Corso di laurea in Fisica II Parziale di Istituzioni di Fisica Teorica L’Aquila 7 Gennaio 2014 studente/ssa: matricola:

Corso di laurea in Fisica

II Parziale di Istituzioni di Fisica Teorica L’Aquila 7 Gennaio 2014

studente/ssa:

matricola:

1) L’operatore Hamiltoniano di due particelle `e il seguente

H = p

2m

+ p

2m

+ 1

2 k|r

− r

|

(v indica una quantit`a vettoriale tridimensionale).

- Si scriva l’Hamiltoniano nelle coordinate baricentrali e del moto relativo.

- Si determinino le osservabili compatibili che commutano con H.

- Per quali valori di energia ho la possibilit`a di stati legati? Quali sono le energi degli stati legati?

- Quale degenerazione `e rimossa dal seguente termine aggiunto all’ Hamiltoniano?

V = −gB · L

(L momento angolare del sistema rispetto al centro di massa).

2) Una particella di massa m `e confinata in un cubo di lato L (0 ≤ x ≤ L,0 ≤ y ≤ L,0 ≤ z ≤ L).

- Scrivere autostati ed autovalori dell’Hamiltoniano.

- Aggiungendo il termine pertubativo

V (x, y, z) = λδ(x − L

2 )δ(y − L

2 )δ(z − L

2 ) (λ > 0) - Quale `e la costante di sviluppo adimensionale per la teoria perturbativa?

- Determinare la correzione al primo ordine per l’energia dello stato fondamentale e del primo eccitato.

- Stimare in base al calcolo precedente il valore della costante di sviluppo adimensionale per il quale l’energia dello stato fondamentale uguaglia quella del primo eccitato e commentare il risultato ottenuto in termini della validit`a della teoria delle perturbazioni.

3) Lo stato di un atomo di idrogeno a riposo nel sistema di riferimento del laboratorio `e tale che una misura di energia fornisce con certezza il valore del primo stato eccitato E

.

- Scrivere lo stato pi` u generale che soddisfa tale requisito.

- Stimare su tale stato il valore minimo per il prodotto

< ∆L

>< ∆L

> .

1

4) L’operatore Hamiltoniano di due particelle identiche che si muovono in una dimensione `e il seguente

H = p

2m + p

2m + 1

2 k|x

− x

|

- Determinare le energie e gli autostati del sistema relativi allo stato fondamentale ed al primo eccitato nei due casi

a) bosoni di spin nullo b) fermioni di spin 1/2

- Nel caso b) si aggiunga il seguente termine all’Hamiltoniano:

V = −λs

· s

(λ > 0)

determinare i nuovi valori per l’energia dello stato fondamentale e del primo eccitato.

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