare (o omomorfismo di K -spazi vettoriali o trasformazione lineare o applicazione lineare) se

rispetta il prodotto per uno scalare e rispetta la somma, cio`e

• per ogni α ∈ K e v ∈ V si ha ϕ(α · v) = α · ϕ(v)

• per ogni u, v ∈ V si ha ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v)

Esercizio 2. Sia ϕ : V −→W . Dimostrare che ϕ `e lineare (equivalentemente)

(a) se e solo se rispetta le combinazioni lineari di due elementi, cio`e per ogni α, β ∈ K e u, v ∈ V :

ϕ(α · u + β · v) = α · ϕ(u) + β · ϕ(v) (b) se e solo se rispetta le combinazioni lineari (di s ≥ 1 elementi), cio`e

per ogni α_i ∈ K e v_i∈ V si ha ϕ(Ps

i=1α_i· v_i) =Ps

i=1α_i· ϕ(v_i) Esempio 3.

Funzioni lineari da R in R : (dimostrare)

ϕ(x) = 2x, ϕ(x) = 0, ϕ(x) = −5x

Funzioni non lineari da R in R : (mostrare un controesempio)

ϕ(x) = x + 1, ϕ(x) = 1, ϕ(x) = x², ϕ(x) = cos(x) Esempio 4. Dimostrare che la funzione ϕ : R³→ R⁴, definita da

ϕ(v) = ϕ((x, y, z)) = (3x − 2y, 0, 1

2z − y, x − z)

`e lineare.

• Prodotto per uno scalare: a ∈ R , v ∈ R³

ϕ(av) = (3ax − 2ay, 0, ¹₂az − ay, ax − az)

= a(3x − 2y, 0, ¹₂z − y, x − z)

= aϕ(v)

1

• Somma: u, v ∈ R³

ϕ(u + v) = (3(v1+ u1) − 2(v2+ u2), 0, ¹₂(v3+ u3) − (v2+ u2), (v1+ u1) − (v3− u3))

= (3v1− 2v2, 0, ¹₂v3− v2, v1− v3) + (3u1− 2u2, 0, ¹₂u3− u2, u1− u3)

= ϕ(u) + ϕ(v)

Equivalentemente si pu`o mostrare l’uguaglianza sulla combinazione lineare generica di due vettori: ϕ(αu + βv) = (...) = ϕ(αu) + ϕ(βv)

Esercizio 5. Mostrare che le seguenti funzioni non sono funzioni lineari:

ϕ : R²−→R³ definita da ϕ(v) = (3 · v1− v2, 1/2, v1) , ψ : R²−→R³ definita da ψ(v) = (3 · v₁− 2 · v2, 0, v²₂) . Esercizio 6. Si considerino le seguenti funzioni:

α : R³−→R² definita da α(a, b, c) = (c, 0)

β : R³−→R³ definita da β(a, b, c) = (a, b + 2c, b) γ : R³−→R definita da γ(a, b, c) = a − 1

(a) Dire quali sono lineari.

(b) Trovare una funzione θ : R−→R tale che θ ◦ γ : R³−→R sia lineare.

Esercizio 7. Si considerino le seguenti funzioni:

α : R³−→R² definita da α(a, b, c) = (a, 1) β : R³−→R³ definita da β(a, b, c) = (a, b + 2c, 0) γ : R³−→R definita da γ(a, b, c) = a²

(a) Dire quali sono lineari.

(b) Trovare una funzione θ : R²−→R tale che θ ◦ α : R³−→R sia lineare.

Esercizio 8. Si considerino le seguenti funzioni:

α : R³−→R² definita da α(a, b, c) = (c, c) γ : R³−→R definita da γ(a, b, c) = a + b − c − 1 β : R³−→R³ definita da β(a, b, c) = (a − c, b + 2c, 3b)

(a) Dire quali sono lineari.

(b) Trovare una funzione θ : R−→R tale che θ ◦ γ : R³−→R sia lineare.

Definizione 9. Data una funzione lineare ϕ : U −→V

• il nucleo di ϕ `e l’insieme dei vettori la cui immagine `e il vettore nullo:

Ker(ϕ) := ϕ⁻¹(0) = {v ∈ U | ϕ(v) = 0V}

• l’immagine di ϕ `e l’insieme delle immagini dei vettori di U :

Im(ϕ) := {ϕ(v) | v ∈ U } = {v ∈ V | ∃u ∈ U, ϕ(u) = v}

2