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Urto con un piano inclinato ??

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Academic year: 2021

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5.79. URTO CON UN PIANO INCLINATO??

PROBLEMA 5.79

Urto con un piano inclinato ??

v0 α

Figura 5.65.: Il piano inclinato mobile e la pallina che lo urta.

Il piano inclinato in Figura 5.65, di massa M, è vincolato a muoversi su un piano orizzontale privo di attrito. Su di esso viene lanciata una pallina di massa m che si muove inizialmente nel piano con velocità v0, e non è ad esso vincolata. Calcolare l’angolo θ che la velocità della pallina forma con l’orizzontale dopo l’urto, tenendo conto del fatto che la giunzione tra piano inclinato e piano orizzontale non è arrotondata e che l’urto avviene in un tempo molto breve.

Soluzione

L’energia e la quantità di moto orizzontale del sistema si conservano. Inoltre, dato che l’urto avviene in un tempo molto breve, l’unica forza non trascurabile applicata alla pallina è la reazione normale alla superficie del piano inclinato. Durante l’urto quindi si conserverà la componente della quantità di moto della pallina parallela al piano inclinato.

Abbiamo quindi la conservazione dell’energia 1

2mv20 = 1 2m

v2x+v2y +1

2MV2 (5.79.1)

dove si è tenuto conto che immediatamente dopo l’urto la posizione della pallina non è cambiata, e che quindi non è necessario includere l’energia potenziale gravitazionale.

Per la conservazione della quantità di moto orizzontale sarà

mv0 =mvx+MV (5.79.2)

ed infine per la componente della quantità di moto della pallina parallela al piano inclinato

mv0cos α=m vxcos α+vysin α

. (5.79.3)

Ricavando V dalla seconda relazione abbiamo (γ= M/m) v20 = v2x+v2y+ 1

γ(v0vx)2 (5.79.4)

v0 = vx+vytan α (5.79.5)

236 versione del 22 marzo 2018

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5.79. URTO CON UN PIANO INCLINATO??

ossia

vx+vytan α2

=v2x+v2y+ 1

γv2ytan2α. (5.79.6) Risolvendo per tan θ =vy/vxotteniamo le due soluzioni

tan θ=0 (5.79.7)

e

tan θ = 2 tan α

1−1γ1tan2α. (5.79.8) Solo quest’ultima è fisicamente accettabile. Nel caso particolare da considerare γ→∞, e quindi

tan θ2 tan α

1−tan2α = 2 sin α cos α

cos2αsin2α =tan 2α (5.79.9) cioè l’angolo di incidenza con il piano inclinato è uguale a quello di riflessione, come ci si aspetta se la pedana è ferma.

237 versione del 22 marzo 2018

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