Tutorato di Matematica Applicata

Tutorato di Matematica Applicata

Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Biomedica e Ingegneria Chimica

Esercitazione 5 (19/11/2020)

1. Indicando con il simbolo “∗” la convoluzione, eseguire i seguenti calcoli:

(a) F



sin(2x) cos(2x) xe^2ix



(b) F

 

1 3x²+3



∗ 

e

H(x − 2)

 

(c) F



3+i(k−2) 9+(k−2)²

e



(d) e

H(x) ∗ H(x + 4) − H(x − 6)

SOLUZIONE.

(a) F (k) =

H(2 − k) − H(−k − 6)

(b) F (k) =

e

e

(c) f (x) = e

H(3 − x)

(d) f (x) =



 

 

0 x ≤ −4

1 − e

−4 ≤ x < 6 e

e

− e

x > 6

2. Risolvere, ricorrendo alla trasformata di Fourier, le seguenti equazioni differenziali

i) y⁰⁰− 4y⁰− 5y = δ(x + 10) x ∈ R ii) y⁰⁰+ πy = H(x − 3) − H(x − 4)

1

SOLUZIONE.

i) y(x) = −¹₆

(e^5(x+10) x < −10 e^−(x+10) x ≥ −10

ii) y(x) = _2π¹ R4 3 e⁻

√π|x−y|dy =







1 2π

R4 3 e⁻

√π(y−x)dy x ≤ 3

1 2π

Rx 3 e⁻

√π(x−y)dy +R4 x e⁻

√π(y−x)dy

3 < x ≤ 4

1 2π

R4 3 e⁻

√π(y−x)dy x > 4

= −_2π¹





 e

√πx e⁻⁴

√π− e^−3√π

x ≤ 3 e

√π(x−4)− e^√π(3−x) 3 < x ≤ 4 e⁻

√πx e⁴

√π− e^3√π

x > 4

3. Assegnata la matrice

A =−1 0 β 0 1 2



dipendente dal parametro reale β, calcolarne le norme con indice 1, 2 e ∞.

SOLUZIONE.

kAk1 = |β| + 2, kAk2 =p 5 + β²

kAk∞ =

(1 + |β| se β < −2 ∨ β > 2

3 se − 2 ≤ β ≤ 2

2