Ottica geometrica 1
19 dicembre 2013 Definizioni
Approssimazioni Stigmatismo
Specchio concavo, fuoco
Invertibilita` del cammino ottico
Definizioni
• Si dice oggetto un corpo che emette luce propria o diffonde luce di un’altro corpo
• Strumento ottico e` un apparato, semplice o complesso, che riflette o rifrange la luce emessa da un oggetto
• Esempi ne sono uno specchio, una lente, l’occhio, un telescopio
• Immagine e` la luce emessa dall’oggetto dopo essere stata trasformata dallo strumento ottico e raccolta su uno schermo (torneremo sul concetto)
• L’ottica geometrica (OG) studia la formazione di immagini mediante strumenti ottici, considerando la luce emessa dall’oggetto come un insieme di raggi
Approssimazioni dell’OG
• Nell’OG si considera la luce come formata da particelle che si muovono in line retta e
interagiscono con le superfici dello strumento ottico secondo le leggi della riflessione e della rifrazione
• Nell’OG non entra mai in gioco la natura ondulatoria della luce
• Tale approssimazione e` generalmente ben
soddisfatta, perche’ le dimensioni delle superfici
degli strumenti ottici sono molto maggiori della
Forma dello strumento ottico
• Ci limiteremo a studiare il caso in cui
– gli strumenti ottici abbiano un asse di simmetria cilindrica – gli elementi dello strumento siano costituiti solo da
porzioni di superfici piane o sferiche
• In tal modo rimangono definiti per ciascuna superficie
– un centro C e un raggio di curvatura R
– un vertice V come intersezione tra la superficie e l’asse
R
Stigmatismo
• Uno strumento ottico e` detto stigmatico se trasforma un punto oggetto in un unico punto immagine: e` una condizione essenziale per una buona definizione dell’immagine
• Lo strumento puo` essere stigmatico per uno o alcuni punti oppure puo` esserlo per tutti i punti dello
spazio oggetto
• Lo stigmatismo e` difficile da ottenere
Ottica gaussiana
• Si puo` ottenere stigmatismo in modo approssimato a condizione di usare raggi parassiali, cioe` poco inclinati
rispetto all’asse ottico dello strumento e poco distanti da esso
• La piccola inclinazione permette di approssimare la tangente e il seno di un’angolo con l’angolo stesso (espresso in radianti)
• In questa approssimazione gaussiana gli angoli ’ sono tutti piccoli e la sagitta HV, relativa al semi-arco NV si puo`
considerare nulla
V C
N
H
’
Aberrazioni
• Le eqq. che ricaveremo per le immagini formate da uno strumento ottico sono valide solo nell’approssimazione parassiale
• Non sono più accurate quando consideriamo – raggi con grandi angoli rispetto all’asse – raggi lontani dall’asse
– luce non monocromatica per elementi ottici rifrattivi
• Questo fenomeno ha diversi aspetti, chiamati nell’insieme aberrazioni
Tipi di elemento ottico
• Una superficie di uno strumento che presenta solo riflessione e` detta superficie catottrica o specchio
• Una superficie di uno strumento che presenta rifrazione e` detta superficie diottrica o diottro
• Le superfici rifrangenti presentano anche riflessione, ma in approssimazione parassiale (piccoli angoli di incidenza) l’onda riflessa ha intensità piuttosto
piccola e viene trascurata (o considerata parassita)
• Una lente è l’insieme di due diottri
Formazione delle immagini
• Studieremo dapprima la formazione dell’immagine per un punto sull’asse
• In un secondo momento studieremo cosa
succede per un punto fuori asse
Formazione delle immagini
• Dopo aver interagito con un elemento ottico i raggi possono convergere sul punto immagine, e
raggiungerlo
• Dopo di che ne divergono come se l’immagine fosse un oggetto e non è possibile distinguere la luce
proveniente da un’immagine da quella proveninente da un oggetto
• L’immagine di un elemento ottico diventa così
l’oggetto dell’elemento successivo
Specchio concavo (1)
• Cerchiamo l’immagine Q di un punto oggetto P giacente sull’asse a sinistra di C
• Consideriamo un raggio (luminoso) PN emesso da P e incidente sul punto N dello specchio
• Tracciamo il raggio (geometrico) CN dal centro dello specchio a N: l’angolo PNC e` l’angolo d’incidenza i
• Il raggio PN viene riflesso secondo l’angolo di riflessione CNQ=r
N
Specchio concavo (1)
• Con riferimento alla figura, abbiamo le seguenti due uguaglianze geometriche
• Sommando membro a membro ed eliminando i ed r
• Esprimiamo le tangenti degli angoli
V N
H
i r’
r
'
i
' 2
CH NH
tg
tg' NH QH PHNH tg
• Diciamo y la distanza trasversale NH
• o la distanza dell’oggetto dal vertice
Specchio concavo (1)
• Nell’approssimazione di Gauss le tangenti sono assimilabili agli angoli, HV ~ 0 e quindi
• E sostituendo in otteniamo
R i
o
2 1
1
' 2
C V
P Q
N
R y tg /
' tg
' y /i oy tg /
Il valore di i non dipende dal
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Stigmatismo approssimato
• Se non facessimo approssimazioni, detto
• otterremmo
• E siccome otteniamo
• E infine
• Poiche’ la posizione dell’immagine dipende da y, non avremmo stigmatismo
• L’AG consiste nel fermarsi al primo ordine in y, ottenendo cosi’ stigmatismo approssimato
2 1 cos
2 1 2
' 2
2
R
tg tg
tg tg
tg tg
y tg tg x
x y tg
i y
i 1 2
R 1 o
x HV R 1 cos
2 2
2
1 1 1
1 2
1 2
1
R R y
o R
y o
R
o R R
y i
) cos
(
y Rtg cos
1
y R
2Fuoco
• Se facciamo tendere P all’infinito ( ) il raggio PN diventa parallelo all’asse e il raggio riflesso interseca l’asse in un punto F detto fuoco
• Dall’eq. dello specchio ricaviamo la posizione del fuoco (i = f)
N
f R 2
o
Invertibilità dei raggi
• In ottica esiste il principio di invertibilità del raggio luminoso (o cammino ottico), secondo cui invertendo il verso di un raggio, si ottiene ancora un possibile raggio
• Applicato al caso precedente possiamo allora affermare che un raggio emesso dal fuoco viene riflesso parallelamente all’asse
• Allora o = f e
V N
i
Specchio concavo (2)
• Anche per punti oggetto P compresi tra C e F possiamo
ripetere la costruzione già vista e ottenere la stessa equazione
R i
o
2 1
1
V N
Specchio concavo (3)
• Cerchiamo l’immagine Q di un punto oggetto P giacente sull’asse a destra di F
• Il raggio riflesso e l’asse sono ora divergenti e non esiste un punto in cui i raggi convergano
• Se prolunghiamo il raggio riflesso al di là dello specchio, esiste però un’intersezione Q con l’asse che viene detta immagine virtuale di P: non sono i raggi, ma i loro prolungamenti
geometrici che si incontrano
N
Specchio concavo (3)
• In tal caso valgono le relazioni geometriche
• Sommando membro a membro e semplificando
• Come nel caso precedente approssimiamo l’angolo con la tangente, ottenendo
r '
i
' 2
1
o 1
i 2 R
r N
Immagini virtuali
• A differenza delle immagini reali, nelle immagini virtuali i raggi luminosi non convergono in un punto e quindi non possono essere raccolte su uno schermo
• Mediante un sistema ottico, possono però essere focalizzati su uno schermo ove formano un’immagine reale
• Anche l’occhio può svolgere tale funzione, in questo caso lo schermo è la retina dell’occhio
N
Oggetti virtuali
• Supponiamo che un elemento ottico faccia convergere i raggi che lo colpiscono
• Se questi raggi sono successivamente intercettati da un secondo elemento ottico, l’immagine del primo elemento puo` anche non formarsi
• Ciononostante l’immagine che si formerebbe può essere
considerata come un oggetto virtuale per il secondo elemento ottico
• P. e. l’immagine creata da un elemento ottico convergente,