Corso di laurea in Fisica I Parziale di Istituzioni di Fisica Teorica L’Aquila 7 Gennaio 2015 studente/ssa: matricola:

Corso di laurea in Fisica

I Parziale di Istituzioni di Fisica Teorica L’Aquila 7 Gennaio 2015

studente/ssa:

matricola:

1) Si consideri un oscillatore armonico di massa m e ”frequenza” ω.

- Si scrivano e si risolvano le equazioni di Heinseberg per gli operatori impulso e posizione;

- Si consideri l’operatore parit`a Π, se ne scriva l’azione sugli operatori impulso e posizione. Utiliz- zando la risposta alla domanda precedente si trovi esplicitamente un operatore che agisce come Π in termini dell’operatore di evoluzione temporale;

- Si calcoli al tempo t il valor medio sullo stato fondamentale degli operatori pq

e p

q.

2) Una particella di spin 1/2 si trova inizialmente nell’autostato dello spin lungo l’asse z corrispondente all’autovalore ¯h/2. Lo spin evolve nel tempo secondo l’Hamiltoniano:

H = −ǫˆ n · ~σ ˆ

n `e un versore che individua una direzione inclinata di 30

rispetto all’asse positivo di z.

- σ

`e costante del moto?

- Esiste un periodo associato all’evoluzione dello stato?

3) Un atomo di idrogeno `e soggetto ad una forza costante dimodulo F

diretta lungo il verso positivo dell’asse z.

- Scrivere il potenziale V associato a tale forza.

- V commuta con l’hamiltoniano dell’atomo di idrogeno libero (in assenza della forza esterna)?

- V commuta con la componente z del momento angolare?

4) I tre stati ortonormali |1 >, |2 > e |3 > sono autostati dell’Hamiltoniano ˆ H

con autovalori rispettivamente ǫ,−ǫ e −ǫ. Su questi stati l’azione di un potenziale ˆ V si esprime come

V |1 >= v ˆ

|1 >

V |2 >= v ˆ

|3 >

V |3 >= v ˆ

|2 >

- Scrivere nella base dei tre stati le matrici rappresentanti ˆ H

e ˆ V - Calcolare le correzione alle energie al primo ordine non nullo in V .

5) 2 particelle identiche di massa m non interagenti sono sottoposte al potenziale armonico unidimen- sionale di frequenza caratteristica ω.

- Nel caso in cui a) le due particelle abbiano spin nullo, b) le due particelle abbiano spin 1/2 scrivere lo stato fondamentale ed il primo eccitato con le corrispettive energie e degenerazioni.

- Nel caso b) valutare l’effetto di un potenziale V = −λ~s

· ~s

con λ costante positiva. Valutare il nuovo stato fondamentale il primo eccitato con le corrispettive energie e degenerazioni.

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