ANALISI MATEMATICA 3-4, Ing. Gestionale 2008/09
Docente: Lucio Damascelli - Tel. 0672594675, studio 1127, Dip. Matematica, primo piano, primo dente
Email: damascel@mat.uniroma2.it http://www.mat.uniroma2.it/~damascel Testo di riferimento: [0]
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, ANALISI MATEMATICA, McGraw-Hill Programma
1) Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie.
Generalita’ sulle equazioni differenziali ordinarie. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili e ad esse riconducibili. Equazioni lineari del primo ordine, equazioni di Bernoulli. Equazioni lineari del secondo ordine e di ordine superiore, metodi di risoluzione nel caso di coefficienti costanti. Cenno alla soluzione di alcuni sistemi di equazioni del primo ordine.
2) Elementi di calcolo differenziale per funzioni di più variabili.
Concetti topologici elementari nello spazio euclideo R^N, teorema di Weierstrass, limiti e continuita’ di funzioni di piu’ variabili a valori scalari e vettoriali.
Derivate parziali e direzionali, differenziabilita’ e differenziale di una funzione.
Gradiente e matrice jacobiana. Estremi relativi (liberi) di funzioni scalari di piu’
variabili. Formula di Taylor del secondo ordine e criteri basati sulla matrice hessiana.
3) Funzioni implicite, Massimi e Minimi vincolati.
Concetto di funzione implicita. Teorema di Dini in due dimensioni. Teorema di Dini in piu’ dimensioni e cenni al caso dei sistemi. Estremi vincolati di funzioni di due e tre variabili con un vincolo, estremi vincolati di funzioni di tre variabili con due vincoli. Cenno al caso generale di funzioni con n variabili ed m vincoli. Ricerca di massimi e minimi assoluti su insiemi compatti con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
4) Curve e integrali curvilinei, forme differenziali.
Curve regolari, lunghezza di una curva. Integrali curvilinei di prima specie di
funzioni scalari. Integrali curvilinei di seconda specie di campi vettoriali, linguaggio delle forme differenziali. Forme differenziali chiuse ed esatte, insiemi semplicemente connessi e relative proprieta’. Calcolo di primitive di una forma esatta.
5) Integrali doppi e tripli.
Definizione di integrale doppio e triplo, formule di riduzione, cambi di variabile.
Coordinate polari, cilindriche, sferiche. Teorema di Green nel piano e applicazione alla dimostrazione di condizioni sufficienti di esattezza di una forma differenziale.
6) Superfici, integrali superficiali e Analisi vettoriale.
Superfici regolari, area di una superficie, integrali di superficie.
Teorema della divergenza e applicazioni. Cenni sulle superfici con bordo e sul teorema di Stokes
7) Successioni e serie di funzioni. Serie di potenze, serie di Fourier.
[Convergenza puntuale e uniforme di sucessioni di funzioni, convergenza puntuale, uniforme e totale di serie di funzioni, proprieta’ della convergenza uniforme ].
Serie di potenze reali e loro proprieta’.
8) Primi elementi di Analisi complessa.
Serie di potenze complesse, funzioni complesse di variabile complessa, derivata di una funzione complessa. Funzioni olomorfe e loro principali proprieta’. Analicita’
delle funzioni olomorfe, sviluppi in serie di Taylor. Singolarita’ isolate, sviluppi in serie di Laurent, residuo di una funzione in un punto singolare isolato. Teorema dei residui e cenni sulle applicazioni al calcolo di integrali di funzioni reali.
9) Complementi sulle equazioni differenziali ordinarie.
[ Teoremi di esistenza e unicita’ locali e globali ].
Il testo di riferimento [0] contiene alcuni esercizi con soluzione e copre nei capitoli corrispondenti tutti gli argomenti del corso ad eccezione degli argomenti in parentesi quadre (che ad esempio si possono trovare nel testo [2] segnalato qui sotto).
Altri testi utili relativi al programma svolto (ad eccezione della parte 8) che si puo’
trovare nel testo di riferimento [0]) sono i seguenti (in parentesi tonda le relazioni tra i capitoli e le parti del programma)
[1bis] Apostol – Calcolo vol.1 (solo cap. 8 per la parte 1) del programma)
[1] Apostol – Calcolo vol. 3 (Boringhieri, con esercizi) (capp. 5 e 6 per le parti 2) e 3) , capp. 4) e 7) per la parte 4) , cap. 8) per la parte 5), cap. 9) per la parte 6), cap. 1) per la parte 7) ; i capp. 2) e 3) approfondiscono lo studio delle equazioni e sistemi lineari anche oltre gli argomenti trattati durante le lezioni )
[2] Fusco, Marcellini, Sbordone – Elementi di Analisi Matematica due (Liguori) (cap. 1 per la parte 7), cap. 2) per la parte 2), cap. 3) per le parti 1) e 9), cap. 4 per la parte 4), cap. 5 per la parte 5), cap. 6) per la parte 6), cap 7) per la parte 3)
Il testo di riferimento [0] e il testo ausiliario [1] contengono esercizi.
Per altri esercizi si possono consultare i testi
[3] Marcellini, Sbordone -Esercitazioni di Matematica 2 vol. (in due parti) (Liguori)
[4] Demidovic Esercizi e problemi di Analisi Matematica (Editori Riuniti)
E’ disponibile al Focal Point di SoGeNe del materiale relativo a questo corso.
Per l’ eventuale orale bisogna conoscere tutte le definizioni e i concetti introdotti, e conoscere le poche discussioni, a volte complete dimostrazioni, svolte nel corso, per i quali si fa riferimento alle lezioni svolte.
Ad esempio tra i teoremi e le proprieta’ discusse in dettaglio (completare con altre discussioni viste a lezione):
Esistenza e unicita’ per equazioni differenziali a variabili separabili.
Formula di soluzione per equazioni lineari del primo ordine, formule di
soluzione e metodo di variazione delle costanti per equazioni lineari del secondo ordine.
Concetto di matrice jacobiana, enunciato del teorema di derivazione delle funzioni composte.
- Condizioni necessarie e sufficienti di differenziabilita’ con dimostrazioni.
Formula di Taylor del secondo ordine e conseguenti criteri per i massimi/minimi liberi basati sulla matrice hessiana.
- Teorema di Dini in due dimensioni con dimostrazione.
Enunciato dei casi piu’ generali.
Discussione intuitiva della regola dei moltiplicatori di Lagrange.
Discussione intuitiva del concetto e significato di lunghezza di una curva e di integrale curvilineo di prima specie.
- Condizioni necessarie e sufficienti e condizione necessaria (di chiusura) per l’
esattezza di una forma differenziale con dimostrazioni.
- Concetto di insieme semplicemente connesso e criterio sufficiente di esattezza in un tale insieme (dimostrazione in due dimensioni utilizzando il Teorema di Green nel successivo capitolo).
Concetti relativi agli integrali doppi, tripli, di superficie.
- Dimostrazione del Teorema di Green nel piano per insiemi semplici.
- Dimostrazione del Teorema della divergenza nello spazio per insiemi semplici.
Facoltativo: concetto di superficie con e senza bordo, enunciato del Teorema di Stokes (vedi capitolo relativo in [0]).
Definizioni e proprieta’ relative alla convergenza puntuale ed uniforme di successioni e serie di funzioni.
- Dimostrazione del teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale.
- Dimostrazione del criterio di Weierstrass (di convergenza totale) per serie di funzioni.
Concetti generali e proprieta’ delle funzioni olomorfe e relativi integrali curvilinei, con dimostrazione del teorema di Cauchy sulle circuitazioni di integrali di funzioni olomorfe.
Discussione senza dimostrazione degli altri concetti introdotti, fino agli sviluppi in serie di Laurent e al calcolo dei residui in casi semplici.
- Teorema di Cauchy di esistenza e unicita’ locale per problemi di Cauchy per equazioni differenziali del primo ordine in forma normale.
Enunciato del corrispondente teorema locale, e del teorema globale, per sistemi di equazioni differenziali del primo ordine.
