• Non ci sono risultati.

Doppio piano inclinato ?

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Condividi "Doppio piano inclinato ?"

Copied!
3
0
0

Testo completo

(1)

5.1. DOPPIO PIANO INCLINATO?

PROBLEMA 5.1

Doppio piano inclinato ?

Un punto materiale è vincolato a muoversi sulla superficie in Figura 5.1, composta da due piani inclinati (con diverso angolo di inclinazione) separati da un piano orizzontale.

Senza fare uso di principi di conservazione mostrare che in assenza di attrito se il punto materiale viene lasciato andare sul primo piano ad una altezza h1, si ferma sul secondo ad una altezza h2 =h1.

h h

1 2

θ

1

θ

2

Figura 5.1.: Figura esercizio

Soluzione

Il moto sui piani inclinati sarà uniformemente accelerato. Dato che il moto è rettilineo l’accelerazione è parallela al piano, e possiamo determinarla considerando la proiezione della forza di gravità e della reazione vincolare in tale direzione. In assenza di attrito la reazione vincolare è normale al piano, quindi non contribuisce, e possiamo scrivere in modulo

ma=mg sin θi

Lo spazio percorso sul primo piano inclinato e la velocità saranno quindi date da

`1(t) = 1

2g sin θ1t2 v1(t) = g sin θ1t

da cui possiamo determinare il tempo di arrivo sul piano orizzontale

`1(t1, f) = 1

2g sin θ1t21, f = h1 sin θ1 cioè

t1, f = 1 sin θ1

s 2h1

g e la velocità

v1, f =v1(t1, f) =p2gh1.

86 versione del 22 marzo 2018

(2)

5.1. DOPPIO PIANO INCLINATO?

Notare che questo risultato non dipende dalla inclinazione del piano. Passando sul piano orizzontale il modulo della velocità non cambierà (giustificheremo al termine dell’esercizio questa affermazione) e la massa si muoverà con velocità costante fino al secondo piano inclinato, a cui arriverà a t = t2,i. Passando su quest’ultimo il modulo della velocità rimarrà ancora una volta invariato, e avremo adesso un modo decelerato che potrà essere descritto come

`2(t) = v1, f(t−t2,i)− 1

2g sin θ2(t−t2,i)2 v2(t) = v1, fg sin θ2(t−t2,i)

L’altezza massima si raggiungerà ad un tempo t2, f determinato da v2(t2, f) =0 cioè (t2, ft2,i) = v1, f

g sin θ2 e lo spazio percorso sarà

`2(t2, f) = 1 2

v21, f

g sin θ2 = h1 sin θ2 corrispondente ad una altezza finale

h2= `2 tf ,2

sin θ2 =h1

Resta da giustificare la conservazione del modulo della velocità nella transizione pia- no inclinato-piano orizzontale e viceversa. Osserviamo che a un dato istante il punto materiale è sottoposto alla forza di gravità e a una reazione vincolare che sappiamo esse- re normale al vincolo (assenza di attrito). Nel punto di raccordo la normale al piano non è ben definita, e il problema diviene ambiguo. Discuteremo il significato di questa ambi- guità in un prossimo problema. Per adesso la elimineremo modificando la superficie in un intorno piccolo quanto vogliamo dello spigolo, in modo da renderlo sufficientemente liscio (Figura 5.2).

v( ) v( )0

ε

Figura 5.2.: Il raccordo regolarizzato tra piano inclinato e orizzontale.

Allora la reazione vincolare sarà ben definita ad ogni istante, e non potrà contribuire in nessun caso alla accelerazione nella direzione tangenziale al piano. Quindi avremo (usando il fatto che la derivata del versore tangente ˆτ è ad esso perpendicolare)

d

dt(~v·ˆτ) = d~v

dt · ˆτ+ ~v·d ˆτdt = d~v

dt · ˆτ = ~g· ˆτ

87 versione del 22 marzo 2018

(3)

5.1. DOPPIO PIANO INCLINATO?

da cui segue che

~v· ˆτ(e) = ~v· ˆτ(0) + ˆ e

0

~g· ˆτ dt

dove e è il tempo che la particella passa sulla parte “lisciata” del raccordo. Poichè possiamo prendere piccolo quanto vogliamo segue che

~v· ˆτ(e) = ~v· ˆτ(0).

88 versione del 22 marzo 2018

Riferimenti

Documenti correlati

Un cilindro ruota senza strisciare su un piano inclinato di un

Invece se la velocità del punto di contatto è inizialmente negativa, cresce linearmente e si arriva a rotolamento puro in un tempo finito. Infine se µ d < 1 3 tan α la velocità

Gli assi e la bisettrice del secondo e quarto quadrante dividono il piano in sei zone: per ciascuna è indicato il verso della velocità angolare, della velocità del punto di contatto

Se su tutto il piano è presente un at- trito dinamico catatterizzato da un coefficiente µ d calcolare sulla base di considerazioni energetiche l’altezza massima raggiunta sul piano

Calcolare l’angolo θ che la velocità della pallina forma con l’orizzontale dopo l’urto, tenendo conto del fatto che la giunzione tra piano inclinato e piano orizzontale non

Poiché noi siamo sulla moto e siamo collegati, in ogni istante, al sistema che genera la reazione vincolare, quello che percepiamo non è la forza centripeta ma la reazione

la risultante di tutte le forze agenti solo quel corpo e solo se questa risultante il corpo rimarra’ in quiete.

h) il concessionario provvederà inoltre a comunicare all’U.G.A., con cadenza settimanale, l’elenco dei veicoli ritirati dai proprietari, con l’indicazione della data del ritiro,