Tutorato di Geometria e Algebra 2018/2019
Questo documento descrive gli esercizi che sono stati o saranno fatti durante le sessioni di tutorato.
12 ottobre 2018
• Dal libro Geometria di Marco Abate gli ess. 2.15, 2.18, 2.19, 2.20, 2.21.
• Da questa prova d’esame dell’anno scorso, l’esercizio 2 salvo il punto (d).
• Da questo foglio di esercizi del dott. Ghigi, l’esercizio 1 salvo il punto (c) e l’esercizio 2 salvo il punto (d).
19 ottobre 2018
• Da questa prova d’esame dell’anno scorso, tutto l’esercizio 2, in quanto non `e stato svolto l’ultima volta.
• Da questa prova d’esame, tutto l’esercizio 2.
Inoltre, ogni volta che compare una retta o un piano scriverne sia la forma parametrica che quella cartesiana.
26 ottobre 2018
• Il foglio d’esercizi 3 da questa pagina.
Se poi c’`e tempo (ma verosimilmente non ce ne sar`a).
• Siano v e w vettori di Rn che hanno una componente (per fissare le idee, la prima componente) uguale e non nulla e un’altra componente (per fis- sare le idee la seconda) diversa. Dimostrare che v e w sono linerarmente indipendenti. Mostrare (con un esempio) che “non nulla” `e fondamentale.
• Come sappiamo R `e uno spazio vettoriale e che i suoi unici sottospazi sono quelli banali: {0} e R stesso.
Si spieghi perch´e i seguenti sottinsiemi non sono sottospazi vettoriali di R: A = [−1, 1], B = [0, +∞) e C = N.
• Sia U = R[t] lo spazio vettoriale dei polinomi (a coefficienti reali). Sia n > 0. Sia V l’insieme dei polinomi con grado al pi`u n. Mostrare che V `e un sottospazio.
Sia A l’insieme dei polinomi di grado esattamente n. Mostrare che A non
`
e un sottospazio.
Sia W l’insieme dei polinomi divisibili per xn+1. Mostrare che W `e un sottospazio.
Calolare V ∩ W e V + W .
9 novembre 2018
• Fare gli esercizi della figura 1.
• Da questo foglio gli esercizi dal 2.2 al 2.8. Noi ne correggeremo solo alcuni punti perch´e sono tantissimi, ma `e consigliato fargli tutti.
16 novembre 2018
• Siano U , V ⊂ R4 definiti da U = Span(u1, u2) e V = Span(v1, v2) ove
u1=
1 1 0 1
, u2=
1 1 1 1
, v1=
1 0
−1 0
, v2=
2 0
−1 0
. (1)
Trovare dimensione, una base e delle equazioni cartesiane per U ∩ V e U + V .
• Siano U e V definiti dalle seguenti equazioni cartesiane:
U =
x y z t
x − z + 2t = 0
, V =
x y z t
x + y + z = 0, y − t = 0
(2)
Trovare dimensione, una base e delle equazioni cartesiane per U ∩ V e U + V .
•
• Dal libro Geometria di Marco Abate l’esercizio 7.14.
• Calcolare AB e BA per le seguenti matrici A =0 −1
1 0
, B = 0 1
−1 0
(3)
A =
0 −1 0
1 0 0
0 0 1
, B =
1 0 0
0 0 1
0 −1 0
(4)
WA)'tkniìgo*o dA
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Lfrd]
,t{rxaì44r*
Figure 1:
A =5 6 7 8
, B =0 1
0 0
(5)
A =5 6 7 8
, B =1 −1
0 1
(6)
A =0 1 0 0
, B =0 1
0 0
(7)
• Calcolare A, A2, A3 e A4per le seguenti matrici
A =0 −1
1 0
, A =
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
(8)
A =
1 2
1 2 0 0 1
2 1 2 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
(9)
23 novembre 2018
• Dalla pagina del dott. Seppi il foglio d’esercizi 4 e gli esercizi di riepilogo sulle matrici (da 1 a 19), salvo gli esercizi sul rango.
30 novembre 2018
• Si studi al variare del parametro t il seguente sistema.
t 3 4 0 2 t2 0 1 t 2 3 2t
x y z
=
1 0
−1 4
(10)
• Da questa prova d’esame gli esercizi sul determinante.
• Da questa il primo esercizio.
• Finire gli esercizi sul rango, iniziati l’altra volta.
7 dicembre 2018
• Da questa prova l’esercizio 4.
• Da questo foglio di esercizi gli esercizi dal 4.1 al 4.4 e il 4.6.
14 dicembre 2018
• Da questa prova d’esame il secondo esercizio.
• Da questa il primo esercizio.
• Sia L : Rn → R5applicazione lineare.
Vero o falso? Fornire dimostrazione o controesempio.
1. Esistono y1, . . . , yn∈ R5 tali che detta A la matrice A = (y1| · · · |yn) (ossia che ha per colonne i vettori yi) allora L(x) = Ax.
2. L `e suriettiva.
3. Se L `e iniettiva, allora n ≤ 5.
4. y3∈ Im L.
• Consideriamo le seguenti funzioni da R in R:
x 7→ 0, x 7→ exp(x), x 7→ x2− x, x 7→ −3x. (11) Tracciarne un grafico e capire come sono fatte le applicazioni lineari.
21 dicembre 2018
• Si consideri la matrice
A =0 −1
1 0
. (12)
Mostrare che A non ha autovalori (scrivere Ax = λx e vedere che `e sod- disfatta solo da x = 0). In che punto fallisce il Secondo Criterio di Diag- onalizzazione (Teorema 6.22 del libro di Bisi, Bonsante e Brivio)?
• Si consideri la matrice
A =0 1 0 0
. (13)
Se ne trovi l’autovalore e il corrispettivo autospazio. In che punto fallisce il Secondo Criterio di Diagonalizzazione (Teorema 6.22 del libro di Bisi, Bonsante e Brivio)?
• Stessa domanda di prima, per la matrice
A =
3 1 0 0 3 1 0 0 3
. (14)
• Da questa prova d’esame, i primi quattro esercizi.
• Da questa, il terzo esercizio.
