Tutorato di Matematica Applicata

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Tutorato di Matematica Applicata

Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Biomedica e Ingegneria Chimica

Esercitazione 4 (12/11/2020)

1. Risolvere, ricorrendo alla serie di Fourier, l’ equazione differenziale y⁰− 3y = 2x x ∈ [−1, 1]

e dire se la serie del termine noto `e integrabile e differenziabile termine a termine.

SOLUZIONE.

La serie di Fourier del termine noto `e

S_f(x) =

∞

X

k=1

4

kπ(−1)^k+1sin(kπx)

`

e integrabile ma non `e differenziabile termine a termine. La serie di Fourier della soluzione dell’equazione differenziale `e

S_y(x) =

∞

X

k=1

h4(−1)^k+2

9 + (kπ)² cos(kπx) + 12(−1)^k+2

kπ(9 + k²π²)² sin(kπx)i

2. Eseguire i seguenti calcoli:

(a) F n

1 6x+13+x²

o

(b) F

⁻¹

n

e^(20−4k)i 3−(5−k)i

o

(c) F

n

sin(3x) π+i(x+4)

o

(d) F n

x

x²+1

o

(e) F

⁻¹

n

1

−k²−ik−³₄

o

1

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SOLUZIONE.

(a) F (k) =

^π₂

e

^−2|k|+3ik

(b) f (x) = e

¹²

e

^(−3+5i)x

H(x − 4) (c) F (k) =

^π_i

h

e

(π+4i)(k−3)

H(3 − k) − e

(π+4i)(k+3)

H(−k − 3) i (d) F (k) = πi[e

^k

H(−k) − e

^−k

H(k)]

(e) f (x) = −

¹₂

[e

⁻^x²

H(x) − e

³²^x

H(−x)]

3. Esercizio aggiuntivo.

Eseguire i seguenti calcoli:

F⁻¹

n

_e7ik

5 + (k + 1)²

o

, F

n

_e2ixcos 3x 1 + 3ix

o

SOLUZIONE.

f (x) =

√ 5 10 e

⁻

√5|x+7|

e

^−i(x+7)

F (k) = π

3 e

¹³^(k−5)

H(5 − k) + e

¹³^(k+1)

H(−k − 1)

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