3. Esercizi di Geometria 1
(Semestre Invernale 2018/2019)
Dr. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego
Esercizio 1. Si considerino su R le seguenti topologie τi
(1) Discreta;
(2) Banale;
(3) Euclidea;
(4) Della semicontinuit`a superiore;
(5) di Sorgenfrey;
(6) la topologia che ha per base la famiglia di insiemi del tipo {(−a, a)|a ∈ R, e a ≥ 0};
(7) Cofinita.
Si consideri la funzione
f : (R, τi) −→ (R, τj), x 7→ x2. Per quali i e j la funzione f `e continua, chiusa, aperta?
Esercizio 2. Un’applicazione f : X −→ Y si dice un omeomorfismo locale se per ogni x ∈ X esistono due aperti A ⊂ X e B ⊂ Y tali che x ∈ A, f (A) ⊂ B e f |A: A −→ B la restrizione di f ad A `e un omeomorfismo.
(1) Dimostrare che un omeomorfismo `e un omeomorfismo locale.
(2) Il viceversa non `e vero: Dimostrare che l’applicazione e : R −→ S1, e(t) = (cos 2πt, sin 2πt)
`e un omeomorfismo locale ma non un omeomorfismo.
(3) Dimostrare che un omeomorfismo locale `e un’applicazione aperta.
(4) Dare un esempio di omeomorfismo locale che non `e un’applicazione chiusa.
(5) Dimostrare che le fibre di un omeomorfismo locale f : X −→ Y sono sottospazi discreti di X.
Ricordiamo che S1 ⊂ R2 `e la circonferenza di raggio 1 centrata nell’origine.
Esercizio 3. Si consideri ora Re l’insieme R dotato della topologia euclidea e sia Rc l’insieme R dotato della topologia cofinita.
(1) In Re×Rccon la topologia prodotto, si consideri il sottoinsieme Q = A\B dove
A = {(x, y) ∈ Re× Rc|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}, B = {(x, y) ∈ Re× Rc|0 < x < 1, 0 < y < 1}.
Determinare l’interno, la chiusura e la frontiera di Q.
(2) Stabilire se la funzione f : Re× Rc−→ Re× Rc data da f (x, y) = (y, x)
`e un omeomorfismo.
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(3) Stabilire se la funzione g : Re× Rc −→ Rc× Re data da g(x, y) = (y, x)
`e un omeomorfismo.
Esercizio 4. Sia R2 con la topologia euclidea. Si definisca su R2 la seguente relazione di equivalenza
(x, y) ∼ (x0, y0) ⇔ x − x0 ∈ Z y − y0 ∈ Q.
Sia X = R2/ ∼ dotato della topologia quoziente e sia p : R2 −→ X la proiezione naturale. Inoltre si considerino i seguenti insiemi in R2
A = {(x, y) ∈ R2| − 1 < x < 1, −1 < y < 1}
B = {(x, y) ∈ R2|y = 0}
C = {(x, y) ∈ R2|x = 0}
Stabilire se gli insiemi p(A), p(B) e p(C) sono aperti, chiusi, ne aperti ne chiusi, sia aperti che chiusi in X (giustificare dettagliatamente la risposta).
