Tutorato di Matematica Applicata

Tutorato di Matematica Applicata

Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Biomedica e Ingegneria Chimica

Esercitazione 3 (05/11/2020)

1. Utilizzando la forma complessa, sviluppare in serie di Fourier la fun- zione

f (x) =

(2 −2 ≤ x < 0 3x + 2 0 ≤ x < 2

e, usando i calcoli effettuati, scrivere la forma trigonometrica della serie.

SOLUZIONE.

c₀ = 7

2, c_k = 3 kπ

 1

kπ (−1)^k− 1
+ i(−1)^k c−k = c_k = 3

kπ

 1

kπ (−1)^k− 1
− i(−1)^k

con k = 1, 2, . . . da cui ricaviamo la serie di Fourier in forma trigonometrica

S_f(x) = 7 2 +

∞

X

k=1

6 kπ

 1

kπ (−1)^k− 1
cos(kπ

2) + (−1)^k+1sin(kπ 2)

2. (Prova scritta del 28 gennaio 2020 )

Risolvere, ricorrendo alla serie di Fourier, la seguente equazione dif- ferenziale

y⁰⁰+√

2y⁰+ y = f (x), dove

f (x) =

(x + ^π₂ −^π₂ ≤ x < 0 x − ^π₂ 0 ≤ x < ^π₂

e dire se la serie del termine noto `e differenziabile termine a termine.

SOLUZIONE.

La serie di Fourier del termine noto `e S_f(x) =

∞

X

k=1

−1

k
sin(2kx) 1

e non `e differenziabile termine a termine poich`e f (x) `e discontinua in 0. La serie di Fourier della soluzione dell’equazione differenziale

Sy(x) =

∞

X

k=1

1 k(16k⁴ + 1)

h 2√

2 cos(2kx) + (4k⁴− 1) sin(2kx)i

3. (Prova scritta del 27 Ottobre 2017 )

Risolvere, facendo ricorso alla serie di Fourier, la seguente equazione differenziale

3y⁰⁰− 4y = cosπ 3x

, x ∈ [−2, 2]

SOLUZIONE.

La serie di Fourier del termine noto `e S_f(x) = 3√

3 4π +

∞

X

k=1

6√ 3

π(4 − 9k²)(−1)^kcos(kπ 2x) e la serie di Fourier della soluzione dell’equazione differenziale

S_y(x) = −3√ 3 16π +

∞

X

k=1

−24√

3(−1)^k

π(4 − 9k²)(3k⁶π²− 16)cos(kπ 2x)

2