Alma Mater Studiorum Universit`a degli Studi di Bologna

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Universit` a degli Studi di Bologna

FACOLT `A DI SCIENZE MATEMATICHE FISICHE E NATURALI Dottorato di Ricerca in Fisica XVII ciclo

Misure ed Esperimenti nella Fisica della Citt` a

Tesi di dottorato di: Relatore:

Giuseppina Melchiorre Dott. Bruno Giorgini

Coordinatore di dottorato:

Prof. Roberto Soldati

FIS01 Marzo 2006

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pi`u alto, una mela rossa:

dai coglitori fu dimenticata Dimenticata? No! Non fu raggiunta.

Saffo Liriche e Frammenti

Al mio pap`a e alla mia mamma e a mia zia Giuseppina che mi hanno incoraggiato in questa avventura

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Indice

Indice . . . i

Introduzione . . . 1

1. I modelli . . . 5

1.1 Modellare la mobilit`a in una citt`a complessa . . . 5

1.2 Lo stato dell’arte dei modelli di mobilit`a . . . 6

1.2.1 Il comportamento e la psicologia del pedone . . . 6

1.2.2 Alcuni modelli . . . 7

1.2.3 Lo spazio urbano della citt`a . . . 8

1.3 Il modello Mileto/Manhattan: modello cronotopico . . . 9

1.3.1 Modellizzazione della scelta ad un incrocio senza cronotopi . . . 9

1.3.2 Modellizzazione della scelta ad un incrocio in presenza di cronotopi . . . 11

1.3.3 Mobilit`a urbana nella teoria di campo medio senza cronotopi . . . 13

1.3.4 Mobilit`a urbana nella teoria di campo medio in presenza di cronotopi . . . 17

1.4 Applicazione di Mobilis al centro storico di Rimini . . . 20

1.5 Il modello Campus: mobilit`a pedonale nel continuo . . . 21

1.5.1 L’architettura logica del modello: lo spazio e i mobber . . . 22

1.6 Lo spazio e la topologia del modello Campus . . . 23

1.6.1 Lo spazio fisico . . . 23

1.6.2 Lo spazio delle decisioni: i nodi del Path Network . . . 27

1.6.3 Lo spazio delle mete: mete locali e le aree cronotopiche . . . 28

1.7 Il mobber in uno spazio continuo . . . 29

1.7.1 La cinematica . . . 30

1.7.2 La visione locale e la visione globale . . . 33

1.7.3 L’autoorganizzazione e il comportamento ”intelligente” . . . 34

1.7.4 Le caratteristiche del codice . . . 38

1.8 Il modello AutoMobils: mobilit`a autoveicolare . . . 40

1.8.1 Propriet`a del reticolo stradale . . . 40

1.8.2 La dinamica del mobber . . . 45

2. Flussi nell’area di Chˆatelet Les Halles . . . 49

2.1 Dati di mobilit`a . . . 50

2.2 Analisi dati . . . 52

2.2.1 La forma dei flussi e il tipo di mobilit`a . . . 52

2.2.2 Metodo di confronto tra i flussi . . . 56

2.2.3 Anticipi e ritardi . . . 58

2.3 Clusterizzazione . . . 62

2.4 Correlazioni tra i flussi del Metr`o e quelli della RER . . . 64

2.5 Risultati . . . 67

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3. Esperimento nell’area Milano Bicocca: applicazione del modello

Mileto/Manhatann . . . 69

3.1 Calibrazione del modello . . . 70

3.1.1 Profilo temporale e caratteristiche della popolazione . . . 71

3.1.2 Attivit`a cronotopiche . . . 72

3.1.3 Frequenze e capacit`a dei mezzi di trasporto pubblico . . . 74

3.2 Protocollo di rilevamento dati . . . 74

3.3 Analisi dei dati . . . 76

3.4 Simulazioni . . . 80

3.5 Risultati . . . 81

4. Mobilit`a pedonale nella stazione di Rimini . . . 87

4.1 Analisi della mobilit`a nella stazione di Rimini . . . 88

4.1.1 Analisi di mobilit`a di utenti che usano i treni . . . 89

4.1.2 Analisi di mobilit`a di utenti che usano gli autobus . . . 91

4.2 Localizzazione delle sorgenti e dei cronotopi . . . 93

4.3 Da dati reali discreti di utenti ad una curva di flusso di mobber . . . 96

4.3.1 Le serie numeriche dei dati reali . . . 96

4.3.2 Distribuzioni del numero di mobber . . . 97

4.3.3 Distribuzioni dei flussi di mobber . . . 99

4.4 Caso studio reale: la stazione di Rimini . . . 100

4.4.1 I dati statistici e sociologici . . . 100

4.4.2 La topologia dello spazio/spazio delle decisioni . . . 101

4.4.3 Il Path Network . . . 101

4.4.4 Lo spazio tempo delle mete e dei cronotopi . . . 101

4.4.5 Alcuni problemi . . . 102

4.5 Simulazioni . . . 102

4.5.1 Ristrutturazione secondo il progetto di Cento Stazioni . . . 102

4.5.2 Comportamento ”intelligente” . . . 103

4.5.3 Condizioni critiche . . . 104

4.6 Mobilit`a simulata in diverse ipotesi di lavoro . . . 104

4.6.1 Secondo il progetto di Cento Stazioni . . . 105

4.6.2 Apertura di un sottopassaggio . . . 105

4.6.3 Apertura di un supermercato attrattivo . . . 106

4.6.4 Costruzione di un parcheggio ad alta capienza . . . 107

4.7 Conclusioni . . . 108

Conclusioni . . . 109

Bibliografia . . . 111

Ringraziamenti . . . 117

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Introduzione

Il lavoro esposto si propone essenzialmente di studiare il problema della misura per fenomeni complessi, in particolare, per quel fenomeno complesso che è la mobilità su una topologia urbana/metropolitana. Come è noto [2][69] non esiste una teoria generale della misura fisica per fenomeni complessi come invece esiste per la fisica newtoniana e quantistica, ed anche per fenomeni spiegati all’interno della teoria della relatività. La stessa definizione di complessità [30], in letteratura, cambia da autore ad autore, si possono vedere per esempio le definizioni che danno Stuart Kauffman [57], Giorgio Parisi [64], Bruno Giorgini e Giorgio Turchetti [47].

Per quanto riguarda i sistemi complessi da una parte non `e chiaro se l’osservatore quando rimane fuori dal sistema, riesca a conoscerne il funzionamento interno; dall’altro quando l’osservatore `e parte del sistema l’autoosservazione porta a un regresso all’infinito che rende impossibile la conoscenza completa del sistema stesso.

Il fenomeno complesso preso in esame è la mobilità dei cittadini e questo a sua volta avviene all’interno di un sistema esso stesso complesso quale la città. Le parole di C. Levi Strauss descrivono esattamente cosa sia la complessità della città.

”Agglomerato di esseri che racchiudono la loro storia biologica entro i suoi limiti e la modellano con tutte le loro intenzioni di creature pensanti (...) la citt`a risulta contempo- raneamente della procreazione biologica, dell’evoluzione organica e della creazione estetica.

Essa `e, nello stesso tempo, oggetto di natura e soggetto di cultura.”

Tuttavia questa descrizione chiara e semplice definisce solo l’aspetto qualitativo della com- plessità ben altro è passare ad una sua descrizione quantitativa, per via fisico matematico, usando il linguaggio proprio delle cosiddette ”scienze esatte” [81]. In questa sede, non si pretende di darne una descrizione completa in tutti i suoi aspetti, anche se solo a livello algoritmico, tuttavia si vogliono descrivere i primi passi fatti in tale direzione attraverso alcuni ”esperimenti virtuali” e ”reali” portati avanti nel campo di quella che si può definire

”la Fisica della Citt`a”.

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I modelli fisico matematici globali, storicamente, si sono rilevati inadeguati a descrivere l’evoluzione della città [58]. Non a caso uno studio ed una modellazione dinamica furono proposti già da M. Batty nel 1971 [3]. Ma nonostante già allora si sia posto il problema di una modellizzazione diversa, è difficile trovarne una performante [55]. Nello stesso tempo se da una parte la mobilità urbana si trasforma secondo la società di cui essa è una delle espressioni più appariscenti dall’altra è la mobilità stessa a incidere sull’evoluzione della società in una certa direzione anziché un’altra [54]. I modelli Origine-Destinazione (modelli O-D), in tutti i loro limiti, sono funzionali a descrivere compiutamente la mobilità di una società le cui attività produttive sono di tipo tayloristico. Sono, tuttavia, insufficienti a descrivere una mobilità di una società come l’attuale, dove la flessibilità degli orari di lavoro e la nascita di nuovi lavori a causa dei quali gli spostamenti, anche durante l’orario lavorativo, sono variabili di giorno in giorno e anche all’interno dello stesso giorno, generano una mobilità di tipo zigzagante [60]. Una concezione della mobilità come un semplice problema urbanistico è riduttivo in quanto la mobilità costituisce una delle libertà essenziali dell’uomo. In modo forse più profondo nella teoria dell’evoluzione si può ipotizzare che la forza motrice che ha prodotto la simmetria bilaterale propria di molti animali, tra cui l’uomo, sia la mobilità.

Batty, già nel 1971 [3], pose l’accento sulle due principali difficoltà che si incontrano trat- tando fenomeni complessi come la mobilità e la città. Da una parte le equazioni che descrivono tali sistemi sono intrinsecamente non lineari e quindi, non hanno in genere, soluzioni analitiche [65]. Dall’altra sono difficilmente acquisibili delle serie temporali di dati sufficientemente lunghe.

Non `e ben chiaro che cosa si vuole dire con ”sufficientemente lunghe”, ossia quanti dati si devono registrare, affinch´e siano ”sufficienti”, per produrre una descrizione abbastanza ragionevole del fenomeno che si sta studiando [6].

Per quanto riguarda la non linearità delle equazioni dinamiche ci viene incontro lo sviluppo della potenza di calcolo, della computer science, la quale ci permette di ridurre di molto la portata di tale difficoltà. Negli ultimi decenni la produzione di modelli fisico matematici, implementati su calcolatore e in grado di generare mondi ed esperimenti virtuali complessi, ha avuto una crescita esponenziale [4][10][19]. Nel suo guscio resta racchiuso il grosso rischio che il ”principio di simulazione” abbia ragione del ”principio di realtà” [77].

Evidentemente, tanto più cresce la complessità dei modelli e delle simulazioni [7][9][71], tanto più è importante il confronto col fenomeno reale. Tale confronto serve per verificare la congruenza tra la realtà e la sua descrizione implementata nel modello e tra la realtà osservata e quella virtuale prevista dal modello [79]. Qui per cos`ı dire casca l’asino. La seconda difficoltà indicata da Batty è ancora lontana da essere risolta in modo soddisfacente, sul piano della raccolta di dati già esistenti e sul piano della messa in opera di esperimenti abbastanza controllabili, sia perché si ha a che fare con un insieme molto ampio di osservabili e di componenti elementari, sia perché non esiste una teoria generale che ci guidi per la scelta delle osservabili e dei campioni statistici sufficienti ad una descrizione. Questo secondo problema è veramente delicato perché, in generale, si ha a che fare con situazioni lontano dall’equilibrio e quindi le usuali teorie di campo medio rischiano di non cogliere la situazione di interesse che è altamente dinamica (i transienti). Nel nostro insieme, lontano dall’equilibrio, è problematico definire una misura invariante di probabilità e non si può,

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in generale, applicare una trattazione ergodica. Da un punto di vista prettamente teorico la situazione non migliora se si restringe il problema allo studio della mobilit`a, ossia delle propensioni dei cittadini a muoversi sul tessuto urbano.

Nel corso degli anni il problema della mobilit`a ha acquistato una risonanza ed un’importan- za socio-economica tale da far sviluppare un’ampia collezione di modelli [17][28][29], in specie origine destinazione [25] assieme ad un’ampia massa di dati raccolti. Soprattutto per quanto riguarda il traffico autoveicolare [48], trattato sia in modo stocastico che deterministico, attraverso equazioni simili a quelli delle reti idrauliche (fluidodinamica).

In questa tesi si assumerà un punto di vista diverso. L’elemento costituente o il componente elementare del sistema della mobilità è l’individuo, il cittadino come si vedrà meglio nel primo capitolo. L’osservatore è posto per cos`ı dire sulla sua spalla ed è possibile seguire ogni singola traiettoria percorsa sviluppando una dinamica microscopica [8][51][52][72][73].

All’interno di un tale contesto si è definita una procedura per portar avanti un ”esperimento fisico” nell’area dell’Università di Milano Bicocca. Inoltre si è cercato di sviluppare una dinamica mesoscopica mettendo in evidenza i ”percorsi statistici”, i flussi compiuti per esempio dagli studenti o dai ricercatori, ossia individui appartenenti ad una determinata categoria sociale. Infine sarebbe auspicabile riuscire a sviluppare sul piano teorico ed empirico una sorta di termodinamica, obiettivo che per ora è molto molto lontano. Cioè la scoperta di alcuni principi o leggi o teoremi o equazioni che coinvolgono poche variabili.

O almeno una o pi`u master equations [63].

In questa tesi si presenteranno:

1. alcune analisi dei dati sul quartiere di Les Halles a Parigi inerenti i passeggeri della metropolitana;

2. un esperimento progettato e attuato dal gruppo di Fisica della Città del Dipartimento di Fisica dell’Università di Bologna in collaborazione col gruppo del Professor Guido Martinotti dell’Università Milano-Bicocca nell’area universitaria di Milano Bicocca;

3. alcune simulazioni con dati reali sulla mobilit`a pedonale all’interno della stazione di Rimini.

A questo livello si tratta ancora evidentemente di un approccio fenomenologico che in vista della stesura di un protocollo sperimentale sufficientemente robusto e tale da poter essere applicato a una collezione pi`u ampia possibile di casi.

Quando si sperimenta su un insieme di componenti elementari (cittadini) intelligenti, il rapporto osservatore-osservato `e particolarmente delicato. Nel senso che un pedone, che si muove in una piazza, `e strutturalmente diverso da una pallina che rotola lungo un piano inclinato. In particolare il nostro componente elementare del sistema si muove non solo sulla base di leggi proprie della dinamica fisica ma anche secondo traiettorie dettate pure da considerazioni cognitive, intenzionali, decisionali [74][18], o dal libero arbitrio.

Una collaborazione di ricerca assai stretta con ricercatori di altri campi è necessaria, per esempio l’urbanistica, la sociologia, la psicologia comportamentale, le scienze cognitive, eccetera [83][84][85][86]. Inoltre il fatto stesso che gli individui siano ”parlanti” da un verso costituisce una difficoltà ma dall’altro ci permette una interazione più ricca perché molto semplicemente gli ”osservatori” possono proporre un set di domande in linguaggio naturale agli ”osservati”.

Come è noto la riproducibilità di un esperimento e dei suoi risultati, dentro gli errori è uno

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dei criteri fondamentali per ritenere l’esperimento ”vero”. Nel caso di un fenomeno complesso le serie temporali non saranno mai, dentro le incertezze, riproducibili in senso stretto.

Deve essere tuttavia possibile da una parte riprodurre i valori dei parametri di controllo che generano situazioni (punti) critici [23]. Per esempio quando e dove avviene una transizione ordine-caos, o la soglia oltre cui si formano strutture emergenti e il sistema si autoorganizza. E dall’altra mostrare/evidenziare un comportamento qualitativo analogo/simile per quanto attiene l’evoluzione temporale delle variabili/osservabili ”significative” (cio`e le traiettorie devono appartenere alla stessa famiglia).

Questi due punti possono essere riassunti nella congruenza tra esperimento reale e mondo virtuale e la riproducibilit`a dell’esperimento.

La tesi `e strutturata in 4 capitoli.

Nel capitolo primo dopo una breve descrizione dello stato dell’arte dei modelli in uso per lo studio della mobilità e della complessità della città si fa una rassegna dei modelli prodotti dal gruppo di fisica della città del Dipartimento di Fisica dell’Università di Bologna, po- nendo l’accento sulle differenze con gli altri modelli e le loro potenzialità d’applicabilità e di sviluppo.

Nel secondo capitolo, si fa una descrizione dell’analisi dei dati sui flussi in transito nelle stazioni della metropolitana e della suburbana di Parigi [61][62]. Si sono evidenziate le strutture temporali portanti di tali flussi, le differenze d’uso tra i diversi giorni della set- timana e tra i diversi periodi dell’anno. Inoltre come i flussi temporali degli utenti della metropolitana sono descrivibili mediante la mobilit`a che si osserva in superficie e che a sua volta varia in funzione delle attivit`a offerte.

Nel terzo capitolo si espone la messa appunto di un protocollo di sperimentazione portato avanti in collaborazione con gruppo di Sociologia del Professor Guido Martinotti, ossia con il Professor Mario Boffi, nell’area dell’Universit`a Milano Bicocca. In tale ambito sono stati registrati tramite GPS ”flussi reali”, analizzati e messi a confronto con i ”flussi virtuali”

ottenuti dal modello Mobilis, opportunamente calibrato sull’area di Milano Bicocca.

Nel quarto capitolo si descrive la procedura di calibrazione del modello Campus nell’area della Stazione di Rimini, evidenziando le potenzialit`a ”predittive” del modello [46]. Inol- tre si espone la procedura d’analisi dei dati reali registrati su utenti della stazione per costruire flussi temporali da inserire come ”input realistici” per ”generare flussi virtuali”.

Si sono evidenziati, inoltre, i percorsi usati: come variano in funzione di ristrutturazioni dell’ambiente, prima ancora di fare un reale intervento.

In fine si espongono le conclusioni e le prospettive di lavoro e d’applicabilit`a dei risultati raggiunti in tale tesi.

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Capitolo 1

I modelli

1.1 Modellare la mobilit` a in una citt` a complessa

La città è un paradigma di sistema complesso. Si è visto che modelli globali e riduzioni-sti non sono adatti per descrivere la dinamica urbana, la cui natura complessa [67] implica l’emergere di proprietà inaspettate, spesso di autoorganizzazione [11] alla frontiera tra ordine e caos. Questa complessità è generata, in sintesi, dall’interazione tra i cittadini e la topologia urbana, metropolitana, interazione non deterministica, essendo i cittadini dotati di libero arbitrio. La governance delle metropoli è uno dei problemi principali oggi esistenti [87], data anche la correlazione stretta che ha con la qualità della vita in tutti i suoi aspetti, dalla sicurezza alla bellezza alla salute. In quest’ambito la mobilità assume particolare rilievo, per dirla con un antico filosofo: la libertà dell’uomo è essenzialmente libertà di movimento.

Il tentativo di modellare la mobilità fa necessariamente appello a un insieme di con- cetti e conoscenze pluridisciplinari [42]. In questo quadro il gruppo di Fisica della Città dell’Università di Bologna propone un modello di dinamica microsco-pica, i cui componenti elementari sono i cittadini dotati di propensioni e comportamenti ”intelligenti” (Intelli- genza Artificiale). Nel modello è possibile scegliere diversi mezzi di trasporto, dalle proprie gambe, mobilità pedonale, alle biciclette, alle automobili, ai mezzi di trasporto pubblico.

L’interazione con la topologia urbana `e modellata introducendo i cronotopi, ossia gli agenti primigeni della dinamica temporale urbana. O, in altro linguaggio, aree urbane dove sono

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insediate attività calendarizzate (es. Università, Ospedale, ufficio postale etc..) che diven- tano attrattori per i cittadini secondo le propensioni messe in agenda dall’individuo (gli studenti avranno una certa propensione per andare all’università in certe ore). Infine il modello viene implementato su calcolatore dando luogo a una laboratorio virtuale (mondo virtuale) dove è possibile osservare, sperimentare e studiare la dinamica per scoprire even- tuali ”leggi” proprie del sistema complesso ”mobilità urbana”. Da ultimo esiste il problema della corrispondenza tra il modello e la realtà. Problema delicato e assai difficile, per il quale proprio a Milano Bicocca coi Professor M. Boffi e G. Martinotti si è realizzato un protocollo sperimentale, e si sono confrontati i risultati dell’esperimento con le simulazioni, trovando un buon accordo.

1.2 Lo stato dell’arte dei modelli di mobilit` a

Già negli anni sessanta si assiste ad un proliferare di modelli matematici e fisici utili. Tali modelli prevalentemente globali e riduzionisti subisco una drastica trasformazione negli anni ’70 quando M. Batty [3] sottolinea la necessità di trattare la città da un punto di vista dinamico. Egli tuttavia si sofferma sullo studio della dinamica di crescita della città [11] senza prendere in considerazione la dinamica della sua popolazione.

In questo paragrafo si cerca di riassumere in breve lo stato dell’arte nello sviluppo dei modelli di dinamica pedonale da un punto di vista comportamentale fisico e da un punto di vista psicologico. Inoltre la città è trattata non solo come luogo fisico che ospita la mobilità dei pedoni, ma è essa stessa un oggetto che si cerca di modellizzare.

1.2.1 Il comportamento e la psicologia del pedone

Molti hanno cercato, tramite osservazioni e studi sui pedoni di definire delle regole generali comportamentali per quanto riguarda la dinamica fisica in senso stretto [5][48] per ordinare l’apparente caoticit`a del moto pedonale.

1. I pedoni sentono una forte avversione a prendere deviazioni o a muoversi contro la direzione di viaggio desiderata, anche se la via diretta si può presentare più affollata (cfr. par. 1.6). Tuttavia i pedoni normalmente tendono a scegliere la strada più veloce per raggiungere la loro meta anzichè la più corta [38]. Possono scegliere piccole deviazioni se in tal modo aumentano il confort nel camminare oppure riducono lo sforzo per raggiungere la propria destinazione [50][51].

2. I pedoni preferiscono camminare con una propria velocità, confortevole e sostenuta col minimo dispendio di energia (velocità desiderata o velocità di tragitto cfr. par. 1.7.1).

Le velocità desiderate dentro folle di pedoni hanno distribuzioni gaussiane [53]. La velocità media dipende dalla situazione, dal sesso, dall’età, dall’ora del giorno, dallo scopo del viaggio, dai dintorni, ecc..

3. I pedoni prendono una certa distanza dagli altri pedoni e dai bordi di strade, ostacoli e muri [78] (spazio sociale cfr. par. 1.7.1). La densit`a dei pedoni cresce e decresce la distanza interpersonale, attorno a particolari aree d’attrazione. Gli individui possono muoversi in gruppi, che a loro volta costituiscono entit`a autonome che si comportano come i singoli pedoni. La grandezza di tali gruppi segue la distribuzione di Poisson [31][32][39].

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4. I pedoni tendono ad avere comportamenti d’imitazione, a seguire la massa [66][56]. In tal modo i percorsi alternativi sono spesso dimenticati e poco sfruttati.

5. In situazioni di media-alta densit`a, il moto delle folle di persone mostra analogie con il moto di gas, dei fluidi, dei flussi granulari, degli attriti viscosi al confine tra due folle che si muovono in direzioni opposte e danno luogo ad un’organizzazione spontanea in linee di direzione di passeggio uniforme, si formano dei gradienti di velocit`a come sono presenti nei letti dei fiumi, ecc. [36][37].

Inoltre da un punto di vista pi`u prettamente psicologico e sociologico si possono definire ulteriori caratteristiche nel comportamento di un pedone nell’area urbana nella quale si muove.

1. I pedoni sono disposti a pagare con disagi concreti come difficolt`a nel camminare oppure un cammino pi`u lungo pur di soddisfare le proprie esigenze psicologiche [82].

2. I pedoni quando pianificano il percorso cercano di minimizzare la distanza da percorrere e gli sforzi, ma possono prendere in considerazione distrazioni e piaceri tenendo presente i fattori fisici come portare oggetti pesanti [40].

3. I pedoni che devono svolgere attivit`a ”necessarie” come andare al lavoro, a fare la spesa, prendere un autobus non sono influenzati dal fattore fisico e dall’esteriorit`a del percorso.

4. I pedoni che devono svolgere attivit`a ”opzionali” come una passeggiata, sedersi in una panchina, socializzare, sono fortemente influenzati dalle condizioni esterne e queste allora devono essere le migliori possibili [41].

Naturalmente tutti questi parametri comportamentali sono condizionati dalla conoscenza dell’ambiente, delle strade, della posizione dei cronotopi da raggiungere. Il pedone `e in grado di elaborare possibili strategie di percorso in funzione di tale conoscenza dando luogo a comportamenti razionali e consci, ma anche adattivi qualora il pedone si trovi per la prima volta in un luogo, sia per cos`ı dire un esploratore (cfr. par. 1.7.2).

Inoltre si toccano aree d’interesse come i cosiddetti comportamenti imitativi [26][27] per quanto concerne interazioni sociali semplici come i comportamenti reattivi, a cui si pu`o assistere in situazioni di affollamento.

1.2.2 Alcuni modelli

Tra i principali modelli che sono usati per studiare la mobilit`a bisogna ricordare il modello a forze sociali [49] ampiamente sviluppato da D. Helbing e quello classico Origine- Destinazione.

Il modello a forze sociali

Il modello a forze sociali trae origine dagli studi di Henderson [53] che già dal 1970 iniziò a trattare gli affollamenti pedonali come gas o fluidi ed in tal modo comparò misure di flussi di pedoni con le equazioni di Navier-Stokes. Il suo lavoro è stato notevolmente migliorato, ampliato e rifinito da Dirk Helbing nel 1990 costruendo un modello pedonale in cui i pedoni sono trattati come gli elementi costituenti di un gas di particelle di Boltzmann [20]. Insieme a Helbing hanno collaborato altri come Molnàr e Vicsek. La caratteristica principale di un tale modello è che l’elemento costituente è dotato di volume finito ed è guidato da forze sociali o campi sociali in uno spazio quasi continuo. La variazione della velocità preferita

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~v_α(t) di un pedone è una quantità vettoriale ~f_α(t) che può essere interpretata come forza sociale che evoca gli effetti fisici d’accelerazione e decelerazione come reazione dovuta alle informazioni di cui gli individui vengono in possesso. In altre parole le forze sociali non sono forze newtoniane pe non vale il principio d’azione e reazione, ma sono forze in cui l’effetto primario è lo scambio d’informazioni tramite processi, oltre che fisici, mentali.

Il modello Origine Destinazione

I modelli Origine-Destinazione sono quelli classici per lo studio della mobilità e del traffico nelle città[25]. Tali modelli sono usati all’analisi del traffico veicolare durante le ore d’entrata e uscita dai luoghi di lavoro. I cittadini sono suddivisi in diverse categorie sociali e si distinguono in funzione delle mete da raggiungere, delle sedi di lavoro e dei punti di partenza, si muovono tutti con mezzi dalle caratteristiche identiche. Ogni strada è caratte- rizzata da una portata massima predefinita che influenza la velocità di percorrenza. Il moto dei cittadini nella rete stradale è simile a quello di un fluido incomprimibile: se sono presenti incroci allora s’introducono matrici di transizione che distribuiscono la densità sulle varie possibili scelte in analogia a quanto avviene nei processi di Markov [12]. Gli elementi di tali matrici sono calcolati sulla base della convenienza dei vari percorsi rispetto alle destinazioni, e d’affluenza verso queste ultime. Lo scopo dei modelli Origine-Destinazione

`e quello di caratterizzare le situazioni d’equilibrio del sistema durante le ore di massimo traffico per determinare la capacit`a della rete stradale e i punti critici.

Una delle principali criticit`a di tali modelli nasce dal fatto che essi ammettono l’esistenza di molte configurazioni di equilibrio tuttavia solo poche sono fisicamente accettabili ed `e necessario introdurre a mano flussi predeterminati in alcune strade per evitare il problema della degenerazione degli equilibri.

Inoltre tali modelli sono poco funzionali allo studio della mobilità nelle città contempora- nee dove il flusso non si presenta più con picchi di massimo all’inizio e alla fine dell’orario di lavoro, ma come una gaussiana con un pianerottolo che si estende su tutto l’arco della gior- nata. Questo significa che questo sistema non è ”normalmente” in condizioni d’equilibrio [67].

1.2.3 Lo spazio urbano della citt`a

A questo punto non si può prescindere dal porsi la domanda se i pedoni si muovono in una città indipendentemente o meno dalla struttura geometrica della città stessa o dalla disposizione dei centri di servizio.

Bill Hiller [54] parlando del reticolo urbano osserva che la sua configurazione genera l’attrazione, evidenzia il legame tra spazio e funzionalità. Egli parla di un duplice meccani- smo. Da un lato lo space to function in cui lo spazio influenza il movimento che vi si può osservare. Dall’altro il function to space in cui lo spazio stesso è ”modellato” dalle esigenze di mobilità.

In tal modo si evidenzia come la geometria di un ambiente in una qualunque scala, da quella di una stazione a quella di un’area metropolitana influenza la mobilità che si attua e al tempo stesso per renderla fluida, ottimizzare la mobilità si può definire la forma geometrica dell’ambiente. L’introduzione d’alcuni elementi architettonici in una stazione (cfr. cap. 4), quali l’apertura di un supermercato o di un sottopassaggio, influiscono sulla

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mobilit`a osservata e come lo studio di questa pu`o portare ad una migliore pianificazione dei luoghi e del loro utilizzo.

Uno degli strumenti di cui si avvale la ricerca per la rappresentazione e l’analisi delle strutture urbane è il VGA (Visibility Graph Analisis). Attraverso tale tecnica si può cercare di modellizzare il moto pedonale e quantificare quanto la morfologia urbana lo influenzi. Un esempio è la legge di proporzionalità che sussiste tra la larghezza di un marciapiede e il suo affollamento. Tale legge è espressa matematicamente da una retta di regressione del tipo:

y = 4.975 + 1.681x [1.1]

dove y=ln(moto pedonale medio) e x=ln(larghezza del marciapiede). I marciapiedi molto affollati sono sopra la linea di regressione, mentre quelli meno affollati sono sotto. I coef- ficienti numerici sono stati calcolati per uno studio specifico fatto a Londra [34].

1.3 Il modello Mileto/Manhattan: modello cronotopico

Il modello Mileto/Manhattan [13] [14] spesso indicato anche col nome Mobilis [75] è il primo dei modelli ad essere descritto. Mediante i modelli come Mobilis (modello di mo- bilità definito nel discreto in cui i diversi mezzi di trasporto s’integrano tra loro), Campus (modello di mobilità pedonale definito nel continuo) e AutoMobilis (modello di mobilità autoveicolare definito nel continuo) si cerca di rispondere alla domanda scientifica se è possibile fare un modello fisico matematico per la mobilità zigzagante o asistematica [44].

La mobilit`a pu`o essere studiata distinguendola in due tipi:

1) libera nella quale si mescolano aspetti probabilistici e deterministici;

2) pi`u complessa, in cui il cittadino, oltre a possedere le caratteristiche precedentemente descritte, interagisce con oggetti urbani detti cronotopi [22] (letteralmente: luoghi del tempo).

La mobilit`a libera, di un singolo cittadino, pu`o essere studiata in Mobilis con metodi analitici nell’approssimazione di campo medio [16].

La mobilità in cui i ritmi temporali sono scanditi dai cronotopi che al variare delle proprie caratteristiche sono in grado di esercitare una certa attrazione solo su ben definite categorie può essere studiata analiticamente nel caso unidimensionale per un solo cronotopo. Con più cronotopi e in due dimensioni si devono usare le simulazioni.

Anche i modelli Campus e Automobilis sono descritti come simulatori senza l’introduzione di soluzioni analitiche.

1.3.1 Modellizzazione della scelta ad un incrocio senza cronotopi

Lo spazio-tempo nel modello Mileto/Manhattan è rappresentato da un reticolo di N × N strade a cui si sovrappone una griglia di n×n linee di trasporto pubblico. In tal modo si può adattare a qualunque planimetria urbana, la cui forma non deve essere necessariamente un reticolo di rettangoli/quadrati, ma deve essere tale da definire la distanza come lo spazio che intercorre tra un nodo e il successivo ed è percorso in un’unità temporale. L’intervallo temporale dt che definisce la dinamica osservabile in un tale spazio è scandito dall’orologio del calcolatore, questo non è altro che il normale tempo fisico, newtoniano.

(16)

Su un reticolo di questo tipo si muovono a caso (moto browniano) gli individui, che sono gli elementi costituenti del sistema, di dimensione zero (puntiformi) e, a ogni passo temporale,

”saltano” da un incrocio a uno dei suoi primi vicini.

In generale l’elemento costituente della mobilità per semplicità da qui in avanti sarà indicato col termine mobber. Questo termine serve a distinguere l’individuo che vive dentro un mondo virtuale come quello di Mobilis, Campus e AutoMobilis da un individuo reale sia esso un pedone o un automobilista oppure un ciclista. Il mobber è un automa che cerca, attraverso la simulazione, di riprodurre il moto pedonale o autoveicolare di un uomo reale.

In generale ad ogni incrocio-nodo il mobber è in grado di scegliere tra diverse strade possibili sulle base di un calcolo delle probabilità, dove la probabilità è quella di Bayes-de Finetti [33]. Questa probabilità si definisce come la misura delle aspettative soggettive in relazione alla possibilità che si verifichi un evento (figura 1.1).

r

R

p

1

2

3

4

cronotopo

nodo w

w

1

2

3

4

Figura 1.1 Calcolo della probabilit`a di un mobber a un nodo.

Nel caso più semplice possibile, quando si è in presenza di un puro moto browniano, la scelta di una strada da parte del i-esimo mobber su n strade possibili è pari a

P_i = 1

(n − 1) [1.2]

Si possono fare le seguenti considerazioni sul moto del singolo mobber, prima di descrivere gli effetti dovuti all’introduzione dei cronotopi. Il suo stato di moto pu`o essere descritto da una successione delle 4 direzioni possibili (↑ alto, ↓ basso, ← sinistra, → destra) che, a ogni passo temporale, a partire dall’istante iniziale, definiscono la mossa del mobber. Si costruisce cos`ı un codice che individua il movimento del singolo (una sorta di codice genetico della mobilit`a individuale come ↑→→↓→←...). Dato il punto di partenza, quello d’arrivo si ottiene sommando vettorialmente le varie direzioni, e il mobber si sposta lungo il vettore somma. Ovvero tutti i movimenti possibili dopo n passi temporali sono codificati da una parola di lunghezza n, formata da 4 simboli. Si possono introdurre regole grammaticali, per

(17)

esempio inibendo la presenza di simboli opposti adiacenti ↑↓ oppure di circoli viziosi ↑→↓←.

Questo significa dotare il mobber di memoria, che pu`o essere a breve e/o a lungo termine.

Si osserva che quanto più questa memoria è estesa, tanto meno il sistema è statisticamente puro (markoviano) [12]. Inoltre si è lasciato agli individui un fondo stocastico, per cui è sempre possibile che il singolo torni sui propri passi o si muova lungo un circolo vizioso. È questo un modo di salvaguardare il libero arbitrio (e l’imprevisto) anche laddove le scelte possono non apparire razionali sotto il profilo dell’efficienza e/o dell’economia, in questo caso di tempo (la distanza è temporale, misurata dall’orologio del calcolatore).

Assumendo gli elementi costituenti come esseri viventi allora al tempo fisico scandito dall’orologio del calcolatore vanno sovrapposti i ritmi circadiani. In tal modo si garan- tisce che l’implementazione algoritmica sia esente da patologie e/o inconsistenze temporali interne.

Inoltre in questo schema particolare cura va posta nella definizione delle condizioni al contorno, tenendo conto che la citt`a e la mobilit`a sono sistemi naturalmente aperti.

1.3.2 Modellizzazione della scelta ad un incrocio in presenza di cronotopi

Dopo aver descritto la mobilità del singolo mobber si puó ora passare a descrivere la mobilità come l’interazione tra i mobber e i cronotopi, che sono, per definizione, i luoghi generatori di dinamiche temporali a differenti scale.

Il cronotopo è l’agente primigenio dell’attività temporale urbana, introduce, genera, correlazioni temporali che non ci sarebbero in sua assenza [22][43][45]. Gli urbanisti definiscono con termine cronotopo un’area contrassegnata, individuata, da attività calendarizzate. Per esempio un’attività quale l’”istruzione superiore” si attua all’interno dell’Università, che a sua volta, per quanto riguarda l’attività didattica, è un luogo aperto dalle 8 alle 20.

L’attività ”trasmissione della posta” si concretizza nell’ufficio postale che a sua volta è aperto dalle 8 alle 14 e cos`ı via. Sul reticolo iniziale è sovrapposto l’insieme delle diverse attività cronotopiche (centri commerciali, università, scuole, ospedali, eccetera). I cronotopi esercitano un’attrazione su differenti categorie di cittadini negli orari d’apertura. Per esempio le categorie per le quali l’Università è un chiaro attrattore sono gli studenti, i professori, il personale tecnico e amministrativo. Questa attrazione è modellata con una forza ~F , che non è una forza newtoniana, nel senso che non produce accelerazione, e non vale il principio d’azione e reazione. Questa forza è stata scritta come forza elastica. Il singolo cittadino può tuttavia avere diverse propensioni, ossia è come se possedesse diverse

”cariche” cronotopiche che fanno parte del suo corredo genetico. Inoltre il mobber possiede alcune caratteristiche sociologiche, come sesso, et`a, eccetera.

Se il mobber proviene dalla j-esima strada, la probabilit`a che scelga la i-esima, Pi `e calcolata secondo la formula:

P_i =







0 se i = j

1

n − 1(1 + ~F · ˆei) se i 6= j [1.3]

dove ~F · ˆei `e la proiezione della forza cronotopica lungo la direzione della i-esima strada.

Tuttavia, resta sempre una parte di cittadini senza alcuna propensione. Le propensioni

(18)

sono state distinte in forti e deboli in funzione della diversa capacit`a attrattiva. Per i cronotopi forti la forza attrattiva si scrive

F~_c = c1· r · ˆec [1.4]

Per i cronotopi deboli la forza attrattiva diventa F~_c =







c2· r · ˆec se r_c ≤ R c2· R²/r · ˆec se r_c > R

[1.5]

Nelle equazioni [1.4] e [1.5] R indica il raggio del cronotopo, ˆe_c il versore della direzione della posizione del mobber rispetto al centro del cronotopo, r la sua distanza dal centro del cronotopo e c1 e c2 costanti di normalizzazione per definire il rapporto delle varie forze cronotopiche.

Il mobber cittadino possiede un’agenda giornaliera nella quale sono scritti in successione i cronotopi che intende visitare. In numero medio di cronotopi che ogni giorno i cittadino visitano secondo studi sociologici è circa 2,6 ogni 24 ore. . Un mobber si muove secondo un moto stocastico con deriva. Al tempo fisico e ai ritmi circadiani si sovrappone un altro tempo, che si può definire sociale ed è scandito dagli orari dei cronotopi. O piuttosto si ha una collezione di tempi che concorrono alla formazione del tempo sociale. Il tempo

”fisico” interagisce con quello ”sociale” dell’individuo, ossia quello della sua agenda. In questo modo si origina complessità, emergono strutture ordinate, ossia si può parlare di un sistema critico che si autoorganizza, su base temporale. Il mobber dopo un certo tempo d’attesa, per ora uguale per tutti, nel caso d’affollamento di un cronotopo tale da non permettere l’accesso, va al cronotopo successivo della sua agenda. Considerando l’interazione tra i mobber e i cronotopi non esistono soluzioni analitiche, ad eccezione del caso in cui c’è un solo cronotopo. Questo caso può essere affrontato scrivendo un’equazione del tipo Fokker-Planck. Il laboratorio virtuale a questo punto diventa il solo strumento col quale si può tentare di descrivere, comprendere e prevedere la mobilità.

Ad ogni incrocio un mobber sceglie tra diverse strade possibili sulle base di un calcolo delle probabilità. La probabilità è quella di Bayes-de Finetti e tale scelta può essere pesata da un coefficiente di qualità, attrattività della strada w_i. Questi pesi nascono dall’intersezione di tre indicatori, parametri, quali l’accessibilità, l’estetica, la sicurezza. L’equazione [1.3]

diventa

P_i = w_i· pi

P

kw_k· pk

[1.6]

L’attrattività di una strada è definita da una funzione nella quale i diversi parametri sono, a loro volta, pesati. Una strada può essere più sicura e/o meno bella di un’altra secondo la seguente regola: attrattività = α·”bellezza” + β·”sicurezza” + γ·”accessibilità”.

La probabilità p_t con la quale un mobber, che possiede la propensione verso un certo cronotopo, può decidere se prendere un autobus è proporzionale alla sua distanza dal cronotopo ~r in accordo con:

p_t =

(r/r0 se r < r0

1 altrimenti

[1.7]

(19)

dove r0 rappresenta la massima distanza di cammino che un mobber pu`o compiere.

Un mobber si pu`o trovare nello stato di pedone (p) e si muove a velocit`a v costante.

Quando arriva ad un incrocio, che è anche nodo d’interscambio, stazione, con altri mezzi di trasporto pubblico, si mette in attesa (a) finché non giunge un treno la cui direzione riduce la distanza ~r dal cronotopo. Il mobber sceglie in modo probabilistico se sono presenti più mezzi di trasporto che si muovono in direzioni diverse. Una volta sul treno il mobber diventa utente (u) e rimane sul treno fino alla stazione che dista meno dal cronotopo.

In questo caso può decidere se prendere un altro treno per avvicinarsi ulteriormente al cronotopo oppure uscire dalla stazione. I treni hanno una capacità di trasporto finita di modo che il tempo d’attesa dipende dalla frequenza dei treni e dal numero degli utenti. Si può notare che i mobber non hanno un’informazione globale sulla rete di trasporto per cui non c’è ottimizzazione sulla scelta del treno.

In questo modo il mobber pu`o assumere tre stati dinamici possibili (p, u, a).

1.3.3 Mobilit`a urbana nella teoria di campo medio senza cronotopi

I mezzi pubblici, treni, si muovono in modo deterministico secondo, per esempio, una legge d’isocronia, che governa in generale le metropolitane, e con una velocità V maggiore di quella pedonale, V > v. Se si assume unitario il tempo impiegato da un mobber per andare da un incrocio al successivo, e da un treno per percorrere la distanza tra due stazioni successive, allora il rapporto tra le due velocità è legato al rapporto tra il numero di nodi n e il numero di stazioni N presenti lungo un tragitto, n/N . Ovviamente questa dinamica dei mezzi pubblici è realistica solo per le metropolitane, mentre per i mezzi di superficie (autobus, tram, filobus) entrano in gioco le possibili perturbazioni dovute al traffico privato (rallentamenti, ingorghi, eccetera), che in Mobilis sono state simulate tramite una funzione di viscosità.

Figura 1.2 Reticolo con cronotopi: sono visibili i mezzi pubblici (barre viola), tre cronotopi e la densit`a dei cittadini in ogni nodo, che varia secondo la scala cromatica del visibile.

(20)

Inizialmente si è scelto uno spazio urbano come una città di tipo Manhattan che si può descrivere con una geometria molto semplice. In questo caso i nodi della rete sono distribuiti uniformemente nello spazio e corrispondono ad incroci ortogonali. Lo spazio è omogeneo, nel senso che tutte le strade sono uguali (w_i = 1, cfr eq. [1.6]) e ogni nodo ha n = 4 possibili direzioni ortogonali. Ai confini si trovano condizioni assorbenti per i mobber, ma il loro numero totale è e deve restare costante. Ogni volta che un mobber è assorbito, un altro è creato in un nodo scelto a caso tra tutti quelli che compongono la rete viaria (sono escluse le stazioni). I mezzi pubblici si muovono ad una velocità costante lungo le linee verticali ed orizzontali e le stazioni sono uniformemente distribuite nella città (figura 1.2) ogni 5 incroci (nodi) cosicché il rapporto tra la velocità dei treni e quella dei mobber sia pari a 5. Le stazioni dei treni sono ai bordi della città e corrispondono a condizioni di confine riflettenti per la dinamica dei treni distribuiti casualmente lungo ogni linea con una frequenza costante. Tale geometria permette di testare il modello usando un approccio statistico (teoria di campo medio).

Senza la presenza dei mezzi di trasporto pubblico, se nel reticolo di strade N × N si pongono M mobber (in un punto può essere presente un solo mobber) questi si muovono in maniera random. In questo caso lo stato di ogni mobber è definito da quattro direzioni possibili: alto, basso, sinistra e destra (cfr. par. 1.3.1). In questo modo una sequenza di direzioni possibili codifica uno specifico movimento. Se si suppone che la lunghezza di tale sequenza, tra il punto iniziale e quello finale, sia k si ha che per k ≫ 1 in assenza di cronotopi la probabilità di trovare ognuno dei quattro simboli nella stringa sia pari a 1/4 [35]. In questo modo, tutti i mobber visitano tutti i nodi del network con la stessa frequenza perché hanno la stessa probabilità in tutte le direzioni. Cos`ı dopo k intervalli temporali, con k abbastanza grande, gli M mobber sono uniformemente distribuiti con una funzione di rilassamento esponenziale exp(−Dt) dove D è il coefficiente di diffusione. La mobilità è uniforme su tutto il network (si ha un moto ergodico) se sono assenti i cronotopi, dopo un transiente.

Nella teoria di campo medio si vuole descrivere la dinamica di variabili globali come p(t), u(t) e w(t). Dove p(t) indica la percentuale normalizzata di mobber pedoni al tempo t, u(t) e w(t) quella degli mobber utenti e di mobber in attesa nelle stazioni.

Nella figura 1.2 `e rappresentata una griglia ortogonale di N_n = 101×101 nodi e Ns = 21×21 stazioni uniformemente distribuite. La rete di mezzi pubblici contiene 2Ns linee e con Nt

treni. Il numero di stazioni capolinea sono N_hs = 84. Il rapporto tra la velocità dei treni e quella dei mobber pedoni è vup = 5. Il numero di mobber usati nelle simulazioni è pari a 100.000.

In assenza di cronotopi si può vedere cosa succede a queste variabili considerando la frequenza dei treni tale per cui sia presente un treno ad ogni stazione, f = 1, con una capacità infinita w(t) = 0. In questo caso si ottiene un modello a due stati, p(t) e u(t). Se il numero di mobber M è sempre costante allora è sempre verificata la seguente relazione

p(t) + u(t) = 1, ∀t [1.8]

Se P_pu e P_up sono la probabilità di transizione da p(t) a u(t) e viceversa, con P_pu = (n/N )² e Pup = Qq, dove Q è la probabilità di scendere dopo una stazione e q la probabilità di andar fuori dalla stazione l’evoluzione delle diverse popolazioni di mobber si descrive mediante le seguenti equazioni:

(21)







p(t + 1) = p(t) + P_upu(t) − Ppup(t) u(t + 1) = u(t) − Pupu(t) + P_pup(t)

[1.9]

Le equazioni della [1.9] all’equilibrio hanno la seguente soluzione

p(t) = p∞+ (p(0) − p^∞)(1 − Pup− Ppu)^t [1.10]

con p^∞ = P_up/(P_up+ P_pu) and P_up ≤ Ppu dove l’uguaglianza `e esatta se il mobber utente scende alla prima stazione. Al limite del continuo assumendo una piccola probabilit`a di transizione e t ≫ 1, la [1.9] diventa un’equazione differenziale

dp

dt = −(P^up+ Ppu)p(t) + Pup [1.11]

che raggiunge la soluzione stazionaria dp/dt = 0 in un tempo di rilassamento T = 1/(Pup+ Ppu).

Se adesso il numero di treni presenti ad ogni stazione non è unitario, f 6= 1, allora ci sono mobber in attesa, w 6= 0, e si è in presenza di un modello a tre stati nel quale si devono considerare anche la probabilità di transizione da pedone ad utente in attesa P_pw, quella dell’utente ad utente in attesa P_uw e infine quella da utente in attesa ad utente P_wu. In questo caso le equazioni di evoluzione si scrivono:











p(t + 1) − p(t) = Pupu(t) − (Ppu+ P_pw)p(t) + P_wpw(t) u(t + 1) − u(t) = −(Pup+ P_uw)u(t) + P_pup(t) + P_wuw(t) w(t + 1) − w(t) = Puwu(t) + P_pwp(t) − (Pwu+ P_wp)w(t)

[1.12]

e vale sempre la legge di conservazione della [1.8] p(t) + u(t) + w(t) = 1.

Le probabilità di transizione da uno stato ad un altro sono calcolate come funzioni della geometria urbana secondo la tabella 1.1 dove r = Ns/Nn è la densità di stazioni,

f_w = (N_s− Nt)/N_s è la densità di stazioni vuote sulla linea, τ è il tempo medio utilizzato da un mobber utente su un treno (lo si è scelto pari a 5 intervalli temporali, corrispondenti ad un tragitto di 5 nodi) e p_c è la probabilità di cambiare la direzione di treno (nelle simulazioni si è scelto pc = 1/2).

P_pu= r − Ppw P_pw= r(N_hsf_w³ + (N_s− Nhsf_w⁴)/N_s) P_up= (1 − pc)/τ P_uw = p_c((N_s− Nhs)f_w² + N_hs)/(N_sτ ) P_wp= 0 P_wu = 1 − fw²

Tabella 1.1 Probabilit`a di transizione per le equazioni di campo medio.

(22)

Nella definizione della probabilità di transizione da mobber utente a mobber in stato d’attesa P_uw si è tenuto conto che la possibile scelta di un treno è differente per le stazioni interne (possiedono 4 direzioni possibili) rispetto a quelle presenti nei capolinea (possiedono solo 3 direzioni possibili). Inoltre essa dipende dalla memoria individuale che impedisce la scelta di direzioni opposte e quando il mobber cambia treno al capolinea aspetta almeno un intervallo temporale. Le equazioni della [1.12] sono lineari se la capacità dei treni è infinita perché Ppu e Pwu sono costanti. Inoltre nel caso finito si raggiunge una soglia di saturazione del treno scelto oltre il quale P_pu e P_wu sono nulli. Si ottengono all’equilibrio per t → ∞ le seguenti soluzioni:











P∞ = P_upP_wu R

U∞ = P_wu(P_pu+ P_pw) R

W∞ = 1 − P^∞− U^∞

[1.13]

dove R = P_up(P_pw+ P_wu) + (P_uw+ P_wu)(P_pu+ P_pw).

Una generica soluzione della [1.12] rilassa esponenzialmente alla soluzione d’equilibrio [1.13].

Dai risultati delle simulazioni, descritti nella figura 1.3, con differenti valori di N_t = 5, 7, 10 e capienza infinita dei treni e condizioni iniziali p(0) = 1, u(0) = w(0) = 0, si nota l’ottimo accordo tra soluzioni dell’equazione [1.12] e i valori delle tre frequenze, oltre la dipendenza di W^∞ da N_t.

0 10 20 30 40 50 intervalli temporali 0

0.1 0.2 0.3 0.4

percentuale

0.1 0.2 0.3 0.4

percentuale

0.1 0.2 0.3 0.4

percentuale

U(t)

A(t)

U(t)

A(t)

U(t)

A(t)

Figura 1.3 Confronto tra le soluzioni di campo medio u(t) (percentuale di mobber utenti al tempo t) e w(t) (percentuale di mobber in attesa) (linee continue) e le simulazioni (rombi) senza attrazione cronotopica per differenti valori di N_t (numero di treni per ogni linea). A sinistra Nt = 5, al centro Nt = 7 e a destra Nt = 10.

Se si definisce la mobilit`a media con la seguente equazione

m(N_t) = P^∞(N_t) + v_upU^∞(N_t) [1.14]

in funzione del numero di treni, nella figura 1.4 si vede che m cresce rapidamente per bassi

(23)

valori di N_t e raggiunge il valore asintotico per N_t ≥ 10 che corrisponde alla densit`a di treni ≥ 1/2 su ogni linea.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Numero treni Nt

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

mobilita’ media

Figura 1.4 Mobilit`a media in funzione del numero di treni per ogni linea N_t.

1.3.4 Mobilità urbana nella teoria di campo medio in presenza di cronotopi La situazione è più complicata se si considerano gli effetti dei cronotopi. Per N_t = 0 la dinamica dei mobber è un driven random walk su una griglia uniforme con un intervallo di memoria; la probabilità di transizione date dall’equazione [1.3] con n = 4 e f_i(i = 1, ..., 4) coincidono con le proiezioni della forza cronotopica sugli assi coordinati. Se la distribuzione dei cittadini ρ_p(x, y, t) cambia molto poco rispetto alla scala spaziale data dalla distanza di due nodi vicini e rispetto alla scala temporale corrispondente ad un singolo intervallo d’integrazione, allora è possibile fare un limite nel continuo e scrivere un’equazione di Fokker-Planck

D_p⁻¹ ∂

∂tρ_p =

− ∂

∂xf_x− ∂

∂yf_y+ 1 2

∂²

∂²x + ∂²

∂²y

ρ_p [1.15]

dove D_p = ∆x²/∆t `e il coefficiente di diffusione.

La memoria introduce un piccolo termine di correlazione nella dinamica pedonale che può essere trascurato nell’evoluzione media descritta dall’equazione [1.15]. Inoltre si può notare che l’equazione [1.15] è separabile, il calcolo di ρ_p si riduce alla soluzione di un’equazione unidimensionale. La forza cronotopica [1.5] ammette un potenziale, allora esiste una soluzione stazionaria asintotica stabile dell’equazione [1.15] alla quale ogni soluzione con- verge con un tempo caratteristico proporzionale alla derivata seconda del potenziale calcolata nel centro del cronotopo.

Nelle simulazioni lo spazio urbano è un quadrato [−1, 1] × [−1, 1] per cui ∆x = 0.02 in quanto ci sono 101 nodi per ogni lato. Il coefficiente di diffusione è D = 4 · 10⁻⁴(∆t = 1) e la forza cronotopica è definita in accordo all’equazione [1.5] dove rcǫ[0,√

2] e c1 = 1/√ 2 per

(24)

soddisfare la condizione P_i ≥ 0 nell’equazione [1.3]. La distanza di cammino massimo r⁰ della [1.7] è stata posta uguale a 0.1 u.g. (unità grafiche), che è la distanza tra due stazioni adiacenti. Nella figura 1.5 è riportato il confronto tra la popolazione nei cronotopi che si ottiene nelle simulazioni dirette senza treni (N_t = 0) e con 100.00 mobber e quella calcolata risolvendo l’equazione di Fokker-Planck [1.15] con mobber uniformemente distribuiti nello spazio urbano e con capienza dei treni illimitata. Come si vede si ha un buon accordo a riprova che nel limite del continuo si è in grado di descrivere l’evoluzione delle medie delle grandezze globali del sistema. Inoltre si osserva che il tempo di rilassamento è di

≃ 100 intervalli temporali e che la distribuzione stazionaria è di tipo gaussiano, poiché il potenziale cronotopico è quadratico.

0 100 200 300 400

intervalli temporali 0

0.1 0.2 0.3 0.4

percentuale

−1 −0.5 0 0.5 1

x 0

2 4 6

ρ_p

t=30 t=70 t=100

Figura 1.5 Il grafico a sinistra rappresenta il confronto tra la percentuale dei mobber presenti nei cronotopi risolvendo l’equazione [1.15] (linea continue) e la simulazione (rombi) per uno spazio urbano di tipo Mileto/Manhattan. Dopo 300 step il cronotopo si spegne. Il grafico a destra rappresenta la proiezione orizzontale della soluzione dell’equazione [1.15]

a tempi diversi.

Quando s’introducono i treni, si considera la dinamica dei cittadini sulla rete dei mezzi pubblici. Anche se la distribuzione delle stazioni ha un carattere più granulare, si è provato lo stesso ad applicare il limite al continuo per descrivere la dinamica delle quantità medie.

La distribuzione degli utenti ρ_u(x, y, t) soddisfa la stessa equazione di Fokker-Planck con coefficiente di diffusione

D_u = v_up² D_p [1.16]

dove il fattore v_up² tiene conto della velocit`a con cui si muovono i treni. Mettendo insieme le due distribuzioni ρ_p e ρ_u ottenute da una versione locale delle equazioni di campo medio, si ha











ρp(t + 1) − ρ^p(t) = Pupρu(t) − (P^pu− P^pw)ρp(t) + Pwpρw(t) ρu(t + 1) − ρ^u(t) = −(P^up+ Puw)ρu(t) + Ppuρp(t) + Pwuρw(t) ρw(t + 1) − ρ^w(t) = Puwρu(t) + Ppwρp(t) − (P^wu+ Pwp)ρw(t)

[1.17]

(25)

Nella [1.17] ρ_w(x, y, t) è la distribuzione dei mobber in attesa e la probabilità di transizione dipende dalla posizione. Bisogna distinguere due casi: se i nodi non appartengono al cronotopo, le probabilità di transizione sono calcolate secondo la tabella 1.2 altrimenti si usa la tabella 1.3.

P_pu= r − Ppw P_pw= r(N_hsf_w + (N_s− Nhsf_w)/N_s) P_up= (1 − pc)/τ P_uw = p_c((N_s− Nhs)f_w² + N_hs)/(N_sτ ) P_wp= 0 P_wu = 1 − fw²

Tabella 1.2 Probabilit`a di transizione fuori dei cronotopi.

P_pu= 0 P_pw = 0 P_up= 1 P_uw = 0 P_wp= 0 P_wu = 0

Tabella 1.3 Probabilit`a di transizione nei cronotopi.

Nella tabella 1.2 `e stato scelto τ = 20 per evitare che un cittadino abbandoni il treno prima di arrivare al cronotopo. Le differenze tra la tabella 1.1 e quella 1.2 si devono alla scelta opportuna fatta dai mobber in una stazione che si trova sui bordi, quando solo due soluzioni soddisfano la condizione di ridurre la distanza dal cronotopo. I valori nella tabella 1.3 significano che un mobber abbandona con certezza un treno, quando arriva al cronotopo e non ne prende un altro nell’area cronotopica.

Quello che ci si aspetta è che il sistema completo (due equazioni di Fokker-Planck accop- piate col sistema [1.17]) possano descrivere l’evoluzione delle variabili medie se la densità dei treni su ogni linea non è troppo piccola di modo da evitare effetti di distribuzione granulare. Il confronto tra le popolazioni che si ottengono con le simulazioni e quelle che si ottengono con le soluzioni analitiche è buono, anche in questo caso. Nella figura 1.6 si osserva una crescita esponenziale degli utenti dovuta alle equazioni di campo medio [1.17], mentre la diminuzione successiva è il rilassamento alla soluzione asintotica dell’equazione di Fokker-Planck con coefficiente di diffusione [1.16], quando gli utenti arrivano nel cronotopo.

(26)

0 100 200 intervalli temporali 0

0.1 0.2 0.3

frequenza utenti

0 100 200

0.1 0.2 0.3

frequenza utenti

0 100 200

0.1 0.2 0.3

frequenza in attesa

0 100 200

0.1 0.2 0.3

frequenza in attesa

0 100 200

intervalli temporali 0.6

0.7 0.8 0.9 1

frequenza pedoni

0 100 200

intervalli temporali 0.6

0.7 0.8 0.9 1

frequenza pedoni

Figura 1.6 Confronto tra frequenze p(t), u(t) e w(t) calcolate nell’approssimazione del limite del continuo (curve) e le simulazioni (rombi) in uno spazio urbano di tipo Mileto/Ma- nhattan con 100.000 mobber mentre il numero di treni N_t per ogni linea `e pari a 10 nei grafici in alto a 1 nei grafici in basso.

1.4 Applicazione di Mobilis al centro storico di Rimini

Il modello generico Mileto/Manhattan è stato, per la prima volta, specificato in una topologia urbana reale nel centro storico di Rimini durante l’inverno [15] [24]. In questo caso si ha un territorio ben delimitato, una carta cronotopica semplice, una preponderante mobilità pedonale e su due ruote, biciclette e motocicli con presenze che non superano le 10.000 unità.

In questo caso, cos`ı come si vedr`a all’applicazione all’area universitaria di Milano Bicocca, si sono definiti i cronotopi principali dell’area e la loro capacit`a attrattiva, le caratteristiche delle strade, almeno per quelle dentro la scala di risoluzione del modello, i loro fattori di merito w_i della [1.6], le frequenze e le capienze dei mezzi di trasporto pubblico. I parcheggi sono, al tempo stesso, cronotopi e sorgenti di mobber.

La mobilità osservata nel centro storico di Rimini in inverno non presenta particolari criticità in queste condizioni e il modello si è dimostrato valido. I flussi simulati dal sistema virtuale (densità di pedoni nel tempo) corrispondono abbastanza bene a quelli osservati.

I flussi simulati sono rappresentati nella figura 1.7 secondo una scala cromatica dal giallo (meno intenso) al rosso (pi`u intenso). L’ordine di grandezza oscilla da alcune migliaia a dodicimila presenze durante il giorno. I parcheggi sono in verde-mare, i cronotopi attivi in blu e le diverse fermate degli autobus in celeste (attive, accese all’arrivo di un autobus).

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In questa scala la stazione, la cui dinamica sar`a descritta dettagliatamente nel capitolo 4,

è rappresentata come un cronotopo in alto a destra e si vede la presenza della fermata di un autobus, che nel capitolo 4 sarà trattato come nodo di interscambio di mobilità tra la città e la stazione.

Figura 1.7 Densit`a simulata di flusso (numero di cittadini per metro a un certo tempo) nelle strade.

Le simulazioni hanno evidenziato una fermata dell’autobus che si presenta particolarmente critica per sovraffollamento di cittadini in attesa in buon accordo con le osservazioni em- piriche fatte dal comune di Rimini negli stessi intervalli di tempo.

Inoltre in questo caso per la prima volta si `e osservato in un caso reale che, quando un cittadino parte da un preciso punto dello spazio-tempo e propende verso un solo cronotopo forte Mobilis o il modello Milieto/Manhattan `e in grado di riprodurre le traiettorie dei modelli O-D.

1.5 Il modello Campus: mobilit` a pedonale nel continuo

Il modello di mobilità pedonale Campus è essenzialmente un simulatore in grado di descrivere, spiegare e prevedere la dinamica pedonale di individui in uno spazio continuo. In letteratura si possono trovare altri modelli di dinamica pedonali come quelli di Reynolds [68], di Schweitzer [70] e di Helbing [49]. Campus con le opportune calibrazioni può essere applicato a una qualsiasi topologia dalla scala della stazione di Rimini (capitolo 4) fino a scale molto più grandi, per esempio un vasto parco pubblico pedonalizzato. Allo stato attuale Campus è un simulatore in grado di descrivere, spiegare e prevedere la dinamica

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degli individui all’interno della stazione, in relazione anche ai diversi nodi di interscambio esterni. Anche in questo caso, Campus, come Mobilis, è un laboratorio virtuale dove è possibile studiare la dinamica in modo meno dispendioso che nella realtà. Rispetto a un sistema reale, un laboratorio virtuale può essere molto più ricco, in quanto permette di e- splorare scenari diversi da quelli reali o materialmente realizzabili. Un laboratorio virtuale prefigura probabili scenari di mobilità che non necessariamente si attuano, lo fanno solo se si creano le condizioni opportune o si vuole fare in modo che si realizzino. In tal senso è uno strumento che permette di esplorare i molti mondi possibili dove si osserva una dinamica pedonale. Per esempio si possono indagare situazioni di panico e sovraffollamento prima ancora che avvengano, per prevenirle e/o trovare le soluzioni più convenienti per evitarle.

Campus diventa un modello ”predittivo” in senso realistico se s’introducono, in ingresso, dati di flusso reali. Si ha un laboratorio che permette di cercare e trovare i punti critici del sistema, per studiare i modi, se esistono, in cui tali criticit`a possono essere sciolte.

Gli elementi costituenti del modello sono essenzialmente due: l’ambiente, in cui il pedone si muove, con i suoi limiti e la topologia, e il mobber pedone.

Il nucleo del modello è costituito dal modo in cui il mobber vede l’ambiente e in funzione di ciò è in grado di elaborare una strategia di percorso seguendo le proprie esigenze. La visione dell’ambiente non è strettamente legata alla visione fisica diretta, è anche conoscenza di mappa, ossia quella si possiede a priori attraverso la memoria, dovuta alla frequentazione abituale, oppure attraverso una pianta topografica.

Un modello di mobilità pedonale con visione dà luogo ad un sistema d’Intelligenza Artifi- ciale: il mobber interagisce con gli altri mobber e con l’ambiente ed è in grado di elaborare le informazioni.

1.5.1 L’architettura logica del modello: lo spazio e i mobber

In un qualsiasi spazio, il moto di un pedone `e determinato dalle sue mete, dai vincoli fisici dell’ambiente in cui si muove, dalla percezione soggettiva che egli ne ha.

Definita una meta, la scelta di un percorso specifico può essere legata alle differenze di tipo fisico, per esempio uno può essere più breve di un altro, con meno ostacoli o più accessibile, oppure può essere percepito come più sicuro o più bello.

Le propensioni per un percorso, o per un altro, hanno a che vedere anche con le abitudini e gli interessi dei mobber. Per esempio, nel caso di una stazione un passeggero che, abitualmente, legge i giornali pu`o passare vicino all’edicola, mentre un altro che abitualmente beve il caff´e sente il richiamo del bar.

Le colonne portanti dell’architettura logica di questo modello come per Mobilis sono:

l’ambiente e i mobber.

L’arricchimento delle proprietà dell’ambiente e del mobber contribuisce a generare una pluralità di soluzioni per la mobilità individuale e di gruppo. Ovvero, in ultima analisi, diventa più ricca e complessa la topologia spazio temporale della mobilità.