Tutorato di Matematica Applicata
Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Biomedica e Ingegneria Chimica
Esercitazione 8 (10/12/2020)
1. Assegnato il sistema lineare Ax = b dipendente da un parametro β ∈ R, con
A =
−1 0 β
0 β 0
β 0 −1
, b =
1 0 1
dire per quali valori del parametro il sistema ammette una sola soluzione e per quali il metodo iterativo di Gauss-Seidel risulta convergente se applicato al sistema Ax = b. Fissato β = 12, calcolare le prime due iterazioni del metodo di Jacobi a partire dal vettore iniziale x(0) = b.
SOLUZIONE.
Il sistema Ax = b ammette un’unica soluzione per β 6= 0, ±1. Il metodo di Gauss-Seidel risulta convergente per −1 < β < 1. Posto β = 12, le prime due iterate del metodo di Jacobi sono
x(1) = −(1/2, 0, 1/2)T, x(2) = −(5/4, 0, 5/4)T
2. (da seconda prova intermedia del 9/01/20)
Trasformare il seguente problema del secondo ordine in un sistema del primo ordine
(y00(x) = x/y − y0, x ∈ [1, 4]
y(1) = 1, y0(1) = 0
e utilizzare il metodo di Eulero esplicito con passo h = 12 per approssi- mare la sua soluzione in x = 52.
SOLUZIONE.
η1 = (1, 1/2)T, η2 = (5/4, 1)T, η3 = (7/4, 13/10)T
1
3. (da prova scritta del 13/02/19)
Si consideri il seguente problema di Cauchy (y0(x) = 2y − x, x ∈ [0, 1]
y(0) = 1
e si approssimi la soluzione in x = 1 mediante il seguente schema alle differenze finite
ηk+1 = ηk+ 3h 4
h
f (xk, ηk) + 1 3f
xk+2
3h, ηk+ 2
3hf (xk, ηk)i con passo h = 12.
SOLUZIONE.
η1 = 17
8 , η2 = 205 48
2
