VERIFICA DI MATEMATICA – 2^E/F Liceo Sportivo – 27 ottobre 2017 Rispondere su un foglio protocollo e riconsegnare insieme al testo entro il 3 novembre 2017 NOME E COGNOME _____________________________________________________________
1 Stabilire se le seguenti affermazioni siano vere o false, motivando esaurientemente la risposta.
A) ∣x+1∣
1−x =−1 ha soluzione x=1 B) ∣5 x∣=5∣x∣ è vero per ogni x reale C) ∣x∣=−x non ha soluzioni D) ∣51−x∣=∣−x−49∣ ha soluzione x=1
2 Consideriamo le equazioni 2 x−k −7=0 ; 8 k−x =19
Determinare il valore di k per cui le soluzioni delle due equazioni sono uguali in valore assoluto, descrivendo dettagliatamente il procedimento seguito.
3 Risolvere la seguente equazione, descrivendo dettagliatamente il procedimento seguito:
∣x−3∣−2∣x+1∣=x−1
4 Risolvere la seguente disequazione, descrivendo dettagliatamente il procedimento seguito:
1
∣x−2∣<3 5 Risolvere la seguente disequazione: ∣x−1∣−∣2 x−3∣+4
∣x−2∣−3 ≥0
VALUTAZIONE
Argomenti: equazioni disequazioni di primo grado e fratte che contengono valori assoluti. Capitolo 10 volume1 del libro di testo.
Valutazione delle risposte.
2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara e leggibile.
1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione.
1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.
1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.
1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.
1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.
0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.
0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto.
0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi.
0,2 punti: risposta mancante, o insensata o slegata dal contesto.
I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http://www.lacella.it/profcecchi BLOG http://dottorcecchi.blogspot.it
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1 Stabilire se le seguenti affermazioni siano vere o false, motivando esaurientemente la risposta.
A) ∣x+1∣
1−x =−1 ha soluzione x=1 B) ∣5 x∣=5∣x∣ è vero per ogni x reale C) ∣x∣=−x non ha soluzioni D) ∣51−x∣=∣−x−49∣ ha soluzione x=1
A) ∣x+1∣
1−x =−1 ha soluzione x=1
L'affermazione è FALSA. Infatti se sostituisco il valore 1 al posto dell'incognita, otteniamo una divisione per zero, dunque l'espressione a sinistra del simbolo “=” non è nemmeno definita, in particolare l'uguaglianza non può essere vera.
B) ∣5 x∣=5∣x∣ è vero per ogni x reale
L'affermazione è VERA. Se x≥0 l'uguaglianza diventa semplicemente 5 x=5 x che è vera per ogni x reale. Se x<0 l'uguaglianza diventa −(5 x)=5(−x ) che è vera per ogni x reale.
C) ∣x∣=−x non ha soluzioni
L'affermazione è FALSA. Infatti se sostituisco x=0 otteniamo un'uguaglianza vera, è quindi abbiamo trovato una soluzione.
D) ∣51−x∣=∣−x−49∣ ha soluzione x=1
L'affermazione è VERA. Infatti se sostituisco x=1 otteniamo ∣50∣=∣−50∣ che è un'uguaglianza vera. Dunque x=1 è effettivamente soluzione dell'equazione.
2 Consideriamo le equazioni 2 x−k −7=0 ; 8 k−x=19
Determinare il valore di k per cui le soluzioni delle due equazioni sono uguali in valore assoluto, descrivendo dettagliatamente il procedimento seguito.
Risolviamo entrambe le equazioni rispetto a x.
2 x−k −7=0 ovvero 2 x=k +7 ovvero x=k +7 2 8 k−x=19 ovvero x=8 k−19 .
Ci viene chiesto di determinare k tale che ∣k +7∣
2 =∣8 k−19∣
Si tratta di un'equazione nell'incognita k. Dovremmo essere in grado di risolverla! Si osservi che gli argomenti dei valori assoluti si annullano rispettivamente per k =−7 e per k =19
8 . Caso k <−7 . L'equazione diventa −k−7
2 =−8 k +19 ovvero −k−7=−16 k+38 ovvero 15 k =45 ovvero k =3 . Non accettabile.
Caso −7≤k <19
8 . L'equazione diventa k +7
2 =−8 k +19 ovvero k+7=−16k +38 ovvero 17 k =31 ovvero k =31
17 . Accettabile.
Caso k >19
8 . L'equazione diventa k +7
2 =8 k −19 ovvero k +7=16 k−38 ovvero
−15 k =−45 ovvero k =3 . Accettabile.
Ricapitolando, abbiamo determinato due soluzioni: k =31
17∨k =3
Per chi ama metodi più veloci si poteva fare (in merito a questa situazione specifica) anche una considerazione molto semplice. Una volta impostata l'equazione con i valori assoluti
∣k +7∣
2 =∣8 k−19∣ potevamo semplicemente constatare che due numeri uguali in valore assoluto o sono uguali o sono opposti, dunque per l'equazione da risolvere possono avvenire due sole cose:
k +7
2 =8 k −19 che ci dà la soluzione k =3 k +7
2 =−8 k +19 che ci dà la soluzione k=31 17 Fine.
3 Risolvere la seguente equazione, descrivendo dettagliatamente il procedimento seguito:
∣x−3∣−2∣x+1∣=x−1
I due argomenti si annullano rispettivamente per x=3∨x=−1 . Distinguiamo tre casi.
Caso x<−1 . L'equazione diventa −x+3+2 x+2=x−1 ovvero 0=−6 impossibile.
Caso −1≤x<3 . L'equazione diventa −x+3−2 x−2= x−1 ovvero −4 x=−2 ovvero x=1
2 . Accettabile.
Caso x>3 . L'equazione diventa x−3−2 x−2=x−1 ovvero −2 x=4 ovvero x=−2 . Tale soluzione non è accettabile.
Ricapitolando abbiamo trovato come soluzione x=1 2
4 Risolvere la seguente disequazione, descrivendo dettagliatamente il procedimento seguito:
1
∣x−2∣<3
Diciamo subito che l'espressione a sinistra del simbolo “<” ha senso soltanto se x≠2 , altrimenti avremmo una divisione per zero.
Detto questo possiamo risolvere rapidamente tale disequazione utilizzando questo “trucchetto”: per il secondo principio di equivalenza la disequazione diventa
13<∣x−2∣ ovvero x−2>1
3∨x−2<−1
3 da cui ricaviamo facilmente x> 7
3∨x<5 3 .
Se però non ci si sente abbastanza sicuri e non ci viene in mente questo “trucchetto”, possiamo rimanere fedeli alle parole magiche “a me hanno insegnato così” e dividere in due casi.
Caso x>2 .
La disequazione diventa 1
x−2<3 ovvero 1<3 x−6 ovvero 7<3 x ovvero 7 3<x . Caso x<2 .
La disequazione diventa 1
2−x<3 ovvero 1<6−3 x ovvero −5<−3 x ovvero 5>3 x ovvero 5
3>x .
Concludendo: le soluzioni richieste sono x>7
3∨x<5 3
5 Risolvere la seguente disequazione: ∣x−1∣−∣2 x−3∣+4
∣x−2∣−3 ≥0
Vedo un denominatore con incognita, quindi discuto subito le condizioni di esistenza. Purtroppo in questo denominatore c'è anche lo scomodo valore assoluto.
Dobbiamo risolvere l'equazione ∣x−2∣−3=0 per poi escludere le soluzioni dal campo di esistenza dell'espressione algebrica che sta a sinistra del simbolo di disuguaglianza.
Caso x≥2 .
Il denominatore diventa x−5 . Ovviamente la soluzione dell'equazione x−5=0 è x=5 . Caso x<2 .
Il denominatore diventa −1−x . Ovviamente la soluzione dell'equazione −1−x=0 è x=−1 .
Conclusione: le condizioni di esistenza sono x≠5∧x≠−1 .
Adesso possiamo pensare alle soluzioni della disequazione. Sappiamo giù che l'argomento che troviamo a denominatore si annulla per x=2 ; gli altri due argomenti che si trovano al numeratore si annullano rispettivamente per x=1 e per x=3
2 . Suddividiamo in quattro casi (tenendo sempre conto del campo di esistenza).
Caso x<−1∨−1< x<1 .
La disequazione diventa 1−x−(3−2 x )+4
2−x−3 ≥0 ovvero x+2
−x−1≥0 . Il numeratore si annulla per x=−2 mentre sappiamo già che il denominatore si annulla per x=−1 . Possiamo schematizzare la situazione con una tabella.
x<−2 x=−2 −2< x<−1 x=−1 −1<x<1
x+2 - 0 + + +
−x−1 + + + 0 -
x+2
−x−1
- 0 + Non esiste -
In questo caso abbiamo come soluzioni per la disequazione −2≤x<−1 . Caso 1≤x<3
2 .
La disequazione diventa x−1−(3−2 x )+4
2−x−3 ≥0 ovvero 3 x
−x−1≥0 . Nei confini di questo caso sia il numeratore che il denominatore non si annullano. Il numeratore è sicuramente positivo mentre il denominatore è sicuramente negativo, dunque in questo caso non troviamo soluzioni per la disequazione.
Caso 3
2≤x<2 .
La disequazione diventa x−1−(2 x−3)+4
2−x−3 ≥0 ovvero −x+6
−x−1≥0 . Nei confini del caso in questione il numeratore non si annulla e così pure il denominatore. Il numeratore è positivo mentre il denominatore è negativo, dunque non troviamo soluzioni per la disequazione.
Caso 2≤x<5∨x>5
La disequazione diventa x−1−(2 x−3)+4
x−2−3 ≥0 ovvero −x+6
x−5 ≥0 . Il numeratore si annulla per x=6 mentre sappiamo già che il denominatore si annulla per x=5 . Schematizziamo la situazione in questa tabella.
x=2 2<x<5 x=5 5<x <6 x=6 x>6
−x+6 + + + + 0 -
x−5 - - 0 + + +
−x+6 x−5
- - Non esiste + 0 -
Grazie alla tabella ci è facile capire che altre soluzioni per la nostra disequazione sono 5< x≤6 . Conclusione: le soluzioni richieste sono tutti quei valori di x tali che −2≤x<−1∨5<x≤6
