Esercitazioni di Probabilit` a e Statistica Foglio n. 1 (29 aprile 2009)

Esercitazioni di Probabilit` a e Statistica Foglio n. 1 (29 aprile 2009)

Esercizio 1. Da un mazzo di 52 carte da Poker se ne estraggono 5. I possibili punti, in ordine crescente di valore, sono: coppia, doppia coppia, tris, scala, colore, full, poker, scala reale. Si calcoli la probabilit`a di fare:

(a) poker [ ⁵²₅
⁻¹

· 13 · 48 = _2598960⁶²⁴ = ₄₁₆₅¹ ≈ 0.00024 = 0.024%]

(b) scala reale [ ⁵²₅
⁻¹

· 4 · 10 = _2598960⁴⁰ = ₆₄₉₇₄¹ ≈ 0.000015 = 0.0015%]

(c) scala semplice [ ⁵²₅
⁻¹

· 10 · (4⁵ − 4) = _2598960¹⁰²⁰⁰ = ₁₂₇₄⁵ ≈ 0.0039 = 0.39%]

(d) colore [ ⁵²₅
−1

· 4 · ( ¹³₅
− 10) = _2598960⁵¹⁰⁸ ≈ 0.0020 = 0.20%]

(e) coppia [ ⁵²₅
⁻¹

· 13 · ⁴₂
· ¹²₃
· 4³ = ^1098240_2598960 ≈ 0.42 = 42%]

Esercizio 2. In una estrazione del Lotto su una determinata ruota vengono estratti a caso 5 numeri tra 1 e 90. Si calcoli la probabilit`a di fare:

(a) ambata (un numero) giocando un numero [ ⁹⁰₅
⁻¹

· ⁸⁹₄
= ₁₈¹ ≈ 0.055 = 5.5%]

(b) ambo giocando due numeri [ ⁹⁰₅
−1

· ⁸⁸₃
= ₈₀₁² ≈ 0.0024 = 0.24%]

(c) terno giocando tre numeri [ ⁹⁰₅
⁻¹

· ⁸⁷₂
= ₁₁₇₄₈¹ ≈ 0.000085 = 0.0085%]

Si noti che le vincite vengono pagate molto meno di quanto sarebbe “equo”: per l’ambata si oggiene 11.23 volte la giocata (invece di 18), per l’ambo 250 volte (invece di 400.5), per il terno 4500 volte (invece di 11748).

Esercizio 3. Quattro coppie di sposi salgono su un minibus con otto posti a sedere, disposti in quattro coppie di sedili adiacenti.

Se le otto persone scelgono i posti in modo casuale, qual `e la probabilit`a che ciascuno sposo sieda accanto alla propria consorte? [8 · 6 · 4 · 2 / 8! = 1/(7 · 5 · 3) ≈ 0.0095.]

Esercizio 4 (n. 15 della lista di esercizi). Si considerino n persone selezionate in modo casuale. Si stimi quanto grande deve essere grande n affinch´e la probabilit`a che almeno due di essi compiano gli anni lo stesso giorno sia maggiore di 1/2?

[1 −Qn−1 i=1

365−i

365 = 1 −Qn−1

i=1(1 − ₃₆₅ⁱ ) ≥ 1 − exp(−Pn−1 i=1

i

365) = 1 − exp(−⁽ⁿ⁻¹⁾ⁿ₇₃₀ );

questa espressione (e anche quella esatta) `e pi`u grande di ¹₂ per n ≥ 23.]

1

2

Esercizio 5. Per rilevare la presenza di una certa malattia, si effettua un test.

Se la persona sottoposta al test `e malata, il test d`a sempre esito positivo (non ci sono dunque “falsi negativi”). Se invece la persona sottoposta al test `e sana, il test pu`o comunque dare esito positivo con probabilit`a 0.01. Indichiamo con α ∈ (0, 1) l’incidenza della malattia nella popolazione (cio`e la frazione di persone malate). Si determini, in funzione di α, la probabilit`a p che una persona risultata positiva al test sia effettivamente malata e si calcoli il valore trovato per α = 0.1, 0.01, 0.001. [p =

α

α + 0.01·(1−α) = 0.99·α + 0.01^α → 0 per α → 0. Per i valori dati si ha p = 0.92, 0.50, 0.09]

Esercizio 6 (Paradosso di Monty Hall). Vi propongo di scegliere una di tre buste chiuse. Delle tre buste, una contiene un premio mentre le altre sono vuote. Una volta effettuata la scelta, io guardo di nascosto il contenuto delle due buste rimaste e ve ne mostro una vuota (tra le mie due buste ce n’`e almeno una vuota, dunque lo posso sempre fare). A questo punto vi propongo di cambiare la vostra busta con quella che mi `e rimasta in mano. Vi conviene cambiare? [S`ı, la probabilit`a passa da ¹₃ a ²₃]

Supponiamo ora che io cambi il mio comportamento: dopo che voi avete scelto una busta, io ne apro a caso una delle due restanti. Se la busta aperta contiene il premio, il gioco finisce. Se la busta aperta risulta invece vuota, vi offro la possibilit`a di cambiare la vostra busta con quella che mi `e restata in mano. In questo caso, vi conviene cambiare? [ `E indifferente: la probabilt`a (condizionata) di trovare il premio, cambiando o non cambiando, `e sempre ¹₂]