Istituzioni di Statistica e ProbabilitàScienze Geologiche

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Istituzioni di Statistica e Probabilità - Scienze Geologiche – a.a. 04/05

I s t i t u z i o n i d i S t a t i s t i c a e P r o b a b i l i t à

S c i e n z e G e o l o g i c h e – a . a . 0 4 / 0 5 P r o v a s c r i t t a – 1 3 m a g g i o 2 0 0 5

Cognome Nome

P a r t e t e o r i c a

All’occorrenza, evidenziare la risposta che si ritiene corretta.

Esercizio 1. Le due figure seguenti rappresentano gli istogrammi di due serie di dati. Indichiamo con x

1

e  rispettivamente la media e lo scarto dei dati relativi alla figura 1, e con

1

x

2

e 

2

rispettivamente la media e lo scarto dei dati relativi alla figura 2.

Figura 1 Figura 2

1.1. Indicare quale relazione sussiste fra x

1

e x

2

, esprimendo x

2

come funzione di x

1

:

x

2



1.2. Indicare quale relazione sussiste fra  e

1

 , esprimendo

2

 come funzione di

2

 :

1



2



1.3. Agli ⁿ dati  x

1

,..., x

_n

 rappresentati in figura 1 se ne aggiunge uno scelto a caso fra quelli relativi alla figura 2; indichiamo con x e  rispettivamente la media e lo scarto degli n  1 dati così ottenuti. Delle sei relazioni sotto indicate evidenziare le due corrette:

x  x

1

x  x

₁

x  x

₁

  

1

  

₁

  

₁

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Esercizio 2. Nella figura sotto sono rappresentati valori di coppie di dati quantitativi (ogni punto rappresenta una coppia di dati); sogno segnati gli assi che passano per il punto medio dei dati.

Delle tre rette sotto indicate una è quella di regressione; individuare quale, spiegandone il perché (eventualmente esplicitando le ragioni di esclusione delle altre due)

r

1

1 3 20 y   x 

r

2

1 3 2 y   x 

r

3

1 y  3 x

Esercizio 3. Una variabile quantitativa, definita sugli elementi di una popolazione, ha media sconosciuta e varianza nota. Due campioni vengono utilizzati per testare l’ipotesi che la media della popolazione abbia valore 50. I due campioni hanno numerosità n

1

 150 il primo e n

2

 250 il secondo; le rispettive medie campionarie sono uguali: x

1

 x

2

. Indichiamo con p

1

e con p

2

i rispettivi p-valori. Si può dire quale delle seguenti relazioni è quella corretta (se SI, evidenziarla; se NO, darne una breve giustificazione)?

1 2

p  p p

₁

 p

₂

p

₁

 p

₂

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I s t i t u z i o n i d i S t a t i s t i c a e P r o b a b i l i t à

S c i e n z e G e o l o g i c h e – a . a . 0 4 / 0 5 P r o v a s c r i t t a – 1 3 m a g g i o 2 0 0 5

Cognome Nome

Esercizio 1. A fianco è riportato l’istogramma del numero di fiori sbocciati su alcuni rami di una pianta.

1.1. Costruire la tabella seguente:

x _i n _i x _i n _i x _i ² x _i ² n _i 1

2 3 4 5 6

Totali #####

1.2. Indicare il numero di rami esaminati n 

1.3. Indicare il numero di fiori conteggiati m 

1.4. Riportare, nella tabella sottostante, le formule che consentono di calcolare le grandezze indicate a partire dai valori determinati nella tabella a sinistra; quindi calcolare il valore numerico di tali grandezze.

Grandezza Formula (letterale) Valore numerico

media x x  x 

varianza  ² 

²

 

²



scarto     

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Esercizio 2. Una variabile quantitativa, definita sugli elementi di una popolazione, ha media  sconosciuta e scarto quadratico medio   1.44 . Un campione di 144 elementi ha media uguale a 49.95. Si vuole testare, al livello   1% , l’ipotesi che la popolazione abbia media   ⁵⁰ .

2.1. Calcolare il p-valore (precisando la formula utilizzata)

p-valore =

2.2. Confrontare il p-valore col livello e dedurre da tale confronto quale è la conclusione.

Esercizio 3. La variabile qualitativa X può assumere le due modalità A e B; la variabile qualitativa Y può assumere le due modalità C e D. Un campione di osservazioni della coppia (X, Y) fornisce i risultati riportati nella tabella:

A B Totale

C 452 748 1200

D 548 1252 1800

Totale 1000 2000 3000

3.1. Calcolare le frequenze teoriche relative al test  di indipendenza, e riportarle nella seguente

²

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Cognome Nome

P a r t e t e o r i c a

All’occorrenza, evidenziare la risposta che si ritiene corretta.

Esercizio 1. Le due figure seguenti rappresentano gli istogrammi di due serie di dati. Indichiamo con x

e  rispettivamente la media e lo scarto dei dati relativi alla figura 1, e con

x

e 

rispettivamente la media e lo scarto dei dati relativi alla figura 2.

Figura 1 Figura 2

1.1. Indicare quale relazione sussiste fra x

e x

, esprimendo x

come funzione di x

:

x



1.2. Indicare quale relazione sussiste fra  e

 , esprimendo

 come funzione di

 :





1.3. Agli n dati  x

,..., x

 rappresentati in figura 1 se ne aggiunge uno scelto a caso fra quelli relativi alla figura 2; indichiamo con x e  rispettivamente la media e lo scarto degli n  1 dati così ottenuti. Delle sei relazioni sotto indicate evidenziare le due corrette:

x  x

x  x

x  x

  

  

  

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Esercizio 2. Nella figura sotto sono rappresentati valori di coppie di dati quantitativi (ogni punto rappresenta una coppia di dati); sogno segnati gli assi che passano per il punto medio dei dati.

Delle tre rette sotto indicate una è quella di regressione; individuare quale, spiegandone il perché (eventualmente esplicitando le ragioni di esclusione delle altre due)

r

1

3 20 y   x 

r

1

3 2 y   x 

r

1

y  3 x

Esercizio 3. Una variabile quantitativa, definita sugli elementi di una popolazione, ha media sconosciuta e varianza nota. Due campioni vengono utilizzati per testare l’ipotesi che la media della popolazione abbia valore 50. I due campioni hanno numerosità n

 150 il primo e n

 250 il secondo; le rispettive medie campionarie sono uguali: x

 x

. Indichiamo con p

e con p

i rispettivi p-valori. Si può dire quale delle seguenti relazioni è quella corretta (se SI, evidenziarla; se NO, darne una breve giustificazione)?

p  p p

 p

p

 p

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I s t i t u z i o n i d i S t a t i s t i c a e P r o b a b i l i t à

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Cognome Nome

Esercizio 1. A fianco è riportato l’istogramma del numero di fiori sbocciati su alcuni rami di una pianta.

1.1. Costruire la tabella seguente:

x i n i x i n i x i 2 x i 2 n i 1

2 3 4 5 6

Totali #####

1.2. Indicare il numero di rami esaminati n 

1.3. Indicare il numero di fiori conteggiati m 

1.4. Riportare, nella tabella sottostante, le formule che consentono di calcolare le grandezze indicate a partire dai valori determinati nella tabella a sinistra; quindi calcolare il valore numerico di tali grandezze.

Grandezza Formula (letterale) Valore numerico

media x x  x 

varianza  2 

 



scarto     

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2.1. Calcolare il p-valore (precisando la formula utilizzata)

p-valore =

2.2. Confrontare il p-valore col livello e dedurre da tale confronto quale è la conclusione.

1.3. Agli ⁿ dati  x

x _i n _i x _i n _i x _i ² x _i ² n _i 1

varianza  ² 

3.2. Dire se, in base al test  ² al livello del 5% , le variabili X e Y risultano dipendenti o