Esercitazioni di Probabilit` a e Statistica Foglio n. 9 (3 giugno 2009)
Teoria: variabili aleatorie normali N (µ, σ2) e loro propriet`a (sezione 4.5.3 delle dispense).
Teoria: interpretazione della densit`a (continua) fX(·) di una variabile aleatoria X come densit`a di probabilit`a: P (X ∈ [c, c + ]) = fX(c) + o() per ↓ 0, vale a dire fX(c) = lim↓01P (X ∈ [c, c + ]) per ogni punto c in cui fX `e continua.
Esercizio 1 (esempio 4.28 delle dispense). Sia X ∼ N (0, 1). Determinare la distri- buzione di Y := X2.
[FY(y) = FX(√
y) − FX(−√
y) per y ≥ 0, quindi fY(y) = √1yfX(√
y)1[0,∞)(y) =
√1
2πye−y/21[0,∞)(y), cio`e Y ∼ Γ(12,12) =: χ2(1).]
Esercizio 2 (esempio 4.29 delle dispense). Siano X1, . . . , Xn ∼ N (0, 1) variabili aleatorie indipendenti. Determinare la distribuzione di Z := X12+ . . . + Xn2.
[Segue dall’esercizio precedente e dalle propriet`a delle variabili gamma che Z ∼ Γ(n2,12) =: χ2(n).]
Teoria ed esercizi sull’uso della tavola della funzione di ripartizione della distribu- zione normale.
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