Tutorato di Matematica Applicata
Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Biomedica e Ingegneria Chimica
Esercitazione 10 (17/12/2020)
1. Si considerino le matrici
L =
4 0 0 0 2 0 α 0 2
, M =
4 0 1 0 2 0 0 0 2
, U =
1
4 0 β
0 12 0 0 0 12
.
Si determinino i valori dei parametri reali α e β che rendono M e U una l’inversa dell’altra e che rendono simmetrica la matrice A = LM . Assegnato a ciascun parametro uno dei valori trovati, si calcoli nel modo pi`u conveniente l’inversa di A e il suo indice di condizionamento in norma 1 e ∞.
SOLUZIONE.
M e U sono una inversa dell’altra per β = −18; A `e simmetrica se α = 1.
A−1 = (LM )−1 = U UT =
5/64 0 −1/6
0 1/4 0
−1/16 0 1/4
k1(A) = k∞(A) = 25 4 2. Risolvere, tramite la serie di Fourier,
Sf(x) =
∞
X
k=1
−1 k
sin(2kx)
della funzione
f (x) =
(x + π2 −π2 ≤ x < 0 x − π2 0 ≤ x < π2 l’equazione differenziale
√
2y00+ y = f (x), x ∈h
−π 2,π
2 i
.
1
SOLUZIONE.
La serie di Fourier della soluzione dell’ equazione differenziale data, `e
Sy(x) =
∞
X
k=1
1 k(4√
2k2− 1)sin(2kx)
3. Eseguire i seguenti calcoli
Fn x x2+ 5
o
, F−1nsin 3(k − 1) eik(k − 1)
o
SOLUZIONE.
F (k) = πie√5kH(−k) − e−
√
5kH(k)
f (x) = 1
2ei(x−1)[H(x + 2) − H(x − 4)]
4. Dato il sistema
x1− x2+ x3+ x4 = 1
−x1+ 2x2 + 3x3+ 4x4 = 0 x1+ 5x2+ 6x3+ 7x4 = 1 x1+ 8x2+ 9x3+ 10x4 = 0 siano
L =
1 0 0 0
1 1 0 0
−1 1/9 1 0
1 2/3 −3/28 1
, U =
1 −1 1 1
0 9 8 9
0 0 28/9 4
0 0 0 3/7
P =
1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0
le matrici della fattorizzazione P A = LU della matrice A dei coefficienti del sistema . Si utilizzi la fattorizzazione per calcolare l’unica soluzione del sistema lineare e la seconda colonna dell’ inversa di A.
SOLUZIONE.
x = [1, −1/6, −2, 11/6]T, A−1e2 = [−1/2, −1/4, 0, 1/4]T
2
5. Si consideri il sistema lineare Ax = b dove
A =
α 0 α2 0 α 12
α 2
1
2 α
, b =
1 4 0
si determinino i valori del parametro per cui A `e definita positiva e si studi la convergenza del metodo di Gauss-Seidel al variare di α ∈ R.
Posto α = 3, si dica, motivando opportunamente la risposta, se il metodo di Jacobi `e convergente e si calcoli la prima iterata del metodo di Jacobi a partire dal vettore iniziale x(0) = [1, 0, 1]T.
SOLUZIONE.
A `e definita positiva per α >
√3
3 . Il metodo di Gauss-Seidel converge per α < −
√3
3 ∨ α >
√3
3 . Per α = 3 il metodo di Jacobi converge essendo A diagonalmente dominante in senso stretto. La prima iterata
`
e x(1)= [−1/6, 7/6, −1/2]T. 6. Dato il problema di Cauchy
(y0(x) = y − 1, x ∈ [1, ∞) y(1) = 0
si approssimi la soluzione in x = 2 mediante il seguente metodo ηk+1 = ηk+ hh
f (xk, ηk) + 2f
xk+h
4, ηk+ h
4f (xk, ηk)i con passo h = 12.
SOLUZIONE.
η1 = −13
8 , η2 = −377 64
3
