Esercitazioni di Probabilit` a e Statistica Foglio n. 6 (22 maggio 2009)
Teoria: Funzione di ripartizione. Proposizioni 3.58 e 3.60 delle dispense.
Esercizi consigliati dall’elenco: n. 65, 76, 77, 80, 84, 86, 88, 89*, 90*, 91.
Esercizio 1 (esempio 3.61 delle dispense). Siano X1, . . . , Xn variabili aleatorie indi- pendenti con Xi ∼ Ge(p). Determinare la distribuzione di Z = max{X1, . . . , Xn} e W = min{X1, . . . , Xn}.
[FZ(k) = [1 − (1 − p)k+1]n, FW(k) = 1 − [(1 − p)k+1]n = 1 − [(1 − p)n]k+1 cio`e W ∼ Ge(1 − (1 − p)n).]
Esercizio 2 (es. 84 dell’elenco - solo impostato). Siano X, Z e W variabili casuali indipendenti con X ∼ Be(p) mentre Z, W ∼ P o(λ). Definiamo Y := XZ + W .
(a) Determinare le densit`a pX,Y e pY.
(b) Utilizzando la densit`a calcolata al punto precedente, calcolare E(Y ) e V ar(Y ).
(c) Calcolare E(Y ) e V ar(Y ) senza utilizzare pY.
[pX,Y(0, n) = P (X = 0, Y = n) = P (X = 0, W = n) = (1 − p)e−λ λn!n, pX,Y(1, n) = P (X = 1, Y = n) = P (X = 1, Z + W = n) = pe−2λ (2λ)n!n, da cui pY(n) = pX,Y(0, n) + pX,Y(1, n) = pe−2λ (2λ)n!n+(1−p)e−λ λn!n; di conseguenza E(Y ) = p·2λ+(1−p)·λ = λ(p+
1), E(Y2) = p · [(2λ)2+ (2λ)] + (1 − p) · (λ2+ λ), da cui Var(Y ) = λ2(p − p2) − λ(1 + p).
Alternativamente E(Y ) = E(X)E(Z) + E(W ) = pλ + λ, E(Y2) = . . ., ecc.]
1
