Il limite n→∞lim 2  1 − cos7 n  p1 + n4αln  1 + 1 n2  vale Risp.: A : 0 se α ≤ 2

Analisi Matematica 1 11 Gennaio 2012 COMPITO 1

1. Le soluzioni in campo complesso del sistema (z³+ (7)³i = 0 ,

|z − |z|²+ zz + 8| ≤ ⁸_ie^2πi

 . sono date da

Risp.: A : 7(

√3

2 +₂ⁱ) B : 7(−

√3

2 +₂ⁱ). C : −7i D : non esistono soluzioni

2. Sia α ∈ R. Il limite

n→∞lim 2



1 − cos7 n



p1 + n^4αln

 1 + 1

n²



vale

Risp.: A : 0 se α ≤ 2, +∞ se α > 2 B : 0 se α > 2, 49 se α = 2, +∞ se α < 2 C : 0 se α < 2, 49 se α = 2, +∞ se α > 2 D : 0 se α < 2, 4 se α = 2, +∞ se α > 2

3. Dato β ∈ R, il limite

x→0lim

e^−x+ log(1 + x) − 1 x 1 − cos(2x)
7β

esiste finito se e solo se

Risp.: A : β < 1/7 B : β ≥ 1/7 C : β > 1/7 D : β ≤ 1/7

4. La serie numerica

+∞

X

n=1

 n

n + 1

n²

hn 2



eⁿ¹ − 1in

Risp.: A : converge B : diverge negativamente C : diverge positivamente D : oscilla

5. Data la funzione f : R → R tale che f (x) = 2x + cos x, il suo polinomio di Taylor del secondo ordine nel punto x = π vale

Risp.: A : [2π − 1] − 2(x − π) − ¹₂(x − π)² B : [2π − 1] + 2(x − π) + (x − π)² C : [2π − 1] + 2(x − π) + ¹₂(x − π)² D : [2π − 1] − 2(x − π) − (x − π)²

6. L’integrale

Z 8 2

dx 2√

x + x√ x vale

Risp.: A : ^√2

2[arctan 2 − ^π₄] B : ^√2

2arctan 2 C : 2 arctan 2 D : ^π₉

7. Sia ˜y la soluzione del problema di Cauchy

(y⁰+ 2_1+cos^{sin 2x}2xy = 0 , y(0) = 2².

Allora ˜y(π) vale

Risp.: A : 1 B : 0 C : 

4+π² 4

2

D : 2²

8. Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale definita da:

f (x) = 5 log x

1 + log²x + 3 arctan log x.

Delle seguenti affermazioni

(a) Il dominio di f `e {x > 0} (b) il dominio di f `e R\{0} (c) f non ammette asintoti orizzontali (d) f non ammette asintoti verticali (e) f `e positiva

le uniche corrette sono

Risp.: A : (b), (d), (e) B : (a), (d), (e) C : (a), (d) D : (a), (c)

9. Sia f la funzione dell’esercizio 8. Delle seguenti affermazioni

(a) f⁰(2) = _(1+log^(4−log2²2)²⁾² (b) x = e² `e un punto di massimo assoluto (c) x = e<sup>−2</sup> `e un punto di massimo assoluto (d) min f = −^3π₂ (e) f ammette almeno un punto di flesso

le uniche corrette sono

Risp.: A : (b), (e) B : (a), (b), (e) C : (a), (c), (d) D : (c), (d)

10. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.