Ottica geometrica 1

Ottica geometrica 1

19 dicembre 2013 Definizioni

Approssimazioni Stigmatismo

Specchio concavo, fuoco

Invertibilita` del cammino ottico

Definizioni

• Si dice oggetto un corpo che emette luce propria o diffonde luce di un’altro corpo

• Strumento ottico e` un apparato, semplice o complesso, che riflette o rifrange la luce emessa da un oggetto

• Esempi ne sono uno specchio, una lente, l’occhio, un telescopio

• Immagine e` la luce emessa dall’oggetto dopo essere stata trasformata dallo strumento ottico e raccolta su uno schermo (torneremo sul concetto)

• L’ottica geometrica (OG) studia la formazione di immagini mediante strumenti ottici, considerando la luce emessa dall’oggetto come un insieme di raggi

Approssimazioni dell’OG

• Nell’OG si considera la luce come formata da particelle che si muovono in line retta e

interagiscono con le superfici dello strumento ottico secondo le leggi della riflessione e della rifrazione

• Nell’OG non entra mai in gioco la natura ondulatoria della luce

• Tale approssimazione e` generalmente ben

soddisfatta, perche’ le dimensioni delle superfici

degli strumenti ottici sono molto maggiori della

Forma dello strumento ottico

• Ci limiteremo a studiare il caso in cui

– gli strumenti ottici abbiano un asse di simmetria cilindrica – gli elementi dello strumento siano costituiti solo da

porzioni di superfici piane o sferiche

• In tal modo rimangono definiti per ciascuna superficie

– un centro C e un raggio di curvatura R

– un vertice V come intersezione tra la superficie e l’asse

R

Stigmatismo

• Uno strumento ottico e` detto stigmatico se trasforma un punto oggetto in un unico punto immagine: e` una condizione essenziale per una buona definizione dell’immagine

• Lo strumento puo` essere stigmatico per uno o alcuni punti oppure puo` esserlo per tutti i punti dello

spazio oggetto

• Lo stigmatismo e` difficile da ottenere

Ottica gaussiana

• Si puo` ottenere stigmatismo in modo approssimato a condizione di usare raggi parassiali, cioe` poco inclinati

rispetto all’asse ottico dello strumento e poco distanti da esso

• La piccola inclinazione permette di approssimare la tangente e il seno di un’angolo con l’angolo stesso (espresso in radianti)

• In questa approssimazione gaussiana gli angoli ’ sono tutti piccoli e la sagitta HV, relativa al semi-arco NV si puo`

considerare nulla

V C

N

H

  ’

Aberrazioni

• Le eqq. che ricaveremo per le immagini formate da uno strumento ottico sono valide solo nell’approssimazione parassiale

• Non sono più accurate quando consideriamo – raggi con grandi angoli rispetto all’asse – raggi lontani dall’asse

– luce non monocromatica per elementi ottici rifrattivi

• Questo fenomeno ha diversi aspetti, chiamati nell’insieme aberrazioni

Tipi di elemento ottico

• Una superficie di uno strumento che presenta solo riflessione e` detta superficie catottrica o specchio

• Una superficie di uno strumento che presenta rifrazione e` detta superficie diottrica o diottro

• Le superfici rifrangenti presentano anche riflessione, ma in approssimazione parassiale (piccoli angoli di incidenza) l’onda riflessa ha intensità piuttosto

piccola e viene trascurata (o considerata parassita)

• Una lente è l’insieme di due diottri

Formazione delle immagini

• Studieremo dapprima la formazione dell’immagine per un punto sull’asse

• In un secondo momento studieremo cosa

succede per un punto fuori asse

Formazione delle immagini

• Dopo aver interagito con un elemento ottico i raggi possono convergere sul punto immagine, e

raggiungerlo

• Dopo di che ne divergono come se l’immagine fosse un oggetto e non è possibile distinguere la luce

proveniente da un’immagine da quella proveninente da un oggetto

• L’immagine di un elemento ottico diventa così

l’oggetto dell’elemento successivo

Specchio concavo (1)

• Cerchiamo l’immagine Q di un punto oggetto P giacente sull’asse a sinistra di C

• Consideriamo un raggio (luminoso) PN emesso da P e incidente sul punto N dello specchio

• Tracciamo il raggio (geometrico) CN dal centro dello specchio a N: l’angolo PNC e` l’angolo d’incidenza i

• Il raggio PN viene riflesso secondo l’angolo di riflessione CNQ=r

N

Specchio concavo (1)

• Con riferimento alla figura, abbiamo le seguenti due uguaglianze geometriche

• Sommando membro a membro ed eliminando i ed r

• Esprimiamo le tangenti degli angoli

V N

H

  i r’

 r

 

 '



  i 





  '  2

CH NH

tg



NH tg 

• Diciamo y la distanza trasversale NH

• o la distanza dell’oggetto dal vertice

Specchio concavo (1)

• Nell’approssimazione di Gauss le tangenti sono assimilabili agli angoli, HV ~ 0 e quindi

• E sostituendo in otteniamo

R i

o

2 1

1  





  '  2

C V

P Q

N

R y tg  /





 



y tg  /

 



Il valore di i non dipende dal

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Stigmatismo approssimato

• Se non facessimo approssimazioni, detto

• otterremmo

• E siccome otteniamo

• E infine

• Poiche’ la posizione dell’immagine dipende da y, non avremmo stigmatismo

• L’AG consiste nel fermarsi al primo ordine in y, ottenendo cosi’ stigmatismo approssimato

  















 



 

 2 ^{1 cos}

2 1 2

' ²

2  







 

 





 R

tg tg

tg tg

tg tg

y tg tg x

x y tg

i y

i  1 2

R  1 o

  

 x  HV  R 1  cos











 



 











 









 



 



 







2 2

2

1 1 1

1 2

1 2

1

R R y

o R

y o

R

o R R

y i

) cos

(





tg  ^cos

^





Fuoco

• Se facciamo tendere P all’infinito ( ) il raggio PN diventa parallelo all’asse e il raggio riflesso interseca l’asse in un punto F detto fuoco

• Dall’eq. dello specchio ricaviamo la posizione del fuoco (i = f)

N

f  R 2



o 

Invertibilità dei raggi

• In ottica esiste il principio di invertibilità del raggio luminoso (o cammino ottico), secondo cui invertendo il verso di un raggio, si ottiene ancora un possibile raggio

• Applicato al caso precedente possiamo allora affermare che un raggio emesso dal fuoco viene riflesso parallelamente all’asse

• Allora o = f e

V N



i 

Specchio concavo (2)

• Anche per punti oggetto P compresi tra C e F possiamo

ripetere la costruzione già vista e ottenere la stessa equazione

R i

o

2 1

1  

V N

Specchio concavo (3)

• Cerchiamo l’immagine Q di un punto oggetto P giacente sull’asse a destra di F

• Il raggio riflesso e l’asse sono ora divergenti e non esiste un punto in cui i raggi convergano

• Se prolunghiamo il raggio riflesso al di là dello specchio, esiste però un’intersezione Q con l’asse che viene detta immagine virtuale di P: non sono i raggi, ma i loro prolungamenti

geometrici che si incontrano

N

Specchio concavo (3)

• In tal caso valgono le relazioni geometriche

• Sommando membro a membro e semplificando

• Come nel caso precedente approssimiamo l’angolo con la tangente, ottenendo



r   '  



  i  



   '  2 

1

o  1

i  2 R

r N

Immagini virtuali

• A differenza delle immagini reali, nelle immagini virtuali i raggi luminosi non convergono in un punto e quindi non possono essere raccolte su uno schermo

• Mediante un sistema ottico, possono però essere focalizzati su uno schermo ove formano un’immagine reale

• Anche l’occhio può svolgere tale funzione, in questo caso lo schermo è la retina dell’occhio

N

Oggetti virtuali

• Supponiamo che un elemento ottico faccia convergere i raggi che lo colpiscono

• Se questi raggi sono successivamente intercettati da un secondo elemento ottico, l’immagine del primo elemento puo` anche non formarsi

• Ciononostante l’immagine che si formerebbe può essere

considerata come un oggetto virtuale per il secondo elemento ottico

• P. e. l’immagine creata da un elemento ottico convergente,