Yoyo su piano inclinato
Figure 1:
Un cilindro di massa m e raggio r e’ tenuto fermo su un piano inclinato da una corda tangente al disco e parallela al piano.
1. Se µS e’ il coefficiente di attrito statico, quale e’ il valore massimo αM AX che permette l’equilibrio? E quale e’ la corrispondente tensione della fune?
2. Se il piano e’ inclinato di un angolo α > αM AX ed il coefficiente di attrito dinamico e’ µd, con quale accelerazione scende il cilindro?
Risposta
Se T e Fssono i moduli della tensione della corda e della forza di attrito statitico, rispettivamente, la seconda equazione cardinale si scrive:
T r − Fsr = 0 → T = Fs (1)
Scriviamo, ora, la prima equazione cardinale:
T + Fs= mg sin α (2)
La condizione limite si ha quando Fs= µsN = µsmg cos αM AX.
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In questo caso:
2µsmg cos αM AX = mg sin αM AX → tan αM AX = 2µs (3) La prima equazione ci da T = Fs= mg cos αM AX.
Se α > αM AX le due equazioni cardinali diventano:
mg sin α − T − Fd= maG T r − Fdr = IGω˙
Fd= µdmg cos α
(4)
essendo G il centro di massa.
Rimane da determinare la relazione fra aGe ˙ω. Il moto e’ di rotolamento istantaneo intorno al punto di contatto fra il filo ed il cilindro. Risulta quindi, come nel caso di rotolamento puro, aG = r ˙ω. A questo punto la soluzione si trova facilmente dividendo per r la seconda equazione e sommando alla prima:
mg sin α − 2µdmg cos α = (m + IG/r2)aG (5) Per un cilindro pieno IG= 1/2mr2 per cui:
aG= 2
3g(sin α − 2µdcos α) (6)
Questa equazione ha soluzioni positive (cilindro che scende) se tan α > 2µd, condizione verificata per quanto detto nella prima parte del problema es- sendo µd≤ µs.
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