Notazioni e nozioni preliminari

Capitolo 0

Notazioni e nozioni preliminari

0.1 Notazioni

Dato un insiemeW e due suoi sottoinsiemi A,B ✓ W, useremo le notazioni standard A [ B := {w 2 W : w 2 A o w 2 B},

A \ B := {w 2 W : w 2 A e w 2 B}, A^c := {w 2 W : w 62 A}, A \ B := A \ B^c,

A 4 B := (A \ B) [ (B \ A) = (A [ B) \ (A \ B),

dove il simbolo “:=” indica una definizione. Le definizioni di unione e intersezione si estendono in modo naturale a una famiglia arbitraria {Ai}i2Idi sottoinsiemi diW:

[ i2I

Ai:= {w 2 W : 9i 2 I tale che w 2 Ai},

\ i2I

Ai:= {w 2 W : 8i 2 I si ha che w 2 Ai}.

Con un piccolo abuso di terminologia, diremo che un’unione^S_i2IAi`e disgiuntase gli eventi {Ai}i2Isono a due a due disgiunti, ossia se Ai\ Aj=/0 per ogni i 6= j.

Ricordiamo le leggi di De Morgan:

(A [ B)^c =A^c\ B^c, (A \ B)^c =A^c[ B^c, e pi`u in generale

[ i2I

Ai

!c

=^\

i2I

A^c_i, ^\

i2I

Ai

!c

=^[

i2I

A^c_i.

Indicheremo con N := {1,2,3,...} i numeri naturali, zero escluso; quando vor-

1

2 0 Notazioni e nozioni preliminari

remo includerlo, useremo la notazione N0:= {0,1,2,...}. Adotteremo le notazioni standard per i numeri interi, razionali, reali e complessi, indicati rispettivamente con Z, Q, R e C, e porremo R⁺:= [0,•) = {x 2 R : x 0} e Q⁺:= Q \ [0,•).

Diremo che un numero x 2 R `e positivo se x 0 e strettamente positivo se x > 0;

analogamente, diremo che x `e negativo se x  0 e strettamente negativo se x < 0.

Si noti che con queste convenzioni 0 `e sia positivo sia negativo. La parte positiva e negativa di un numero x 2 R sono definite rispettivamente mediante x⁺:= max{x,0}

e x := min{x,0} = max{ x,0}. Si noti che x⁺,x 0 e x = x⁺ x , mentre il valore assoluto di x `e dato da |x| = x⁺ x .

Utilizzeremo gli aggettivi “crescente” e “decrescente” in senso debole: una fun- zione f : R ! R sar`a detta crescente (risp. decrescente) se per ogni x > y si ha f (x) f (y) (risp. f (x)  f (y)). Una funzione costante `e dunque sia crescente sia decrescente.

Dato un insieme finito A, ne denoteremo col simbolo |A| la cardinalit`a, cio`e il numero dei suoi elementi (e scriveremo |A| < • per indicare che l’insieme `e finito).

Un insieme A `e detto numerabile se `e in corrispondenza biunivoca con N, cio`e se esiste una applicazione f : A ! N iniettiva e suriettiva. Dati due insiemi A, B, il loro prodotto cartesiano A ⇥B `e definito come l’insieme di tutte le coppie (a,b) con a 2 A e b 2 B. Queste definizioni verranno riprese e approfondite nel paragrafo 1.2.

SiaW un insieme generico. Per ogni sottoinsieme A ✓ W, definiamo la funzione indicatrice di A, indicata con 1A, come la funzione che vale 1 su A e 0 su A^c:

1A(x) :=

(1 se x 2 A

0 se x 62 A. (0.1)

In altri contesti, questa funzione `e detta caratteristica e indicata concA. Dato che in probabilit`a `e prassi indicare con “funzione caratteristica” un oggetto diverso (che non descriveremo in questo libro), ci atterremo alla terminologia probabilistica

“funzione indicatrice” e alla notazione 1A.

0.2 Serie notevoli

La sommaÂ^•n=1an di una successione di numeri reali (an)_n2N `e definita come il limite della successione {sN:=Â^N_n=1an}N2Ndelle somme parziali (detta serie) quando tale limite esiste in R [ {±•}. Ricordiamo che per ogni a 2 R si ha

Â

1 n^a

(< +• se a > 1

= +• se a  1. (0.2)

La serie geometrica (a partire da 0 o da 1) `e ben nota:

0.3 Somme infinite 3

Â

n=0xⁿ=1 x^N+1

1 x ,

Â

n=1xⁿ=x(1 x^N)

1 x , 8x 2 R \ {1}, (0.3) come si dimostra facilmente per induzione. Segue in particolare che

Â

xⁿ= 1 1 x,

Â

xⁿ= x

1 x, 8x 2 R con |x| < 1. (0.4)

0.3 Somme infinite

Per definire la somma di una famiglia di numeri reali {ai}i2Iindicizzata da un insie- me infinito I generico, anche pi`u che numerabile e senza un ordinamento, si procede nel modo seguente. Nel caso speciale di una famiglia {ai}i2Ipositiva, ossia ai 0 per ogni i 2 I, la somma Âi2Iai`e sempre ben definita in [0,+•], ponendo

Â

A✓I,|A|<•

Â

j2Aaj2 [0,+•],

cio`e la somma infinitaÂ<sub>i2I</sub>ai`e definita come l’estremo superiore di tutte le possibili somme finite degli elementi ai. Si noti cheÂ_i2Iaipu`o assumere il valore +•.

Nel caso generale di una famiglia {ai}i2Idi numeri reali non necessariamente positivi, diremo che tale famiglia ammette somma se almeno una delle due somme Â_i2Ia⁺_i,Â_i2Ia_i `e finita (si osservi che sono entrambe somme a termini positivi). In tal caso, la sommaÂi2Iai`e definita da

Â

Â

i2Ia⁺_i

Â

i2Ia_i 2 [ •,+•]. (0.5)

Si noti che ogni famiglia a termini positivi ammette somma.

Infine, se una famiglia {ai}i2Iammette somma e seÂ_i2Iai2 ( •,+•), diremo che la famiglia ammette somma finita. Chiaramente ci`o accade se e solo se entrambe le sommeÂ<sub>i2I</sub>a<sup>+</sup><sub>i</sub> eÂ<sub>i2I</sub>a<sub>i</sub> sono finite, il che `e equivalente aÂ_i2I|ai| < •.

Osservazione 0.1. L’insieme degli indici I pu`o anche essere infinito pi`u che nume- rabile, ma se la famiglia {ai}i2Iammette somma finita, i termini non nulli sono necessariamente un insieme finito o numerabile. Infatti, per ognie > 0 fissato, i ter- mini tali che |ai| > e sono necessariamente in numero finito (in caso contrario si mostra facilmente cheÂi2I|ai| = •, contraddicendo l’ipotesi). Scrivendo quindi

{i 2 I : ai6= 0} = ^[

n2N

{i 2 I : |ai| >¹_n}, (0.6)

si ha che l’insieme {i 2 I : ai6= 0} `e unione numerabile di insiemi finiti, dunque `e finito oppure numerabile.

4 0 Notazioni e nozioni preliminari

Osservazione 0.2. Supponiamo che una famiglia {ai}i2Iabbia un insieme numera- bile di termini non nulli (sar`a il caso tipico che incontreremo). I termini non nul- li possono allora essere elencati in una successione {ain}n2N, ma la scelta della successione (ossia dell’ordine in cui elencare i termini) `e arbitraria.

Se la famiglia {ai}i2Iammette somma (finita o infinita), si pu`o mostrare che Â_i2Iaicoincide con l’ordinaria somma della serieÂ^•n=1ain=lim_N!•Â^Nn=1ain, la quale dunque non dipende dal modo di scegliere la successione {ain}n2N(e fornisce un modo operativo di calcolare la sommaÂ_i2Iai).

Questo non `e pi`u vero se la famiglia {ai}i2Inon ammette somma: ordinamen- ti diversi della successione {ain}n2Npossono produrre somme diverse della serie Â^•_n=1ain. Un esempio classico `e dato dalla famiglia {ai:= ( 1)<sup>i 1</sup><sub>i</sub>}i2N. Questa `e una delle ragioni per cui occorre cautela nel definire la somma di una famiglia infinita {ai}i2I, quando non ci sia un ordinamento canonico dell’insieme degli indici I.

Chiudiamo enunciando alcune propriet`a importanti delle somme infinite, di cui faremo uso frequente. Le dimostrazioni non sono difficili, ma i dettagli sono piuttosto noiosi: il lettore interessato li pu`o trovare nell’appendice A.

Cominciamo con la linearit`a: se le famiglie {ai}i2Ie {bi}i2Iammettono somma finita, per ognia,b 2 R la famiglia {aai+bbi}i2Iammette somma finita e si ha

Â

(aai+bbi) =a✓

Â

ai

◆ +b✓

Â

bi

◆ .

Questa relazione vale anche se le famiglie sono positive, senza richiedere che ammettano somma finita, purch´ea,b 0.

Quindi la monotonia: se le due famiglie {ai}i2Ie {bi}i2I ammettono somma (finita o infinita) e sono tali che ai biper ogni i 2 I, allora

Â

Â

i2Ibi.

Descriviamo infine una propriet`a nota come somma a blocchi, che corrisponde a una generalizzazione dell’associativit`a per somme finite. Supponiamo che la fami- glia {ai}i2Iammetta somma e sia {Ij, j 2 J} una partizione di I, ossia I =^S_j2JIje Ij\ Ik=/0 per j 6= k. Allora, per ogni j 2 J fissato, la sottofamiglia {ai}i2Ijammette somma; ponendo sj:=Â_i2Ijai, anche la famiglia {sj}j2Jammette somma e si ha

Â

Â

j2Jsj =

Â

j2J

✓

Â

i2Ij

ai

◆

. (0.7)

Come caso particolare, se I = E ⇥ F `e un insieme prodotto, esso pu`o essere parti- zionato in modo naturale come I =^S_x2E{x} ⇥ F, oppure come I =^S_y2FE ⇥ {y}.

Di conseguenza, se la famiglia {ai}i2I={ax,y}_(x,y)2E⇥Fammette somma, si ha che

(x,y)2E⇥F

Â

ax,y=

Â

x2E

✓

Â

y2Fax,y

◆

=

Â

y2F

✓

Â

x2Eax,y

◆

. (0.8)