Il limite n→∞lim n3  e1/n− 1 "s n2+ log  1 + 3 n  −p n2+ 1 # vale Risp.: A : 32 B

Analisi Matematica 1 6 settembre 2010 COMPITO 1

1. Le tre soluzioni in C dell’equazione

2(z + z) − 3Im(z) = z²− 3|z|² sono

Risp.: A : una reale e due immaginarie pure B : due reali ed una immaginaria pura C : tutte reali D : tutte immaginarie pure

2. Il limite

n→∞lim n³



e^1/n− 1

"s

n²+ log

 1 + 3

n



−p n²+ 1

#

vale

Risp.: A : ³₂ B : +∞ C : −∞ D : 0

3. Sia α ≥ 7. Allora la serie

+∞

X

n=1



e^1/n2 − 1 + (α − 7) sin1 n



converge se e solo se

Risp.: A : α = 7 B : α > 7 C : α ≥ 7 D : per nessun valore di α

4. Il limite

x→0lim 5

Z x 0

(e^−t2 − (cos t)²)dt x⁵

vale (suggerimento: usare il teorema di De l’Hˆopital) Risp.: A : +∞ B : ¹₅ C : ¹₆ D : ¹₄

5. Sia f : R \ {0} → R data da f (x) = ^{cosx−cosh x}_x2 . Il suo grafico approssimativo in un intorno dell’origine `e dato da (suggerimento: usare lo sviluppo di Taylor)

Risp.: A : B : C : D :

6. Una primitiva della funzione f : R → R data da f (x) = e^xsin x `e data da

Risp.: A : ^e₂^x( sin x + cos x) B : 2e^x( sin x − cos x) C : 2e^x( sin x + cos x) D : ^e₂^x( sin x − cos x)

7. Sia y(x) la soluzione del problema di Cauchy

(y^′ = e^x−ycos(e^x) y(log π) = log 3 . Allora y(1) vale

Risp.: A : cos e B : ln(sin e + 3) C : ln(sin e + π − sin 3) D : ln(e cos e)

8. L’integrale improprio

Z +∞

1

log(1 + t) 3t² dt vale

Risp.: A : +∞ B : ^{2 ln 2}₃ C : ²₃ D : 0

9. Sia f : R → R la funzione data da

f(x) =







1

1 + x²log |x| se x 6= 0

1 se x = 0

Delle seguenti affermazioni

(a) f `e pari (b) f `e continua (c) f `e monotona decrescente su [0, +∞[ (d) f^′(1) = 1 (e) f^′(1) = −1

le uniche corrette sono

Risp.: A : (a), (c), (d) B : (a), (b), (c), (e) C : (a), (b), (e) D : (b), (c), (e)

10. Il grafico approssimativo della funzione f definita nell’esercizio precedente `e data da

Risp.: A :^{-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5}

-3 -2 -1 1 2 3

B :^{-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5}

-3 -2 -1 1 2 3

C :^{-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5}

-3 -2 -1 1 2 3

D :^{-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5}

-3 -2 -1 1 2 3