INGEGNERIA AEROSPAZIALE: CORSO DI FISICA GENERALE II E ELETTRONICA INGEGNERIA GESTIONALE E INGEGNERIA CHIMICA: CORSO DI FISICA GENERALE II E

Testo n. 0 - Cognome e Nome:

UNIVERSIT ` A DI PISA

INGEGNERIA AEROSPAZIALE: CORSO DI FISICA GENERALE II E ELETTRONICA INGEGNERIA GESTIONALE E INGEGNERIA CHIMICA: CORSO DI FISICA GENERALE II E

ELETTROTECNICA Prova n. 2 - 19/12/2020

Negli esercizi seguenti le coordinate polari sferiche vengono indicate con i simboli r,θ,φ, dove r ` e la distanza dall’origine O, θ ` e l’angolo polare (colatitudine) e φ ` e l’azimut; le coordinate cilindriche vengono indicate con i simboli ρ,φ,z, dove ρ ` e la distanza dall’asse polare, φ ` e l’azimut e z ` e la quota; le coordinate cartesiane vengono indicate con i simboli x,y,z. Quando pi` u tipi di coordinate sono usati nello stesso esercizio, salvo avviso contrario i diversi sistemi sono associati nel modo usuale: origini coincidenti, assi polari coincidenti tra loro e coincidenti con l’asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse x > 0, ecc.

1) Siano date due spire circolari di raggi rispettivamente a = 1.15 m e b = 0.0133 m (si noti a >> b), complanari e concentriche. Nella spira piccola (di raggio b), tramite un generatore, viene inviata una corrente elettrica i(t) che varia con il tempo linearmente per t < T , i(t) = i 0 t

T , con i 0 = 1.11 A e T = 1.00 s, ed ` e costante uguale a i ₀ per t > T . La spira grande (di raggio a) ha una resistenza elettrica R = 1.03 ohm e un coefficiente di autoinduzione L = 1.20 henry. Resistenza elettrica e coefficiente di autoinduzione della spira piccola (di raggio a) siano trascurabili. Determinare il coefficiente di mutua induzione, in microhenry, tra le due spire.

A 0 B 1.24 × 10 ⁻⁴ C 3.04 × 10 ⁻⁴ D 4.84 × 10 ⁻⁴ E 6.64 × 10 ⁻⁴ F 8.44 × 10 ⁻⁴

2) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 1), calcolare la corrente, in nanoampere, che percorre la spira grande (di raggio a) all’istante t = ³ ₂ T .

A 0 B 0.123 C 0.303 D 0.483 E 0.663 F 0.843

3) In un sistema di riferimento cartesiano, carica elettrica con densit` a uniforme ρ = 1.11 nC/m ³ riempie lo spazio compreso tra i piani x = 0 e x = d, con d = 0.0172 m, delimitato da due piastre conduttrici ”I” e

”II” quadrate di lato L, con L = 1.18 m (si noti L >> d) e con cariche, rispettivamente Q I = 1.07 nC e Q II = 0. Determinare la differenza di potenziale, in volt, tra la piastra ”I” e la piastra ”II”.

A 0 B 0.206 C 0.386 D 0.566 E 0.746 F 0.926

4) Una sfera perfettamente conduttrice di raggio a = 0.0203 m ` e posta all’interno di un altro conduttore perfetto costituito da un guscio sferico, di raggio c = 0.0986 m e spessore trascurabile. I due conduttori sono concentrici. Il volume tra i due conduttori, con a < r < c, ` e riempito da due materiali con diversa conducibilit` a elettrica, rispettivamente σ 1 = 1.10 (ohm·m) ⁻¹ per a < r < b e σ 2 = 0.541 (ohm·m) ⁻¹ per b < r < c, con b = 0.0600 m. I due conduttori perfetti, inizialmente scarichi, sono collegati ad una batteria, che mantiene una differenza di potenziale V = 1.19 volt costante tra essi, con la sfera interna di raggio a a potenziale maggiore. Vengono raggiunte le condizioni stazionarie. Calcolare la corrente, in ampere, che scorre tra i due conduttori.

A 0 B 0.179 C 0.359 D 0.539 E 0.719 F 0.899

5) Nelle stesse condizioni del precedente Esercizio 4), calcolare la carica elettrica, in nC, che si accumula sulla sfera conduttrice di raggio a.

A 0 B 1.09 × 10 ⁻³ C 2.89 × 10 ⁻³ D 4.69 × 10 ⁻³ E 6.49 × 10 ⁻³ F 8.29 × 10 ⁻³

`

e immersa in un campo magnetico non uniforme ~ B = B _z (x)~ k, diretto lungo l’asse z con B _z (x) = B ₀ (1 + _2a ), con B ₀ = 1.08 tesla. Calcolare l’intensit` a della forza totale, in micronewton, che agisce sulla spira.

A 0 B 2.21 C 4.01 D 5.81 E 7.61 F 9.41

7) In un sistema di riferimento cartesiano, sono dati due lunghi fili rettilinei conduttori percorsi da corrente.

I due fili si trovano su due piani paralleli distanti h = 1.19 m (possiamo immaginare si tratti dei piani z = 0 e z = h). Lungo il filo ”1”, che coincide con l’asse x (nel piano z = 0), scorre la corrente I ₁ = 1.04 A, nel verso positivo delle x. Lungo il filo ”2”, che coincide con l’asse y (nel piano z = h), scorre la corrente I 2 = 1.09 A, nel verso positivo delle y. Determinare la distanza, in m, dall’origine del sistema di riferimento, dei punti nei quali la forza magnetica, per unit` a di lunghezza, che il filo ”2” esercita in ogni punto del filo

”1” ` e massima.

A 0 B 1.19 C 2.99 D 4.79 E 6.59 F 8.39

8) In un sistema di riferimento cartesiano, una spira conduttrice quadrata rigida, di lato a = 1.02 m, resistenza elettrica R = 0.192 ohm, e massa m = 2.25 × 10 ⁻³ kg, giace sul piano verticale yz. La spira ` e soggetta alla forza peso, diretta nel verso negativo dell’asse z, ed ` e immersa in un campo magnetico ~ B = (B _x , 0, 0) perpendicolare al piano yz. Il campo ~ B dipende dalla quota z secondo la relazione B _x (z) = ^B _a

^z , con B 0 = 0.169 tesla. La spira pu` o muoversi verticalmente nel piano yz di moto traslatorio, mantenendo i lati paralleli agli assi. La posizione della spira ` e determinata in ogni istante dalla quota del suo centro z _c . All’istante iniziale t = 0 la spira si trova alla quota z _c = 112 m, ` e ferma ed ` e lasciata libera di cadere.

Calcolare il flusso del campo magnetico, in Tm ² , attraverso la spira all’istante t = 0. (Si ricordi il valore della accelerazione di gravit` a g = 9.81 m/s ² ).

A 0 B 19.3 C 37.3 D 55.3 E 73.3 F 91.3

9) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 8), calcolare la velocit` a asintotica di caduta, in m/s, della spira.

A 0 B 0.143 C 0.323 D 0.503 E 0.683 F 0.863

10) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 9), determinare l’intensit` a della forza, in newton, esercitata dal campo magnetico sulla spira lungo l’asse z, all’istante nel quale la velocit` a della spira ` e la met` a della velocit` a asintotica di caduta.

A 0 B 0.0110 C 0.0290 D 0.0470 E 0.0650 F 0.0830

Testo n. 1 - Cognome e Nome:

UNIVERSIT ` A DI PISA

INGEGNERIA AEROSPAZIALE: CORSO DI FISICA GENERALE II E ELETTRONICA INGEGNERIA GESTIONALE E INGEGNERIA CHIMICA: CORSO DI FISICA GENERALE II E

ELETTROTECNICA Prova n. 2 - 19/12/2020

Negli esercizi seguenti le coordinate polari sferiche vengono indicate con i simboli r,θ,φ, dove r ` e la distanza dall’origine O, θ ` e l’angolo polare (colatitudine) e φ ` e l’azimut; le coordinate cilindriche vengono indicate con i simboli ρ,φ,z, dove ρ ` e la distanza dall’asse polare, φ ` e l’azimut e z ` e la quota; le coordinate cartesiane vengono indicate con i simboli x,y,z. Quando pi` u tipi di coordinate sono usati nello stesso esercizio, salvo avviso contrario i diversi sistemi sono associati nel modo usuale: origini coincidenti, assi polari coincidenti tra loro e coincidenti con l’asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse x > 0, ecc.

1) Siano date due spire circolari di raggi rispettivamente a = 1.14 m e b = 0.0173 m (si noti a >> b), complanari e concentriche. Nella spira piccola (di raggio b), tramite un generatore, viene inviata una corrente elettrica i(t) che varia con il tempo linearmente per t < T , i(t) = i 0 t

T , con i 0 = 1.16 A e T = 1.09 s, ed ` e costante uguale a i ₀ per t > T . La spira grande (di raggio a) ha una resistenza elettrica R = 1.01 ohm e un coefficiente di autoinduzione L = 1.07 henry. Resistenza elettrica e coefficiente di autoinduzione della spira piccola (di raggio a) siano trascurabili. Determinare il coefficiente di mutua induzione, in microhenry, tra le due spire.

A 0 B 1.58 × 10 ⁻⁴ C 3.38 × 10 ⁻⁴ D 5.18 × 10 ⁻⁴ E 6.98 × 10 ⁻⁴ F 8.78 × 10 ⁻⁴

2) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 1), calcolare la corrente, in nanoampere, che percorre la spira grande (di raggio a) all’istante t = ³ ₂ T .

A 0 B 0.210 C 0.390 D 0.570 E 0.750 F 0.930

3) In un sistema di riferimento cartesiano, carica elettrica con densit` a uniforme ρ = 1.09 nC/m ³ riempie lo spazio compreso tra i piani x = 0 e x = d, con d = 0.0121 m, delimitato da due piastre conduttrici ”I” e

”II” quadrate di lato L, con L = 1.07 m (si noti L >> d) e con cariche, rispettivamente Q I = 1.20 nC e Q II = 0. Determinare la differenza di potenziale, in volt, tra la piastra ”I” e la piastra ”II”.

A 0 B 0.176 C 0.356 D 0.536 E 0.716 F 0.896

4) Una sfera perfettamente conduttrice di raggio a = 0.0385 m ` e posta all’interno di un altro conduttore perfetto costituito da un guscio sferico, di raggio c = 0.0842 m e spessore trascurabile. I due conduttori sono concentrici. Il volume tra i due conduttori, con a < r < c, ` e riempito da due materiali con diversa conducibilit` a elettrica, rispettivamente σ 1 = 1.07 (ohm·m) ⁻¹ per a < r < b e σ 2 = 0.588 (ohm·m) ⁻¹ per b < r < c, con b = 0.0603 m. I due conduttori perfetti, inizialmente scarichi, sono collegati ad una batteria, che mantiene una differenza di potenziale V = 1.17 volt costante tra essi, con la sfera interna di raggio a a potenziale maggiore. Vengono raggiunte le condizioni stazionarie. Calcolare la corrente, in ampere, che scorre tra i due conduttori.

A 0 B 0.156 C 0.336 D 0.516 E 0.696 F 0.876

5) Nelle stesse condizioni del precedente Esercizio 4), calcolare la carica elettrica, in nC, che si accumula sulla sfera conduttrice di raggio a.

A 0 B 1.85 × 10 ⁻³ C 3.65 × 10 ⁻³ D 5.45 × 10 ⁻³ E 7.25 × 10 ⁻³ F 9.05 × 10 ⁻³

`

e immersa in un campo magnetico non uniforme ~ B = B _z (x)~ k, diretto lungo l’asse z con B _z (x) = B ₀ (1 + _2a ), con B ₀ = 1.15 tesla. Calcolare l’intensit` a della forza totale, in micronewton, che agisce sulla spira.

A 0 B 2.76 C 4.56 D 6.36 E 8.16 F 9.96

7) In un sistema di riferimento cartesiano, sono dati due lunghi fili rettilinei conduttori percorsi da corrente.

I due fili si trovano su due piani paralleli distanti h = 1.09 m (possiamo immaginare si tratti dei piani z = 0 e z = h). Lungo il filo ”1”, che coincide con l’asse x (nel piano z = 0), scorre la corrente I ₁ = 1.14 A, nel verso positivo delle x. Lungo il filo ”2”, che coincide con l’asse y (nel piano z = h), scorre la corrente I 2 = 1.03 A, nel verso positivo delle y. Determinare la distanza, in m, dall’origine del sistema di riferimento, dei punti nei quali la forza magnetica, per unit` a di lunghezza, che il filo ”2” esercita in ogni punto del filo

”1” ` e massima.

A 0 B 1.09 C 2.89 D 4.69 E 6.49 F 8.29

8) In un sistema di riferimento cartesiano, una spira conduttrice quadrata rigida, di lato a = 1.08 m, resistenza elettrica R = 0.192 ohm, e massa m = 3.20 × 10 ⁻³ kg, giace sul piano verticale yz. La spira ` e soggetta alla forza peso, diretta nel verso negativo dell’asse z, ed ` e immersa in un campo magnetico ~ B = (B _x , 0, 0) perpendicolare al piano yz. Il campo ~ B dipende dalla quota z secondo la relazione B _x (z) = ^B _a

^z , con B 0 = 0.154 tesla. La spira pu` o muoversi verticalmente nel piano yz di moto traslatorio, mantenendo i lati paralleli agli assi. La posizione della spira ` e determinata in ogni istante dalla quota del suo centro z _c . All’istante iniziale t = 0 la spira si trova alla quota z _c = 117 m, ` e ferma ed ` e lasciata libera di cadere.

Calcolare il flusso del campo magnetico, in Tm ² , attraverso la spira all’istante t = 0. (Si ricordi il valore della accelerazione di gravit` a g = 9.81 m/s ² ).

A 0 B 19.5 C 37.5 D 55.5 E 73.5 F 91.5

9) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 8), calcolare la velocit` a asintotica di caduta, in m/s, della spira.

A 0 B 0.218 C 0.398 D 0.578 E 0.758 F 0.938

10) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 9), determinare l’intensit` a della forza, in newton, esercitata dal campo magnetico sulla spira lungo l’asse z, all’istante nel quale la velocit` a della spira ` e la met` a della velocit` a asintotica di caduta.

A 0 B 0.0157 C 0.0337 D 0.0517 E 0.0697 F 0.0877

Testo n. 2 - Cognome e Nome:

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INGEGNERIA AEROSPAZIALE: CORSO DI FISICA GENERALE II E ELETTRONICA INGEGNERIA GESTIONALE E INGEGNERIA CHIMICA: CORSO DI FISICA GENERALE II E

ELETTROTECNICA Prova n. 2 - 19/12/2020

Negli esercizi seguenti le coordinate polari sferiche vengono indicate con i simboli r,θ,φ, dove r ` e la distanza dall’origine O, θ ` e l’angolo polare (colatitudine) e φ ` e l’azimut; le coordinate cilindriche vengono indicate con i simboli ρ,φ,z, dove ρ ` e la distanza dall’asse polare, φ ` e l’azimut e z ` e la quota; le coordinate cartesiane vengono indicate con i simboli x,y,z. Quando pi` u tipi di coordinate sono usati nello stesso esercizio, salvo avviso contrario i diversi sistemi sono associati nel modo usuale: origini coincidenti, assi polari coincidenti tra loro e coincidenti con l’asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse x > 0, ecc.

1) Siano date due spire circolari di raggi rispettivamente a = 1.14 m e b = 0.0123 m (si noti a >> b), complanari e concentriche. Nella spira piccola (di raggio b), tramite un generatore, viene inviata una corrente elettrica i(t) che varia con il tempo linearmente per t < T , i(t) = i 0 t

T , con i 0 = 1.09 A e T = 1.08 s, ed ` e costante uguale a i ₀ per t > T . La spira grande (di raggio a) ha una resistenza elettrica R = 1.19 ohm e un coefficiente di autoinduzione L = 1.05 henry. Resistenza elettrica e coefficiente di autoinduzione della spira piccola (di raggio a) siano trascurabili. Determinare il coefficiente di mutua induzione, in microhenry, tra le due spire.

A 0 B 2.62 × 10 ⁻⁴ C 4.42 × 10 ⁻⁴ D 6.22 × 10 ⁻⁴ E 8.02 × 10 ⁻⁴ F 9.82 × 10 ⁻⁴

2) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 1), calcolare la corrente, in nanoampere, che percorre la spira grande (di raggio a) all’istante t = ³ ₂ T .

A 0 B 0.0131 C 0.0311 D 0.0491 E 0.0671 F 0.0851

3) In un sistema di riferimento cartesiano, carica elettrica con densit` a uniforme ρ = 1.17 nC/m ³ riempie lo spazio compreso tra i piani x = 0 e x = d, con d = 0.0102 m, delimitato da due piastre conduttrici ”I” e

”II” quadrate di lato L, con L = 1.12 m (si noti L >> d) e con cariche, rispettivamente Q I = 1.06 nC e Q II = 0. Determinare la differenza di potenziale, in volt, tra la piastra ”I” e la piastra ”II”.

A 0 B 0.127 C 0.307 D 0.487 E 0.667 F 0.847

4) Una sfera perfettamente conduttrice di raggio a = 0.0246 m ` e posta all’interno di un altro conduttore perfetto costituito da un guscio sferico, di raggio c = 0.0984 m e spessore trascurabile. I due conduttori sono concentrici. Il volume tra i due conduttori, con a < r < c, ` e riempito da due materiali con diversa conducibilit` a elettrica, rispettivamente σ 1 = 1.05 (ohm·m) ⁻¹ per a < r < b e σ 2 = 0.431 (ohm·m) ⁻¹ per b < r < c, con b = 0.0603 m. I due conduttori perfetti, inizialmente scarichi, sono collegati ad una batteria, che mantiene una differenza di potenziale V = 1.12 volt costante tra essi, con la sfera interna di raggio a a potenziale maggiore. Vengono raggiunte le condizioni stazionarie. Calcolare la corrente, in ampere, che scorre tra i due conduttori.

A 0 B 0.192 C 0.372 D 0.552 E 0.732 F 0.912

5) Nelle stesse condizioni del precedente Esercizio 4), calcolare la carica elettrica, in nC, che si accumula sulla sfera conduttrice di raggio a.

A 0 B 1.34 × 10 ⁻³ C 3.14 × 10 ⁻³ D 4.94 × 10 ⁻³ E 6.74 × 10 ⁻³ F 8.54 × 10 ⁻³

`

e immersa in un campo magnetico non uniforme ~ B = B _z (x)~ k, diretto lungo l’asse z con B _z (x) = B ₀ (1 + _2a ), con B ₀ = 1.15 tesla. Calcolare l’intensit` a della forza totale, in micronewton, che agisce sulla spira.

A 0 B 2.17 C 3.97 D 5.77 E 7.57 F 9.37

7) In un sistema di riferimento cartesiano, sono dati due lunghi fili rettilinei conduttori percorsi da corrente.

I due fili si trovano su due piani paralleli distanti h = 1.09 m (possiamo immaginare si tratti dei piani z = 0 e z = h). Lungo il filo ”1”, che coincide con l’asse x (nel piano z = 0), scorre la corrente I ₁ = 1.06 A, nel verso positivo delle x. Lungo il filo ”2”, che coincide con l’asse y (nel piano z = h), scorre la corrente I 2 = 1.10 A, nel verso positivo delle y. Determinare la distanza, in m, dall’origine del sistema di riferimento, dei punti nei quali la forza magnetica, per unit` a di lunghezza, che il filo ”2” esercita in ogni punto del filo

”1” ` e massima.

A 0 B 1.09 C 2.89 D 4.69 E 6.49 F 8.29

8) In un sistema di riferimento cartesiano, una spira conduttrice quadrata rigida, di lato a = 1.18 m, resistenza elettrica R = 0.199 ohm, e massa m = 3.30 × 10 ⁻³ kg, giace sul piano verticale yz. La spira ` e soggetta alla forza peso, diretta nel verso negativo dell’asse z, ed ` e immersa in un campo magnetico ~ B = (B _x , 0, 0) perpendicolare al piano yz. Il campo ~ B dipende dalla quota z secondo la relazione B _x (z) = ^B _a

^z , con B 0 = 0.130 tesla. La spira pu` o muoversi verticalmente nel piano yz di moto traslatorio, mantenendo i lati paralleli agli assi. La posizione della spira ` e determinata in ogni istante dalla quota del suo centro z _c . All’istante iniziale t = 0 la spira si trova alla quota z _c = 118 m, ` e ferma ed ` e lasciata libera di cadere.

Calcolare il flusso del campo magnetico, in Tm ² , attraverso la spira all’istante t = 0. (Si ricordi il valore della accelerazione di gravit` a g = 9.81 m/s ² ).

A 0 B 18.1 C 36.1 D 54.1 E 72.1 F 90.1

9) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 8), calcolare la velocit` a asintotica di caduta, in m/s, della spira.

A 0 B 0.274 C 0.454 D 0.634 E 0.814 F 0.994

10) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 9), determinare l’intensit` a della forza, in newton, esercitata dal campo magnetico sulla spira lungo l’asse z, all’istante nel quale la velocit` a della spira ` e la met` a della velocit` a asintotica di caduta.

A 0 B 0.0162 C 0.0342 D 0.0522 E 0.0702 F 0.0882

Testo n. 3 - Cognome e Nome:

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INGEGNERIA AEROSPAZIALE: CORSO DI FISICA GENERALE II E ELETTRONICA INGEGNERIA GESTIONALE E INGEGNERIA CHIMICA: CORSO DI FISICA GENERALE II E

ELETTROTECNICA Prova n. 2 - 19/12/2020

Negli esercizi seguenti le coordinate polari sferiche vengono indicate con i simboli r,θ,φ, dove r ` e la distanza dall’origine O, θ ` e l’angolo polare (colatitudine) e φ ` e l’azimut; le coordinate cilindriche vengono indicate con i simboli ρ,φ,z, dove ρ ` e la distanza dall’asse polare, φ ` e l’azimut e z ` e la quota; le coordinate cartesiane vengono indicate con i simboli x,y,z. Quando pi` u tipi di coordinate sono usati nello stesso esercizio, salvo avviso contrario i diversi sistemi sono associati nel modo usuale: origini coincidenti, assi polari coincidenti tra loro e coincidenti con l’asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse x > 0, ecc.

1) Siano date due spire circolari di raggi rispettivamente a = 1.05 m e b = 0.0184 m (si noti a >> b), complanari e concentriche. Nella spira piccola (di raggio b), tramite un generatore, viene inviata una corrente elettrica i(t) che varia con il tempo linearmente per t < T , i(t) = i 0 t

T , con i 0 = 1.15 A e T = 1.20 s, ed ` e costante uguale a i ₀ per t > T . La spira grande (di raggio a) ha una resistenza elettrica R = 1.01 ohm e un coefficiente di autoinduzione L = 1.04 henry. Resistenza elettrica e coefficiente di autoinduzione della spira piccola (di raggio a) siano trascurabili. Determinare il coefficiente di mutua induzione, in microhenry, tra le due spire.

A 0 B 2.76 × 10 ⁻⁴ C 4.56 × 10 ⁻⁴ D 6.36 × 10 ⁻⁴ E 8.16 × 10 ⁻⁴ F 9.96 × 10 ⁻⁴

2) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 1), calcolare la corrente, in nanoampere, che percorre la spira grande (di raggio a) all’istante t = ³ ₂ T .

A 0 B 0.232 C 0.412 D 0.592 E 0.772 F 0.952

3) In un sistema di riferimento cartesiano, carica elettrica con densit` a uniforme ρ = 1.08 nC/m ³ riempie lo spazio compreso tra i piani x = 0 e x = d, con d = 0.0103 m, delimitato da due piastre conduttrici ”I” e

”II” quadrate di lato L, con L = 1.09 m (si noti L >> d) e con cariche, rispettivamente Q I = 1.04 nC e Q II = 0. Determinare la differenza di potenziale, in volt, tra la piastra ”I” e la piastra ”II”.

A 0 B 0.149 C 0.329 D 0.509 E 0.689 F 0.869

4) Una sfera perfettamente conduttrice di raggio a = 0.0209 m ` e posta all’interno di un altro conduttore perfetto costituito da un guscio sferico, di raggio c = 0.0807 m e spessore trascurabile. I due conduttori sono concentrici. Il volume tra i due conduttori, con a < r < c, ` e riempito da due materiali con diversa conducibilit` a elettrica, rispettivamente σ 1 = 1.10 (ohm·m) ⁻¹ per a < r < b e σ 2 = 0.455 (ohm·m) ⁻¹ per b < r < c, con b = 0.0619 m. I due conduttori perfetti, inizialmente scarichi, sono collegati ad una batteria, che mantiene una differenza di potenziale V = 1.15 volt costante tra essi, con la sfera interna di raggio a a potenziale maggiore. Vengono raggiunte le condizioni stazionarie. Calcolare la corrente, in ampere, che scorre tra i due conduttori.

A 0 B 0.210 C 0.390 D 0.570 E 0.750 F 0.930

5) Nelle stesse condizioni del precedente Esercizio 4), calcolare la carica elettrica, in nC, che si accumula sulla sfera conduttrice di raggio a.

A 0 B 1.34 × 10 ⁻³ C 3.14 × 10 ⁻³ D 4.94 × 10 ⁻³ E 6.74 × 10 ⁻³ F 8.54 × 10 ⁻³

`

e immersa in un campo magnetico non uniforme ~ B = B _z (x)~ k, diretto lungo l’asse z con B _z (x) = B ₀ (1 + _2a ), con B ₀ = 1.10 tesla. Calcolare l’intensit` a della forza totale, in micronewton, che agisce sulla spira.

A 0 B 2.24 C 4.04 D 5.84 E 7.64 F 9.44

7) In un sistema di riferimento cartesiano, sono dati due lunghi fili rettilinei conduttori percorsi da corrente.

I due fili si trovano su due piani paralleli distanti h = 1.07 m (possiamo immaginare si tratti dei piani z = 0 e z = h). Lungo il filo ”1”, che coincide con l’asse x (nel piano z = 0), scorre la corrente I ₁ = 1.16 A, nel verso positivo delle x. Lungo il filo ”2”, che coincide con l’asse y (nel piano z = h), scorre la corrente I 2 = 1.05 A, nel verso positivo delle y. Determinare la distanza, in m, dall’origine del sistema di riferimento, dei punti nei quali la forza magnetica, per unit` a di lunghezza, che il filo ”2” esercita in ogni punto del filo

”1” ` e massima.

A 0 B 1.07 C 2.87 D 4.67 E 6.47 F 8.27

8) In un sistema di riferimento cartesiano, una spira conduttrice quadrata rigida, di lato a = 1.16 m, resistenza elettrica R = 0.109 ohm, e massa m = 3.51 × 10 ⁻³ kg, giace sul piano verticale yz. La spira ` e soggetta alla forza peso, diretta nel verso negativo dell’asse z, ed ` e immersa in un campo magnetico ~ B = (B _x , 0, 0) perpendicolare al piano yz. Il campo ~ B dipende dalla quota z secondo la relazione B _x (z) = ^B _a

^z , con B 0 = 0.169 tesla. La spira pu` o muoversi verticalmente nel piano yz di moto traslatorio, mantenendo i lati paralleli agli assi. La posizione della spira ` e determinata in ogni istante dalla quota del suo centro z _c . All’istante iniziale t = 0 la spira si trova alla quota z _c = 102 m, ` e ferma ed ` e lasciata libera di cadere.

Calcolare il flusso del campo magnetico, in Tm ² , attraverso la spira all’istante t = 0. (Si ricordi il valore della accelerazione di gravit` a g = 9.81 m/s ² ).

A 0 B 20.0 C 38.0 D 56.0 E 74.0 F 92.0

9) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 8), calcolare la velocit` a asintotica di caduta, in m/s, della spira.

A 0 B 0.0257 C 0.0437 D 0.0617 E 0.0797 F 0.0977

10) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 9), determinare l’intensit` a della forza, in newton, esercitata dal campo magnetico sulla spira lungo l’asse z, all’istante nel quale la velocit` a della spira ` e la met` a della velocit` a asintotica di caduta.

A 0 B 0.0172 C 0.0352 D 0.0532 E 0.0712 F 0.0892

Testo n. 4 - Cognome e Nome:

UNIVERSIT ` A DI PISA

INGEGNERIA AEROSPAZIALE: CORSO DI FISICA GENERALE II E ELETTRONICA INGEGNERIA GESTIONALE E INGEGNERIA CHIMICA: CORSO DI FISICA GENERALE II E

ELETTROTECNICA Prova n. 2 - 19/12/2020

Negli esercizi seguenti le coordinate polari sferiche vengono indicate con i simboli r,θ,φ, dove r ` e la distanza dall’origine O, θ ` e l’angolo polare (colatitudine) e φ ` e l’azimut; le coordinate cilindriche vengono indicate con i simboli ρ,φ,z, dove ρ ` e la distanza dall’asse polare, φ ` e l’azimut e z ` e la quota; le coordinate cartesiane vengono indicate con i simboli x,y,z. Quando pi` u tipi di coordinate sono usati nello stesso esercizio, salvo avviso contrario i diversi sistemi sono associati nel modo usuale: origini coincidenti, assi polari coincidenti tra loro e coincidenti con l’asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse x > 0, ecc.

1) Siano date due spire circolari di raggi rispettivamente a = 1.08 m e b = 0.0200 m (si noti a >> b), complanari e concentriche. Nella spira piccola (di raggio b), tramite un generatore, viene inviata una corrente elettrica i(t) che varia con il tempo linearmente per t < T , i(t) = i 0 t

T , con i 0 = 1.00 A e T = 1.13 s, ed ` e costante uguale a i ₀ per t > T . La spira grande (di raggio a) ha una resistenza elettrica R = 1.17 ohm e un coefficiente di autoinduzione L = 1.15 henry. Resistenza elettrica e coefficiente di autoinduzione della spira piccola (di raggio a) siano trascurabili. Determinare il coefficiente di mutua induzione, in microhenry, tra le due spire.

A 0 B 1.91 × 10 ⁻⁴ C 3.71 × 10 ⁻⁴ D 5.51 × 10 ⁻⁴ E 7.31 × 10 ⁻⁴ F 9.11 × 10 ⁻⁴

2) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 1), calcolare la corrente, in nanoampere, che percorre la spira grande (di raggio a) all’istante t = ³ ₂ T .

A 0 B 0.213 C 0.393 D 0.573 E 0.753 F 0.933

3) In un sistema di riferimento cartesiano, carica elettrica con densit` a uniforme ρ = 1.13 nC/m ³ riempie lo spazio compreso tra i piani x = 0 e x = d, con d = 0.0191 m, delimitato da due piastre conduttrici ”I” e

”II” quadrate di lato L, con L = 1.19 m (si noti L >> d) e con cariche, rispettivamente Q I = 1.00 nC e Q II = 0. Determinare la differenza di potenziale, in volt, tra la piastra ”I” e la piastra ”II”.

A 0 B 0.222 C 0.402 D 0.582 E 0.762 F 0.942

4) Una sfera perfettamente conduttrice di raggio a = 0.0387 m ` e posta all’interno di un altro conduttore perfetto costituito da un guscio sferico, di raggio c = 0.0884 m e spessore trascurabile. I due conduttori sono concentrici. Il volume tra i due conduttori, con a < r < c, ` e riempito da due materiali con diversa conducibilit` a elettrica, rispettivamente σ 1 = 1.04 (ohm·m) ⁻¹ per a < r < b e σ 2 = 0.596 (ohm·m) ⁻¹ per b < r < c, con b = 0.0609 m. I due conduttori perfetti, inizialmente scarichi, sono collegati ad una batteria, che mantiene una differenza di potenziale V = 1.14 volt costante tra essi, con la sfera interna di raggio a a potenziale maggiore. Vengono raggiunte le condizioni stazionarie. Calcolare la corrente, in ampere, che scorre tra i due conduttori.

A 0 B 0.273 C 0.453 D 0.633 E 0.813 F 0.993

5) Nelle stesse condizioni del precedente Esercizio 4), calcolare la carica elettrica, in nC, che si accumula sulla sfera conduttrice di raggio a.

A 0 B 1.52 × 10 ⁻³ C 3.32 × 10 ⁻³ D 5.12 × 10 ⁻³ E 6.92 × 10 ⁻³ F 8.72 × 10 ⁻³

`

e immersa in un campo magnetico non uniforme ~ B = B _z (x)~ k, diretto lungo l’asse z con B _z (x) = B ₀ (1 + _2a ), con B ₀ = 1.14 tesla. Calcolare l’intensit` a della forza totale, in micronewton, che agisce sulla spira.

A 0 B 2.32 C 4.12 D 5.92 E 7.72 F 9.52

7) In un sistema di riferimento cartesiano, sono dati due lunghi fili rettilinei conduttori percorsi da corrente.

I due fili si trovano su due piani paralleli distanti h = 1.10 m (possiamo immaginare si tratti dei piani z = 0 e z = h). Lungo il filo ”1”, che coincide con l’asse x (nel piano z = 0), scorre la corrente I ₁ = 1.16 A, nel verso positivo delle x. Lungo il filo ”2”, che coincide con l’asse y (nel piano z = h), scorre la corrente I 2 = 1.04 A, nel verso positivo delle y. Determinare la distanza, in m, dall’origine del sistema di riferimento, dei punti nei quali la forza magnetica, per unit` a di lunghezza, che il filo ”2” esercita in ogni punto del filo

”1” ` e massima.

A 0 B 1.10 C 2.90 D 4.70 E 6.50 F 8.30

8) In un sistema di riferimento cartesiano, una spira conduttrice quadrata rigida, di lato a = 1.17 m, resistenza elettrica R = 0.162 ohm, e massa m = 2.93 × 10 ⁻³ kg, giace sul piano verticale yz. La spira ` e soggetta alla forza peso, diretta nel verso negativo dell’asse z, ed ` e immersa in un campo magnetico ~ B = (B _x , 0, 0) perpendicolare al piano yz. Il campo ~ B dipende dalla quota z secondo la relazione B _x (z) = ^B _a

^z , con B 0 = 0.167 tesla. La spira pu` o muoversi verticalmente nel piano yz di moto traslatorio, mantenendo i lati paralleli agli assi. La posizione della spira ` e determinata in ogni istante dalla quota del suo centro z _c . All’istante iniziale t = 0 la spira si trova alla quota z _c = 114 m, ` e ferma ed ` e lasciata libera di cadere.

Calcolare il flusso del campo magnetico, in Tm ² , attraverso la spira all’istante t = 0. (Si ricordi il valore della accelerazione di gravit` a g = 9.81 m/s ² ).

A 0 B 22.3 C 40.3 D 58.3 E 76.3 F 94.3

9) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 8), calcolare la velocit` a asintotica di caduta, in m/s, della spira.

A 0 B 0.122 C 0.302 D 0.482 E 0.662 F 0.842

10) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 9), determinare l’intensit` a della forza, in newton, esercitata dal campo magnetico sulla spira lungo l’asse z, all’istante nel quale la velocit` a della spira ` e la met` a della velocit` a asintotica di caduta.

A 0 B 0.0144 C 0.0324 D 0.0504 E 0.0684 F 0.0864

Testo n. 5 - Cognome e Nome:

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INGEGNERIA AEROSPAZIALE: CORSO DI FISICA GENERALE II E ELETTRONICA INGEGNERIA GESTIONALE E INGEGNERIA CHIMICA: CORSO DI FISICA GENERALE II E

ELETTROTECNICA Prova n. 2 - 19/12/2020

Negli esercizi seguenti le coordinate polari sferiche vengono indicate con i simboli r,θ,φ, dove r ` e la distanza dall’origine O, θ ` e l’angolo polare (colatitudine) e φ ` e l’azimut; le coordinate cilindriche vengono indicate con i simboli ρ,φ,z, dove ρ ` e la distanza dall’asse polare, φ ` e l’azimut e z ` e la quota; le coordinate cartesiane vengono indicate con i simboli x,y,z. Quando pi` u tipi di coordinate sono usati nello stesso esercizio, salvo avviso contrario i diversi sistemi sono associati nel modo usuale: origini coincidenti, assi polari coincidenti tra loro e coincidenti con l’asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse x > 0, ecc.

1) Siano date due spire circolari di raggi rispettivamente a = 1.04 m e b = 0.0136 m (si noti a >> b), complanari e concentriche. Nella spira piccola (di raggio b), tramite un generatore, viene inviata una corrente elettrica i(t) che varia con il tempo linearmente per t < T , i(t) = i 0 t

T , con i 0 = 1.16 A e T = 1.12 s, ed ` e costante uguale a i ₀ per t > T . La spira grande (di raggio a) ha una resistenza elettrica R = 1.07 ohm e un coefficiente di autoinduzione L = 1.16 henry. Resistenza elettrica e coefficiente di autoinduzione della spira piccola (di raggio a) siano trascurabili. Determinare il coefficiente di mutua induzione, in microhenry, tra le due spire.

A 0 B 1.71 × 10 ⁻⁴ C 3.51 × 10 ⁻⁴ D 5.31 × 10 ⁻⁴ E 7.11 × 10 ⁻⁴ F 8.91 × 10 ⁻⁴

2) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 1), calcolare la corrente, in nanoampere, che percorre la spira grande (di raggio a) all’istante t = ³ ₂ T .

A 0 B 0.131 C 0.311 D 0.491 E 0.671 F 0.851

3) In un sistema di riferimento cartesiano, carica elettrica con densit` a uniforme ρ = 1.06 nC/m ³ riempie lo spazio compreso tra i piani x = 0 e x = d, con d = 0.0120 m, delimitato da due piastre conduttrici ”I” e

”II” quadrate di lato L, con L = 1.11 m (si noti L >> d) e con cariche, rispettivamente Q I = 1.18 nC e Q II = 0. Determinare la differenza di potenziale, in volt, tra la piastra ”I” e la piastra ”II”.

A 0 B 0.109 C 0.289 D 0.469 E 0.649 F 0.829

4) Una sfera perfettamente conduttrice di raggio a = 0.0220 m ` e posta all’interno di un altro conduttore perfetto costituito da un guscio sferico, di raggio c = 0.0906 m e spessore trascurabile. I due conduttori sono concentrici. Il volume tra i due conduttori, con a < r < c, ` e riempito da due materiali con diversa conducibilit` a elettrica, rispettivamente σ 1 = 1.18 (ohm·m) ⁻¹ per a < r < b e σ 2 = 0.407 (ohm·m) ⁻¹ per b < r < c, con b = 0.0619 m. I due conduttori perfetti, inizialmente scarichi, sono collegati ad una batteria, che mantiene una differenza di potenziale V = 1.02 volt costante tra essi, con la sfera interna di raggio a a potenziale maggiore. Vengono raggiunte le condizioni stazionarie. Calcolare la corrente, in ampere, che scorre tra i due conduttori.

A 0 B 0.163 C 0.343 D 0.523 E 0.703 F 0.883

5) Nelle stesse condizioni del precedente Esercizio 4), calcolare la carica elettrica, in nC, che si accumula sulla sfera conduttrice di raggio a.

A 0 B 2.57 × 10 ⁻³ C 4.37 × 10 ⁻³ D 6.17 × 10 ⁻³ E 7.97 × 10 ⁻³ F 9.77 × 10 ⁻³

`

e immersa in un campo magnetico non uniforme ~ B = B _z (x)~ k, diretto lungo l’asse z con B _z (x) = B ₀ (1 + _2a ), con B ₀ = 1.05 tesla. Calcolare l’intensit` a della forza totale, in micronewton, che agisce sulla spira.

A 0 B 2.08 C 3.88 D 5.68 E 7.48 F 9.28

7) In un sistema di riferimento cartesiano, sono dati due lunghi fili rettilinei conduttori percorsi da corrente.

I due fili si trovano su due piani paralleli distanti h = 1.16 m (possiamo immaginare si tratti dei piani z = 0 e z = h). Lungo il filo ”1”, che coincide con l’asse x (nel piano z = 0), scorre la corrente I ₁ = 1.06 A, nel verso positivo delle x. Lungo il filo ”2”, che coincide con l’asse y (nel piano z = h), scorre la corrente I 2 = 1.19 A, nel verso positivo delle y. Determinare la distanza, in m, dall’origine del sistema di riferimento, dei punti nei quali la forza magnetica, per unit` a di lunghezza, che il filo ”2” esercita in ogni punto del filo

”1” ` e massima.

A 0 B 1.16 C 2.96 D 4.76 E 6.56 F 8.36

8) In un sistema di riferimento cartesiano, una spira conduttrice quadrata rigida, di lato a = 1.06 m, resistenza elettrica R = 0.108 ohm, e massa m = 2.30 × 10 ⁻³ kg, giace sul piano verticale yz. La spira ` e soggetta alla forza peso, diretta nel verso negativo dell’asse z, ed ` e immersa in un campo magnetico ~ B = (B _x , 0, 0) perpendicolare al piano yz. Il campo ~ B dipende dalla quota z secondo la relazione B _x (z) = ^B _a

^z , con B 0 = 0.117 tesla. La spira pu` o muoversi verticalmente nel piano yz di moto traslatorio, mantenendo i lati paralleli agli assi. La posizione della spira ` e determinata in ogni istante dalla quota del suo centro z _c . All’istante iniziale t = 0 la spira si trova alla quota z _c = 114 m, ` e ferma ed ` e lasciata libera di cadere.

Calcolare il flusso del campo magnetico, in Tm ² , attraverso la spira all’istante t = 0. (Si ricordi il valore della accelerazione di gravit` a g = 9.81 m/s ² ).

A 0 B 14.1 C 32.1 D 50.1 E 68.1 F 86.1

9) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 8), calcolare la velocit` a asintotica di caduta, in m/s, della spira.

A 0 B 0.158 C 0.338 D 0.518 E 0.698 F 0.878

10) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 9), determinare l’intensit` a della forza, in newton, esercitata dal campo magnetico sulla spira lungo l’asse z, all’istante nel quale la velocit` a della spira ` e la met` a della velocit` a asintotica di caduta.

A 0 B 0.0113 C 0.0293 D 0.0473 E 0.0653 F 0.0833

Testo n. 6 - Cognome e Nome:

UNIVERSIT ` A DI PISA

INGEGNERIA AEROSPAZIALE: CORSO DI FISICA GENERALE II E ELETTRONICA INGEGNERIA GESTIONALE E INGEGNERIA CHIMICA: CORSO DI FISICA GENERALE II E

ELETTROTECNICA Prova n. 2 - 19/12/2020

Negli esercizi seguenti le coordinate polari sferiche vengono indicate con i simboli r,θ,φ, dove r ` e la distanza dall’origine O, θ ` e l’angolo polare (colatitudine) e φ ` e l’azimut; le coordinate cilindriche vengono indicate con i simboli ρ,φ,z, dove ρ ` e la distanza dall’asse polare, φ ` e l’azimut e z ` e la quota; le coordinate cartesiane vengono indicate con i simboli x,y,z. Quando pi` u tipi di coordinate sono usati nello stesso esercizio, salvo avviso contrario i diversi sistemi sono associati nel modo usuale: origini coincidenti, assi polari coincidenti tra loro e coincidenti con l’asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse x > 0, ecc.

1) Siano date due spire circolari di raggi rispettivamente a = 1.12 m e b = 0.0184 m (si noti a >> b), complanari e concentriche. Nella spira piccola (di raggio b), tramite un generatore, viene inviata una corrente elettrica i(t) che varia con il tempo linearmente per t < T , i(t) = i 0 t

T , con i 0 = 1.08 A e T = 1.17 s, ed ` e costante uguale a i ₀ per t > T . La spira grande (di raggio a) ha una resistenza elettrica R = 1.04 ohm e un coefficiente di autoinduzione L = 1.04 henry. Resistenza elettrica e coefficiente di autoinduzione della spira piccola (di raggio a) siano trascurabili. Determinare il coefficiente di mutua induzione, in microhenry, tra le due spire.

A 0 B 2.37 × 10 ⁻⁴ C 4.17 × 10 ⁻⁴ D 5.97 × 10 ⁻⁴ E 7.77 × 10 ⁻⁴ F 9.57 × 10 ⁻⁴

2) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 1), calcolare la corrente, in nanoampere, che percorre la spira grande (di raggio a) all’istante t = ³ ₂ T .

A 0 B 0.203 C 0.383 D 0.563 E 0.743 F 0.923

3) In un sistema di riferimento cartesiano, carica elettrica con densit` a uniforme ρ = 1.09 nC/m ³ riempie lo spazio compreso tra i piani x = 0 e x = d, con d = 0.0156 m, delimitato da due piastre conduttrici ”I” e

”II” quadrate di lato L, con L = 1.00 m (si noti L >> d) e con cariche, rispettivamente Q I = 1.15 nC e Q II = 0. Determinare la differenza di potenziale, in volt, tra la piastra ”I” e la piastra ”II”.

A 0 B 1.01 C 2.81 D 4.61 E 6.41 F 8.21

4) Una sfera perfettamente conduttrice di raggio a = 0.0352 m ` e posta all’interno di un altro conduttore perfetto costituito da un guscio sferico, di raggio c = 0.0917 m e spessore trascurabile. I due conduttori sono concentrici. Il volume tra i due conduttori, con a < r < c, ` e riempito da due materiali con diversa conducibilit` a elettrica, rispettivamente σ 1 = 1.13 (ohm·m) ⁻¹ per a < r < b e σ 2 = 0.572 (ohm·m) ⁻¹ per b < r < c, con b = 0.0602 m. I due conduttori perfetti, inizialmente scarichi, sono collegati ad una batteria, che mantiene una differenza di potenziale V = 1.11 volt costante tra essi, con la sfera interna di raggio a a potenziale maggiore. Vengono raggiunte le condizioni stazionarie. Calcolare la corrente, in ampere, che scorre tra i due conduttori.

A 0 B 0.143 C 0.323 D 0.503 E 0.683 F 0.863

5) Nelle stesse condizioni del precedente Esercizio 4), calcolare la carica elettrica, in nC, che si accumula sulla sfera conduttrice di raggio a.

A 0 B 1.75 × 10 ⁻³ C 3.55 × 10 ⁻³ D 5.35 × 10 ⁻³ E 7.15 × 10 ⁻³ F 8.95 × 10 ⁻³

`

e immersa in un campo magnetico non uniforme ~ B = B _z (x)~ k, diretto lungo l’asse z con B _z (x) = B ₀ (1 + _2a ), con B ₀ = 1.18 tesla. Calcolare l’intensit` a della forza totale, in micronewton, che agisce sulla spira.

A 0 B 1.17 C 2.97 D 4.77 E 6.57 F 8.37

7) In un sistema di riferimento cartesiano, sono dati due lunghi fili rettilinei conduttori percorsi da corrente.

I due fili si trovano su due piani paralleli distanti h = 1.09 m (possiamo immaginare si tratti dei piani z = 0 e z = h). Lungo il filo ”1”, che coincide con l’asse x (nel piano z = 0), scorre la corrente I ₁ = 1.10 A, nel verso positivo delle x. Lungo il filo ”2”, che coincide con l’asse y (nel piano z = h), scorre la corrente I 2 = 1.04 A, nel verso positivo delle y. Determinare la distanza, in m, dall’origine del sistema di riferimento, dei punti nei quali la forza magnetica, per unit` a di lunghezza, che il filo ”2” esercita in ogni punto del filo

”1” ` e massima.

A 0 B 1.09 C 2.89 D 4.69 E 6.49 F 8.29

8) In un sistema di riferimento cartesiano, una spira conduttrice quadrata rigida, di lato a = 1.06 m, resistenza elettrica R = 0.178 ohm, e massa m = 2.25 × 10 ⁻³ kg, giace sul piano verticale yz. La spira ` e soggetta alla forza peso, diretta nel verso negativo dell’asse z, ed ` e immersa in un campo magnetico ~ B = (B _x , 0, 0) perpendicolare al piano yz. Il campo ~ B dipende dalla quota z secondo la relazione B _x (z) = ^B _a

^z , con B 0 = 0.159 tesla. La spira pu` o muoversi verticalmente nel piano yz di moto traslatorio, mantenendo i lati paralleli agli assi. La posizione della spira ` e determinata in ogni istante dalla quota del suo centro z _c . All’istante iniziale t = 0 la spira si trova alla quota z _c = 117 m, ` e ferma ed ` e lasciata libera di cadere.

Calcolare il flusso del campo magnetico, in Tm ² , attraverso la spira all’istante t = 0. (Si ricordi il valore della accelerazione di gravit` a g = 9.81 m/s ² ).

A 0 B 19.7 C 37.7 D 55.7 E 73.7 F 91.7

9) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 8), calcolare la velocit` a asintotica di caduta, in m/s, della spira.

A 0 B 0.138 C 0.318 D 0.498 E 0.678 F 0.858

10) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 9), determinare l’intensit` a della forza, in newton, esercitata dal campo magnetico sulla spira lungo l’asse z, all’istante nel quale la velocit` a della spira ` e la met` a della velocit` a asintotica di caduta.

A 0 B 0.0110 C 0.0290 D 0.0470 E 0.0650 F 0.0830

Testo n. 7 - Cognome e Nome:

UNIVERSIT ` A DI PISA

INGEGNERIA AEROSPAZIALE: CORSO DI FISICA GENERALE II E ELETTRONICA INGEGNERIA GESTIONALE E INGEGNERIA CHIMICA: CORSO DI FISICA GENERALE II E

ELETTROTECNICA Prova n. 2 - 19/12/2020

Negli esercizi seguenti le coordinate polari sferiche vengono indicate con i simboli r,θ,φ, dove r ` e la distanza dall’origine O, θ ` e l’angolo polare (colatitudine) e φ ` e l’azimut; le coordinate cilindriche vengono indicate con i simboli ρ,φ,z, dove ρ ` e la distanza dall’asse polare, φ ` e l’azimut e z ` e la quota; le coordinate cartesiane vengono indicate con i simboli x,y,z. Quando pi` u tipi di coordinate sono usati nello stesso esercizio, salvo avviso contrario i diversi sistemi sono associati nel modo usuale: origini coincidenti, assi polari coincidenti tra loro e coincidenti con l’asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse x > 0, ecc.

1) Siano date due spire circolari di raggi rispettivamente a = 1.06 m e b = 0.0177 m (si noti a >> b), complanari e concentriche. Nella spira piccola (di raggio b), tramite un generatore, viene inviata una corrente elettrica i(t) che varia con il tempo linearmente per t < T , i(t) = i 0 t

T , con i 0 = 1.11 A e T = 1.18 s, ed ` e costante uguale a i ₀ per t > T . La spira grande (di raggio a) ha una resistenza elettrica R = 1.12 ohm e un coefficiente di autoinduzione L = 1.20 henry. Resistenza elettrica e coefficiente di autoinduzione della spira piccola (di raggio a) siano trascurabili. Determinare il coefficiente di mutua induzione, in microhenry, tra le due spire.

A 0 B 2.23 × 10 ⁻⁴ C 4.03 × 10 ⁻⁴ D 5.83 × 10 ⁻⁴ E 7.63 × 10 ⁻⁴ F 9.43 × 10 ⁻⁴

2) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 1), calcolare la corrente, in nanoampere, che percorre la spira grande (di raggio a) all’istante t = ³ ₂ T .

A 0 B 0.189 C 0.369 D 0.549 E 0.729 F 0.909

3) In un sistema di riferimento cartesiano, carica elettrica con densit` a uniforme ρ = 1.15 nC/m ³ riempie lo spazio compreso tra i piani x = 0 e x = d, con d = 0.0181 m, delimitato da due piastre conduttrici ”I” e

”II” quadrate di lato L, con L = 1.04 m (si noti L >> d) e con cariche, rispettivamente Q I = 1.04 nC e Q II = 0. Determinare la differenza di potenziale, in volt, tra la piastra ”I” e la piastra ”II”.

A 0 B 0.263 C 0.443 D 0.623 E 0.803 F 0.983

4) Una sfera perfettamente conduttrice di raggio a = 0.0275 m ` e posta all’interno di un altro conduttore perfetto costituito da un guscio sferico, di raggio c = 0.0843 m e spessore trascurabile. I due conduttori sono concentrici. Il volume tra i due conduttori, con a < r < c, ` e riempito da due materiali con diversa conducibilit` a elettrica, rispettivamente σ 1 = 1.19 (ohm·m) ⁻¹ per a < r < b e σ 2 = 0.427 (ohm·m) ⁻¹ per b < r < c, con b = 0.0616 m. I due conduttori perfetti, inizialmente scarichi, sono collegati ad una batteria, che mantiene una differenza di potenziale V = 1.11 volt costante tra essi, con la sfera interna di raggio a a potenziale maggiore. Vengono raggiunte le condizioni stazionarie. Calcolare la corrente, in ampere, che scorre tra i due conduttori.

A 0 B 0.154 C 0.334 D 0.514 E 0.694 F 0.874

5) Nelle stesse condizioni del precedente Esercizio 4), calcolare la carica elettrica, in nC, che si accumula sulla sfera conduttrice di raggio a.

A 0 B 2.02 × 10 ⁻³ C 3.82 × 10 ⁻³ D 5.62 × 10 ⁻³ E 7.42 × 10 ⁻³ F 9.22 × 10 ⁻³

`

e immersa in un campo magnetico non uniforme ~ B = B _z (x)~ k, diretto lungo l’asse z con B _z (x) = B ₀ (1 + _2a ), con B ₀ = 1.18 tesla. Calcolare l’intensit` a della forza totale, in micronewton, che agisce sulla spira.

A 0 B 1.41 C 3.21 D 5.01 E 6.81 F 8.61

7) In un sistema di riferimento cartesiano, sono dati due lunghi fili rettilinei conduttori percorsi da corrente.

I due fili si trovano su due piani paralleli distanti h = 1.20 m (possiamo immaginare si tratti dei piani z = 0 e z = h). Lungo il filo ”1”, che coincide con l’asse x (nel piano z = 0), scorre la corrente I ₁ = 1.16 A, nel verso positivo delle x. Lungo il filo ”2”, che coincide con l’asse y (nel piano z = h), scorre la corrente I 2 = 1.16 A, nel verso positivo delle y. Determinare la distanza, in m, dall’origine del sistema di riferimento, dei punti nei quali la forza magnetica, per unit` a di lunghezza, che il filo ”2” esercita in ogni punto del filo

”1” ` e massima.

A 0 B 1.20 C 3.00 D 4.80 E 6.60 F 8.40

8) In un sistema di riferimento cartesiano, una spira conduttrice quadrata rigida, di lato a = 1.09 m, resistenza elettrica R = 0.130 ohm, e massa m = 3.94 × 10 ⁻³ kg, giace sul piano verticale yz. La spira ` e soggetta alla forza peso, diretta nel verso negativo dell’asse z, ed ` e immersa in un campo magnetico ~ B = (B _x , 0, 0) perpendicolare al piano yz. Il campo ~ B dipende dalla quota z secondo la relazione B _x (z) = ^B _a

^z , con B 0 = 0.172 tesla. La spira pu` o muoversi verticalmente nel piano yz di moto traslatorio, mantenendo i lati paralleli agli assi. La posizione della spira ` e determinata in ogni istante dalla quota del suo centro z _c . All’istante iniziale t = 0 la spira si trova alla quota z _c = 102 m, ` e ferma ed ` e lasciata libera di cadere.

Calcolare il flusso del campo magnetico, in Tm ² , attraverso la spira all’istante t = 0. (Si ricordi il valore della accelerazione di gravit` a g = 9.81 m/s ² ).

A 0 B 19.1 C 37.1 D 55.1 E 73.1 F 91.1

9) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 8), calcolare la velocit` a asintotica di caduta, in m/s, della spira.

A 0 B 0.143 C 0.323 D 0.503 E 0.683 F 0.863

10) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 9), determinare l’intensit` a della forza, in newton, esercitata dal campo magnetico sulla spira lungo l’asse z, all’istante nel quale la velocit` a della spira ` e la met` a della velocit` a asintotica di caduta.

A 0 B 0.0193 C 0.0373 D 0.0553 E 0.0733 F 0.0913

Testo n. 8 - Cognome e Nome:

UNIVERSIT ` A DI PISA

INGEGNERIA AEROSPAZIALE: CORSO DI FISICA GENERALE II E ELETTRONICA INGEGNERIA GESTIONALE E INGEGNERIA CHIMICA: CORSO DI FISICA GENERALE II E

ELETTROTECNICA Prova n. 2 - 19/12/2020

Negli esercizi seguenti le coordinate polari sferiche vengono indicate con i simboli r,θ,φ, dove r ` e la distanza dall’origine O, θ ` e l’angolo polare (colatitudine) e φ ` e l’azimut; le coordinate cilindriche vengono indicate con i simboli ρ,φ,z, dove ρ ` e la distanza dall’asse polare, φ ` e l’azimut e z ` e la quota; le coordinate cartesiane vengono indicate con i simboli x,y,z. Quando pi` u tipi di coordinate sono usati nello stesso esercizio, salvo avviso contrario i diversi sistemi sono associati nel modo usuale: origini coincidenti, assi polari coincidenti tra loro e coincidenti con l’asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse x > 0, ecc.

1) Siano date due spire circolari di raggi rispettivamente a = 1.02 m e b = 0.0132 m (si noti a >> b), complanari e concentriche. Nella spira piccola (di raggio b), tramite un generatore, viene inviata una corrente elettrica i(t) che varia con il tempo linearmente per t < T , i(t) = i 0 t

T , con i 0 = 1.19 A e T = 1.07 s, ed ` e costante uguale a i ₀ per t > T . La spira grande (di raggio a) ha una resistenza elettrica R = 1.02 ohm e un coefficiente di autoinduzione L = 1.10 henry. Resistenza elettrica e coefficiente di autoinduzione della spira piccola (di raggio a) siano trascurabili. Determinare il coefficiente di mutua induzione, in microhenry, tra le due spire.

A 0 B 1.57 × 10 ⁻⁴ C 3.37 × 10 ⁻⁴ D 5.17 × 10 ⁻⁴ E 6.97 × 10 ⁻⁴ F 8.77 × 10 ⁻⁴

2) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 1), calcolare la corrente, in nanoampere, che percorre la spira grande (di raggio a) all’istante t = ³ ₂ T .

A 0 B 0.141 C 0.321 D 0.501 E 0.681 F 0.861

3) In un sistema di riferimento cartesiano, carica elettrica con densit` a uniforme ρ = 1.05 nC/m ³ riempie lo spazio compreso tra i piani x = 0 e x = d, con d = 0.0169 m, delimitato da due piastre conduttrici ”I” e

”II” quadrate di lato L, con L = 1.10 m (si noti L >> d) e con cariche, rispettivamente Q I = 1.20 nC e Q II = 0. Determinare la differenza di potenziale, in volt, tra la piastra ”I” e la piastra ”II”.

A 0 B 0.227 C 0.407 D 0.587 E 0.767 F 0.947

4) Una sfera perfettamente conduttrice di raggio a = 0.0300 m ` e posta all’interno di un altro conduttore perfetto costituito da un guscio sferico, di raggio c = 0.0935 m e spessore trascurabile. I due conduttori sono concentrici. Il volume tra i due conduttori, con a < r < c, ` e riempito da due materiali con diversa conducibilit` a elettrica, rispettivamente σ 1 = 1.04 (ohm·m) ⁻¹ per a < r < b e σ 2 = 0.575 (ohm·m) ⁻¹ per b < r < c, con b = 0.0618 m. I due conduttori perfetti, inizialmente scarichi, sono collegati ad una batteria, che mantiene una differenza di potenziale V = 1.02 volt costante tra essi, con la sfera interna di raggio a a potenziale maggiore. Vengono raggiunte le condizioni stazionarie. Calcolare la corrente, in ampere, che scorre tra i due conduttori.

A 0 B 0.132 C 0.312 D 0.492 E 0.672 F 0.852

5) Nelle stesse condizioni del precedente Esercizio 4), calcolare la carica elettrica, in nC, che si accumula sulla sfera conduttrice di raggio a.

A 0 B 2.39 × 10 ⁻³ C 4.19 × 10 ⁻³ D 5.99 × 10 ⁻³ E 7.79 × 10 ⁻³ F 9.59 × 10 ⁻³

`

e immersa in un campo magnetico non uniforme ~ B = B _z (x)~ k, diretto lungo l’asse z con B _z (x) = B ₀ (1 + _2a ), con B ₀ = 1.00 tesla. Calcolare l’intensit` a della forza totale, in micronewton, che agisce sulla spira.

A 0 B 2.04 C 3.84 D 5.64 E 7.44 F 9.24

7) In un sistema di riferimento cartesiano, sono dati due lunghi fili rettilinei conduttori percorsi da corrente.

I due fili si trovano su due piani paralleli distanti h = 1.12 m (possiamo immaginare si tratti dei piani z = 0 e z = h). Lungo il filo ”1”, che coincide con l’asse x (nel piano z = 0), scorre la corrente I ₁ = 1.16 A, nel verso positivo delle x. Lungo il filo ”2”, che coincide con l’asse y (nel piano z = h), scorre la corrente I 2 = 1.18 A, nel verso positivo delle y. Determinare la distanza, in m, dall’origine del sistema di riferimento, dei punti nei quali la forza magnetica, per unit` a di lunghezza, che il filo ”2” esercita in ogni punto del filo

”1” ` e massima.

A 0 B 1.12 C 2.92 D 4.72 E 6.52 F 8.32

8) In un sistema di riferimento cartesiano, una spira conduttrice quadrata rigida, di lato a = 1.12 m, resistenza elettrica R = 0.162 ohm, e massa m = 3.36 × 10 ⁻³ kg, giace sul piano verticale yz. La spira ` e soggetta alla forza peso, diretta nel verso negativo dell’asse z, ed ` e immersa in un campo magnetico ~ B = (B _x , 0, 0) perpendicolare al piano yz. Il campo ~ B dipende dalla quota z secondo la relazione B _x (z) = ^B _a

^z , con B 0 = 0.103 tesla. La spira pu` o muoversi verticalmente nel piano yz di moto traslatorio, mantenendo i lati paralleli agli assi. La posizione della spira ` e determinata in ogni istante dalla quota del suo centro z _c . All’istante iniziale t = 0 la spira si trova alla quota z _c = 118 m, ` e ferma ed ` e lasciata libera di cadere.

Calcolare il flusso del campo magnetico, in Tm ² , attraverso la spira all’istante t = 0. (Si ricordi il valore della accelerazione di gravit` a g = 9.81 m/s ² ).

A 0 B 13.6 C 31.6 D 49.6 E 67.6 F 85.6

9) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 8), calcolare la velocit` a asintotica di caduta, in m/s, della spira.

A 0 B 0.221 C 0.401 D 0.581 E 0.761 F 0.941

10) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 9), determinare l’intensit` a della forza, in newton, esercitata dal campo magnetico sulla spira lungo l’asse z, all’istante nel quale la velocit` a della spira ` e la met` a della velocit` a asintotica di caduta.

A 0 B 0.0165 C 0.0345 D 0.0525 E 0.0705 F 0.0885

Testo n. 9 - Cognome e Nome:

UNIVERSIT ` A DI PISA

INGEGNERIA AEROSPAZIALE: CORSO DI FISICA GENERALE II E ELETTRONICA INGEGNERIA GESTIONALE E INGEGNERIA CHIMICA: CORSO DI FISICA GENERALE II E

ELETTROTECNICA Prova n. 2 - 19/12/2020

Negli esercizi seguenti le coordinate polari sferiche vengono indicate con i simboli r,θ,φ, dove r ` e la distanza dall’origine O, θ ` e l’angolo polare (colatitudine) e φ ` e l’azimut; le coordinate cilindriche vengono indicate con i simboli ρ,φ,z, dove ρ ` e la distanza dall’asse polare, φ ` e l’azimut e z ` e la quota; le coordinate cartesiane vengono indicate con i simboli x,y,z. Quando pi` u tipi di coordinate sono usati nello stesso esercizio, salvo avviso contrario i diversi sistemi sono associati nel modo usuale: origini coincidenti, assi polari coincidenti tra loro e coincidenti con l’asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse x > 0, ecc.

1) Siano date due spire circolari di raggi rispettivamente a = 1.13 m e b = 0.0176 m (si noti a >> b), complanari e concentriche. Nella spira piccola (di raggio b), tramite un generatore, viene inviata una corrente elettrica i(t) che varia con il tempo linearmente per t < T , i(t) = i 0 t

T , con i 0 = 1.20 A e T = 1.15 s, ed ` e costante uguale a i ₀ per t > T . La spira grande (di raggio a) ha una resistenza elettrica R = 1.01 ohm e un coefficiente di autoinduzione L = 1.19 henry. Resistenza elettrica e coefficiente di autoinduzione della spira piccola (di raggio a) siano trascurabili. Determinare il coefficiente di mutua induzione, in microhenry, tra le due spire.

A 0 B 1.81 × 10 ⁻⁴ C 3.61 × 10 ⁻⁴ D 5.41 × 10 ⁻⁴ E 7.21 × 10 ⁻⁴ F 9.01 × 10 ⁻⁴

2) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 1), calcolare la corrente, in nanoampere, che percorre la spira grande (di raggio a) all’istante t = ³ ₂ T .

A 0 B 0.214 C 0.394 D 0.574 E 0.754 F 0.934

3) In un sistema di riferimento cartesiano, carica elettrica con densit` a uniforme ρ = 1.02 nC/m ³ riempie lo spazio compreso tra i piani x = 0 e x = d, con d = 0.0115 m, delimitato da due piastre conduttrici ”I” e

”II” quadrate di lato L, con L = 1.09 m (si noti L >> d) e con cariche, rispettivamente Q I = 1.07 nC e Q II = 0. Determinare la differenza di potenziale, in volt, tra la piastra ”I” e la piastra ”II”.

A 0 B 0.225 C 0.405 D 0.585 E 0.765 F 0.945

4) Una sfera perfettamente conduttrice di raggio a = 0.0369 m ` e posta all’interno di un altro conduttore perfetto costituito da un guscio sferico, di raggio c = 0.0984 m e spessore trascurabile. I due conduttori sono concentrici. Il volume tra i due conduttori, con a < r < c, ` e riempito da due materiali con diversa conducibilit` a elettrica, rispettivamente σ 1 = 1.07 (ohm·m) ⁻¹ per a < r < b e σ 2 = 0.469 (ohm·m) ⁻¹ per b < r < c, con b = 0.0612 m. I due conduttori perfetti, inizialmente scarichi, sono collegati ad una batteria, che mantiene una differenza di potenziale V = 1.11 volt costante tra essi, con la sfera interna di raggio a a potenziale maggiore. Vengono raggiunte le condizioni stazionarie. Calcolare la corrente, in ampere, che scorre tra i due conduttori.

A 0 B 0.241 C 0.421 D 0.601 E 0.781 F 0.961

5) Nelle stesse condizioni del precedente Esercizio 4), calcolare la carica elettrica, in nC, che si accumula sulla sfera conduttrice di raggio a.

A 0 B 1.37 × 10 ⁻³ C 3.17 × 10 ⁻³ D 4.97 × 10 ⁻³ E 6.77 × 10 ⁻³ F 8.57 × 10 ⁻³

`

e immersa in un campo magnetico non uniforme ~ B = B _z (x)~ k, diretto lungo l’asse z con B _z (x) = B ₀ (1 + _2a ), con B ₀ = 1.05 tesla. Calcolare l’intensit` a della forza totale, in micronewton, che agisce sulla spira.

A 0 B 2.22 C 4.02 D 5.82 E 7.62 F 9.42

7) In un sistema di riferimento cartesiano, sono dati due lunghi fili rettilinei conduttori percorsi da corrente.

I due fili si trovano su due piani paralleli distanti h = 1.04 m (possiamo immaginare si tratti dei piani z = 0 e z = h). Lungo il filo ”1”, che coincide con l’asse x (nel piano z = 0), scorre la corrente I ₁ = 1.07 A, nel verso positivo delle x. Lungo il filo ”2”, che coincide con l’asse y (nel piano z = h), scorre la corrente I 2 = 1.05 A, nel verso positivo delle y. Determinare la distanza, in m, dall’origine del sistema di riferimento, dei punti nei quali la forza magnetica, per unit` a di lunghezza, che il filo ”2” esercita in ogni punto del filo

”1” ` e massima.

A 0 B 1.04 C 2.84 D 4.64 E 6.44 F 8.24

8) In un sistema di riferimento cartesiano, una spira conduttrice quadrata rigida, di lato a = 1.16 m, resistenza elettrica R = 0.118 ohm, e massa m = 2.24 × 10 ⁻³ kg, giace sul piano verticale yz. La spira ` e soggetta alla forza peso, diretta nel verso negativo dell’asse z, ed ` e immersa in un campo magnetico ~ B = (B _x , 0, 0) perpendicolare al piano yz. Il campo ~ B dipende dalla quota z secondo la relazione B _x (z) = ^B _a

^z , con B 0 = 0.138 tesla. La spira pu` o muoversi verticalmente nel piano yz di moto traslatorio, mantenendo i lati paralleli agli assi. La posizione della spira ` e determinata in ogni istante dalla quota del suo centro z _c . All’istante iniziale t = 0 la spira si trova alla quota z _c = 116 m, ` e ferma ed ` e lasciata libera di cadere.

Calcolare il flusso del campo magnetico, in Tm ² , attraverso la spira all’istante t = 0. (Si ricordi il valore della accelerazione di gravit` a g = 9.81 m/s ² ).

A 0 B 18.6 C 36.6 D 54.6 E 72.6 F 90.6

9) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 8), calcolare la velocit` a asintotica di caduta, in m/s, della spira.

A 0 B 0.101 C 0.281 D 0.461 E 0.641 F 0.821

10) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 9), determinare l’intensit` a della forza, in newton, esercitata dal campo magnetico sulla spira lungo l’asse z, all’istante nel quale la velocit` a della spira ` e la met` a della velocit` a asintotica di caduta.

A 0 B 0.0110 C 0.0290 D 0.0470 E 0.0650 F 0.0830

Testo n. 10 - Cognome e Nome:

UNIVERSIT ` A DI PISA

INGEGNERIA AEROSPAZIALE: CORSO DI FISICA GENERALE II E ELETTRONICA INGEGNERIA GESTIONALE E INGEGNERIA CHIMICA: CORSO DI FISICA GENERALE II E

ELETTROTECNICA Prova n. 2 - 19/12/2020

Negli esercizi seguenti le coordinate polari sferiche vengono indicate con i simboli r,θ,φ, dove r ` e la distanza dall’origine O, θ ` e l’angolo polare (colatitudine) e φ ` e l’azimut; le coordinate cilindriche vengono indicate con i simboli ρ,φ,z, dove ρ ` e la distanza dall’asse polare, φ ` e l’azimut e z ` e la quota; le coordinate cartesiane vengono indicate con i simboli x,y,z. Quando pi` u tipi di coordinate sono usati nello stesso esercizio, salvo avviso contrario i diversi sistemi sono associati nel modo usuale: origini coincidenti, assi polari coincidenti tra loro e coincidenti con l’asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse x > 0, ecc.

1) Siano date due spire circolari di raggi rispettivamente a = 1.16 m e b = 0.0142 m (si noti a >> b), complanari e concentriche. Nella spira piccola (di raggio b), tramite un generatore, viene inviata una corrente elettrica i(t) che varia con il tempo linearmente per t < T , i(t) = i 0 t

T , con i 0 = 1.14 A e T = 1.09 s, ed ` e costante uguale a i ₀ per t > T . La spira grande (di raggio a) ha una resistenza elettrica R = 1.04 ohm e un coefficiente di autoinduzione L = 1.14 henry. Resistenza elettrica e coefficiente di autoinduzione della spira piccola (di raggio a) siano trascurabili. Determinare il coefficiente di mutua induzione, in microhenry, tra le due spire.

A 0 B 1.63 × 10 ⁻⁴ C 3.43 × 10 ⁻⁴ D 5.23 × 10 ⁻⁴ E 7.03 × 10 ⁻⁴ F 8.83 × 10 ⁻⁴

2) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 1), calcolare la corrente, in nanoampere, che percorre la spira grande (di raggio a) all’istante t = ³ ₂ T .

A 0 B 0.132 C 0.312 D 0.492 E 0.672 F 0.852

3) In un sistema di riferimento cartesiano, carica elettrica con densit` a uniforme ρ = 1.04 nC/m ³ riempie lo spazio compreso tra i piani x = 0 e x = d, con d = 0.0125 m, delimitato da due piastre conduttrici ”I” e

”II” quadrate di lato L, con L = 1.13 m (si noti L >> d) e con cariche, rispettivamente Q I = 1.06 nC e Q II = 0. Determinare la differenza di potenziale, in volt, tra la piastra ”I” e la piastra ”II”.

A 0 B 0.226 C 0.406 D 0.586 E 0.766 F 0.946

4) Una sfera perfettamente conduttrice di raggio a = 0.0281 m ` e posta all’interno di un altro conduttore perfetto costituito da un guscio sferico, di raggio c = 0.0817 m e spessore trascurabile. I due conduttori sono concentrici. Il volume tra i due conduttori, con a < r < c, ` e riempito da due materiali con diversa conducibilit` a elettrica, rispettivamente σ 1 = 1.13 (ohm·m) ⁻¹ per a < r < b e σ 2 = 0.450 (ohm·m) ⁻¹ per b < r < c, con b = 0.0600 m. I due conduttori perfetti, inizialmente scarichi, sono collegati ad una batteria, che mantiene una differenza di potenziale V = 1.01 volt costante tra essi, con la sfera interna di raggio a a potenziale maggiore. Vengono raggiunte le condizioni stazionarie. Calcolare la corrente, in ampere, che scorre tra i due conduttori.

A 0 B 0.117 C 0.297 D 0.477 E 0.657 F 0.837

5) Nelle stesse condizioni del precedente Esercizio 4), calcolare la carica elettrica, in nC, che si accumula sulla sfera conduttrice di raggio a.

A 0 B 1.94 × 10 ⁻³ C 3.74 × 10 ⁻³ D 5.54 × 10 ⁻³ E 7.34 × 10 ⁻³ F 9.14 × 10 ⁻³

`

e immersa in un campo magnetico non uniforme ~ B = B _z (x)~ k, diretto lungo l’asse z con B _z (x) = B ₀ (1 + _2a ), con B ₀ = 1.16 tesla. Calcolare l’intensit` a della forza totale, in micronewton, che agisce sulla spira.

A 0 B 1.07 C 2.87 D 4.67 E 6.47 F 8.27

7) In un sistema di riferimento cartesiano, sono dati due lunghi fili rettilinei conduttori percorsi da corrente.

I due fili si trovano su due piani paralleli distanti h = 1.02 m (possiamo immaginare si tratti dei piani z = 0 e z = h). Lungo il filo ”1”, che coincide con l’asse x (nel piano z = 0), scorre la corrente I ₁ = 1.05 A, nel verso positivo delle x. Lungo il filo ”2”, che coincide con l’asse y (nel piano z = h), scorre la corrente I 2 = 1.01 A, nel verso positivo delle y. Determinare la distanza, in m, dall’origine del sistema di riferimento, dei punti nei quali la forza magnetica, per unit` a di lunghezza, che il filo ”2” esercita in ogni punto del filo

”1” ` e massima.

A 0 B 1.02 C 2.82 D 4.62 E 6.42 F 8.22

8) In un sistema di riferimento cartesiano, una spira conduttrice quadrata rigida, di lato a = 1.06 m, resistenza elettrica R = 0.163 ohm, e massa m = 2.56 × 10 ⁻³ kg, giace sul piano verticale yz. La spira ` e soggetta alla forza peso, diretta nel verso negativo dell’asse z, ed ` e immersa in un campo magnetico ~ B = (B _x , 0, 0) perpendicolare al piano yz. Il campo ~ B dipende dalla quota z secondo la relazione B _x (z) = ^B _a

^z , con B 0 = 0.108 tesla. La spira pu` o muoversi verticalmente nel piano yz di moto traslatorio, mantenendo i lati paralleli agli assi. La posizione della spira ` e determinata in ogni istante dalla quota del suo centro z _c . All’istante iniziale t = 0 la spira si trova alla quota z _c = 116 m, ` e ferma ed ` e lasciata libera di cadere.

Calcolare il flusso del campo magnetico, in Tm ² , attraverso la spira all’istante t = 0. (Si ricordi il valore della accelerazione di gravit` a g = 9.81 m/s ² ).

A 0 B 13.3 C 31.3 D 49.3 E 67.3 F 85.3

9) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 8), calcolare la velocit` a asintotica di caduta, in m/s, della spira.

A 0 B 0.132 C 0.312 D 0.492 E 0.672 F 0.852

10) Nelle stesse ipotesi del precedente Esercizio 9), determinare l’intensit` a della forza, in newton, esercitata dal campo magnetico sulla spira lungo l’asse z, all’istante nel quale la velocit` a della spira ` e la met` a della velocit` a asintotica di caduta.

A 0 B 0.0126 C 0.0306 D 0.0486 E 0.0666 F 0.0846