Esercitazioni di Probabilit` a e Statistica Foglio n. 8 (29 maggio 2009)

Esercitazioni di Probabilit` a e Statistica Foglio n. 8 (29 maggio 2009)

Teoria: variabili aleatorie esponenziali Exp(λ) := Γ(1, λ), assenza di memoria.

Esercizio 1 (es. 111 dell’elenco). Siano X1, . . . , Xnvariabili casuali indipendenti con X_i ∼ Exp(λ). Si determini la distribuzione di

Y := max{X₁, . . . , X_n} , Z := min{X₁, . . . , X_n} .

[FY(t) = (1 − e^−λt)ⁿ1_[0,∞)(t) da cui fY(t) = λn(1 − e^−λt)ⁿ⁻¹e^−λt1_[0,∞)(t). Analo- gamente F_Z(t) = (1 − e^−nλt) 1_[0,∞)(t) da cui f_Z(t) = nλ e^−nλt1_[0,∞)(t), cio`e Z ∼ Exp(nλ).]

Esercizio 2 (es. 107 dell’elenco). Sia X ∼ U ([0, 2]). Qual `e la probabilit`a che il triangolo equilatero di lato X abbia area A > 1?

[A = ¹₂ · X ·

√ 3

2 X = X²

√ 3

4 , da cui P (A > 1) = P (X > 2/3^1/4) = 1 − e^−1/4.]

Esercizio 3. Sia X ∼ U ((0, 1)). Qual `e la distribuzione della variabile Y := − log X?

[F_Y(t) = P (Y ≤ t) = P (X ≥ e^−t) = (1 − e^−t) 1_[0,∞)(t), da cui f_Y(t) = e^−t1_[0,∞)(t), cio`e Y ∼ Exp(1).]

Esercizio 4. Siano X, Y ∼ U ((0, 1)) variabili casuali indipendenti. Qual `e la distri- buzione della variabile Z := X + Y ?

[f_Z(z) = R+∞

−∞ f_X(x)f_Y(z − x)dx = R+∞

−∞ 1_(0,1)(x)1_(0,1)(z − x)dx. Osserviamo che 1_(0,1)(x)1_(0,1)(z − x) = 1(0,1)∩(z−1,z)(x). Dato che (0, 1) ∩ (z − 1, z) = ∅ per z ∈ (−∞, 0] ∪ [2, ∞), mentre (0, 1) ∩ (z − 1, z) = (0, z) per z ∈ (0, 1] e (0, 1) ∩ (z − 1, z) = (z − 1, 1) per z ∈ [1, 2), segue che

fZ(z) =







z se z ∈ [0, 1]

2 − z se z ∈ [1, 2]

0 altrimenti .]

Esercizi consigliati sul capitolo 4: n. 106, 108, 109, 116, 117, 119, 120, 122, 125.

Per la lezione del 3 giugno portare la tavola della distribuzione normale (disponibile sul mio sito).

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