Esercizio 1: Sia R

(1)

Universita’ degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta’ Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile e Edile-Architettura) - a.a. 2008/2009

II Emisemestre - Settimana 1 - Foglio 9 B Docente: Prof. F. Flamini - Tutore: Dott. M. Paganin

Esercizi Riepilogativi Svolti

Esercizio 1: Sia R

³

lo spazio vettoriale euclideo, munito di base canonica e, e prodotto scalare standard.

(i) Determinare una base ortonormale f di R

³

costruita a partire dalla base b := v

1

, v

2

, v

3

, dove v

₁

= (1, 0, 1), v

₂

= (0, 1, 1), v

₃

= (0, 1, −1).

(ii) Verificare che la matrice cambiamento di base M

ef

è ortogonale.

Svolgimento: (i) Si procede con il metodo di Gram-Schmidt. Determiniamo il versore u

₁

di v

₁

, cioè:

u

1

= v

1

/||v

1

|| = (1/ √

2, 0, 1/ √ 2).

Determiniamo da v

2

un vettore v

⁰₂

ortogonale a v

1

, ponendo:

v

⁰₂

= v

2

− hv

₂

, u

1

i u

₁

= (−1/2, 1, 1/2).

In seguito normalizziamo v

⁰₂

, ponendo u

2

= v

⁰₂

/||v

⁰₂

|| = (− √

2/2

√ 3,

√ 2/

√ 3,

√ 2/2

√ 3).

Definiamo infine un vettore v

⁰₃

, ortogonale a u

1

e u

2

, ponendo

v

⁰₃

= v

₃

− (hv

₃

, u

₁

i)u

₁

− (hv

₃

, u

₂

i)u

₂

= (1/3, 1/3, −1/3).

Normalizzando quest’ultimo vettore, si ha:

u

₃

= (1/ √ 3, 1/ √

3, −1/ √ 3).

Pertanto,

f := u

₁

, u

₂

, u

₃

. (ii) La matrice M = M

_ef

è

M =





 1/ √

2 − √ 2/2 √

3 1/ √ 3

0 √

2/ √

3 1/ √ 3 1/ √

2 √

2/2 √

3 −1/ √ 3





 .

1

(2)

2

Calcolando M

^t

M e

^t

M M vediamo che ambedue i prodotti danno la matrice I

3

. Per- tanto M è ortogonale.

Esercizio 2: Nel piano cartesiano R

²

, con riferimento cartesiano ortonormale (O; x

1

, x

2

), siano assegnati i punti

P = (1, 2), Q = (2, −1), R = (1, 0),

le cui coordinate sono scritte per comodita’ per riga. Dopo aver verificato che i 3 punti formano i vertici di un triangolo T , determinare il perimetro del triangolo T .

Svolgimento: I tre punti non sono allineati. Quindi formano i vertici di un triangolo.

Per trovare il perimetro basta determinare le lunghezze di tutti e tre i lati con la formula della distanza fra due punti e poi sommare.

Esercizio 3: Nel piano cartesiano R

²

, con riferimento cartesiano ortonormale (O; x

₁

, x

₂

), sia Q il trapezio di vertici: (1, 1), (6, 1), (2, 3), (3, 3).

(i) Disegnare l’immagine di Q dopo la traslazione T

p

, dove il vettore p = (0, −1);

(ii) Disegnare l’immagine di Q dopo la riflessione S

₀

rispetto all’asse x

₁

;

(iii) Disegnare l’immagine di Q dopo la rotazione R

_π

di angolo π attorno all’origine.

Svolgimento: (i) Si tratta del trapezio Q

⁰

di vertici (1, 0), (6, 0), (2, 2), (3, 2).

(ii) S

0

(Q) e’ il trapezio di vertici (1, −1), (6, −1), (2, −3), (3, −3).

(iii) R

_π

(Q) e’ il trapezio di vertici (−1, −1), (−6, −1), (−2, −3), (−3, −3).