Università degli Studi di Pisa - Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale
Fisica e Elettronica
Appello 2 - 26/6/2007
PROBLEMA I
Una sbarretta conduttrice di massa m e lunghezza h è libera di scorrere senza attrito lungo un binario verticale di larghezza h, anch’esso conduttore. Durante il moto la sbarretta resta orientata orizzontalmente e le sue estremità rimangono sempre in contatto elettrico con il binario. In basso il circuito è chiuso da un avvolgimento di resistenza elettrica R e induttanza L. La resistenza e l’induttanza del resto del circuito sono trascurabili. Tutto il sistema è immerso in un campo magnetico esterno, uniforme, perpendicolare al piano del binario e di modulo
L m h B R 5
2
= 1 .
Al tempo t = 0 non c’è corrente circolante e la sbarretta viene lasciata libera di muoversi da ferma a una quota z0.
Dette z(t) la quota della sbarretta, vz(t) la componente verticale della sua velocità e I(t) la corrente circolante nel circuito, determinare:
1. un sistema di equazioni differenziali per le funzioni z(t), vz(t) e I(t);
2. un’unica equazione differenziale per la sola vz(t) specificandone esplicitamente le condizioni iniziali;
3. la velocità asintotica a cui tende la sbarretta per t→∞; 4. la funzione vz(t), disegnandone un grafico;
5. le funzioni z(t) e I(t) in termini della funzione vz(t) [senza eseguire i calcoli per esplicitare la dipendenza diretta da t], rappresentandone schematicamente i grafici;
6. la relazione che, per la conservazione dell’energia, lega le funzioni z(t), vz(t) e I(t).
R L
m
g h z
.
O BI
PROBLEMA II
Tre sottili lamine metalliche cilindriche, coassiali e affacciate sono denominate A, B, C e hanno raggi rispettivi rA < rB < rC. L’altezza dei cilindri è h >> rC.
La lamina C è permanentemente collegata a terra, la lamina B è permanentemente collegata al terminale negativo di un generatore di tensione continua e la lamina A può essere collegata al terminale positivo dello stesso generatore mediante un interruttore. La f.e.m. del generatore vale ∆V = Q0/(4πε0h).
Inizialmente l’interruttore è aperto, la lamina A viene caricata con una carica iniziale Q0 e la lamina B viene lasciata scarica.
Determinare:
1. il campo elettrico in funzione della posizione;
2. la carica elettrica complessivamente presente sulla lamina C.
Successivamente si chiude l’interruttore e si attende il raggiungimento dell’equilibrio elettrostatico.
Determinare:
3. il potenziale della lamina A al nuovo equilibrio;
4. l’energia erogata o assorbita dal generatore;
5. l’energia complessivamente dissipata per effetto Joule.
Sezione trasversale B
C A
+
Q0 ∆V
PROBLEMA III
Nel circuito di figura il diodo e gli amplificatori operazionali sono ideali.
Entrambi gli operazionali sono alimentati con tensioni ±Vcc. Sia inoltre ω = 2/(RC).
1. Determinare la tensione Vout in funzione del tempo, nell’ipotesi che gli operazionali non entrino in saturazione;
2. disegnare il grafico di Vout(t) sovrapposto a quello della tensione del generatore.
Determinare inoltre:
3. per quali valori di V0 è verificata l’ipotesi del punto (1);
4. per quali valori di V0, indipendentemente dall’ipotesi del punto (1), la tensione di uscita Vout è una funzione continua del tempo.
~
-
+-
+
C R
R
R
Vout
V0 cosωt
