Tutorato di Matematica Applicata
Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Biomedica e Ingegneria Chimica
Esercitazione 11 (08/01/2021)
1. Si calcoli la fattorizzazione P A = LU della matrice dei coefficienti del sistema
−2x1− x2− x4 = 1
−4x1 = 4
8x1+ 8x2− 8x3+ 8x4 = −8 2x1+ 2x3+ 2x4 = 2
e la si usi per calcolare il determinante della matrice.
SOLUZIONE.
L =
1 0 0 0
−1/2 1 0 0
−1/4 1/4 1 0
1/4 −1/2 −1/2 1
, U =
8 8 8 8
0 4 −4 4
0 0 2 2
0 0 0 1
, P =
0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
det(A) = 64
2. Data la matrice
A =
γ 1 0 2 γ 2 0 1 γ
,
stabilire per quali valori del parametro reale γ la matrice `e invertibile.
Considerato il sistema Ax = b, con b = [1, 2, 3]T, si studi al variare di γ la convergenza del metodo di Jacobi e si calcoli la prima iterata partendo dal vettore x(0) = [0, 1, 0]T. Senza svolgere nessun calcolo e motivando opportunamente la risposta, si dica se nel caso γ = 5 il metodo di Gauss-Seidel converge.
SOLUZIONE.
A `e invertibile per γ ∈ R \ {−2, 0, +2} e definita positiva per γ > 2.
Il metodo di Jacobi converge per γ < −2 ∧ γ > 2. La prima iterata
`
e x(1) = [0, 2/γ, 2/γ]T. Per γ = 5 il metodo di Gauss-Seidel converge essendo la matrice strettamente diagonalmente dominante.
1
3. Si consideri il vettore v = 0,√13,√2
3
T
e si calcoli la sua norma 1, 2 e
∞. Si considerino poi le matrici
A = I − 2vvT, B = 1 7
7 0 0
0 5 β 0 β −1
.
Si determini il valore di β che rende B l’inversa di A. Si calcolino spettro, raggio spettrale e numero di condizionamento in norma 2 di A. Si determini, nel modo pi`u conveniente, quali sono gli autovalori di B e B2 se a β si assegna il valore trovato.
SOLUZIONE.
kvk1 =√
3, kvk2 = r5
3, kvk∞= 2 3
√ 3 A e B sono una l’inversa dell’altra per β = −4.
σ(A) =n
1, 1, −7 3
o
, ρ(A) = 7
3, k2(A) = 7
3 (A `e simmetrica) σ(B) =n
1, 1, −3 7
o
, σ(B2) =n 1, 1, 9
49 o
.
4. Risolvere, ricorrendo alla trasformata di Fourier, la seguente equazione differenziale
−7y0+ y = H(x + 5) − H(x + 1), x ∈ R.
SOLUZIONE.
y(x) =
e17x e57 − e17
x < −5 e17x e−x7 − e17
−5 ≤ x ≤ −1
0 x > −1
5. Trasformare il seguente problema del secondo ordine in un sistema del primo ordine
(y00 = 3xy − y0, x ∈2
3, 5 y 23 = −1, y0 23 = 0
2
e utilizzare il metodo e utilizzare il metodo di Eulero esplicito con passo h = 13 per approssimare la sua soluzione in x = 43.
SOLUZIONE.
η1 = (−1, −2/3), η2 = (−11/9, −13/9)
6. Dopo aver classificato il seguente metodo alle differenze finite ηk+1 = (3γ + 2)ηk− (2γ2+ 3γ + 1)ηk−1+ γhf (xk−1, ηk−1), si determinino i valori di γ per cui il metodo `e stabile.
SOLUZIONE.
Lo schema dato `e multistep esplicito a due stadi ed `e stabile per −1 ≤ γ < 0.
3
