QUADERNO 1 E – 2019/2020 Quaderno n.8: PRODOTTI NOTEVOLI E DIVISIONE TEOREMA (Quadrato del binomio) Siano

(1)

QUADERNO 1 E – 2019/2020

Quaderno n.8: PRODOTTI NOTEVOLI E DIVISIONE TEOREMA (Quadrato del binomio)

Siano

A , B∈ℝ

allora

( A+ B)

²

= A

²

+2 A B+B

² [pag.355 vol.Algebra 1]

Dimostrazione:

Eseguiamo il calcolo, applicando la definizione di potenza ad esponente intero e quello che abbiamo imparato sul calcolo letterale:

( A+ B)

²

=( A+ B)( A+B)= A

²

+ A B+ A B+ B

²

= A

²

+2 A B+ B

²

OSSERVAZIONE

Le formule dei prodotti notevoli ci sono utili per alleggerire il calcolo letterale. Si usa utilizzare delle lettere maiuscole per le incognite perché nella “pratica” alle lettere maiuscoli A e B sostituiremo monomi o addirittura polinomi.

I prodotti notevoli ci saranno utili anche in situazioni in cui risulta difficile, se non impossibile, rappresentare i numeri in forme comode, come per i numeri irrazionali o i complessi.

COROLLARIO

Siano

A , B∈ℝ

^allora

( A−B)

²

= A

²

−2 A B+ B

²

Dimostrazione:

Posso eseguire il calcolo di nuovo, oppure utilizzare il teorema precedente in questo modo:

[ A−B]

²

=[ A+(−B)]

²

= A

²

+2 A(−B)+(−B)

²

=A

²

−2 A B+B

² TEOREMA (quadrato del trinomio)

Siano

A , B ,C ∈ℝ

^allora

( A+ B+C)

²

= A

²

+ B

²

+C

²

+2 A B+2 A C+2 BC

[pag.356 vol.Algebra 1]

Dimostrazione:

Si esegue il calcolo:

( A+ B+C )

²

=( A+B+C)( A+ B+C )=...

...= A

²

+ A B+ AC + A B+B

²

+B C+ A C+ BC +C

²

=...

...= A

²

+B

²

+C

²

+2 A B+2 AC +2 B C

TEOREMA (somma per differenza)

Siano

A , B∈ℝ

allora

( A+ B)(A−B)= A

²

−B

²

Dimostrazione:

(2)

( A+ B)(A−B)= A

²

−A B+ A B−B

²

= A

²

−B

² TEOREMA (cubo del binomio)

Siano

A , B∈ℝ

^allora

( A+ B)

³

= A

³

+3 A

²

B+3 A B

²

+B

³

Dimostrazione:

( A+ B)

³

=( A+B)( A+ B)

²

=( A+ B)( A

²

+2 A B+B

²

)=...

...= A

³

+2 A

²

B+ A B

²

+ A

²

B+2 A B

²

+ B

³

=...

...= A

³

+3 A

²

B+3 A B

²

+ B

³ COROLLARIO

Siano

A , B∈ℝ

^allora

( A−B)

³

= A

³

−3 A

²

B+3 A B

²

−B

³

Dimostrazione:

Si può eseguire il calcolo da capo, oppure si può applicare il teorema precedente:

[ A−B]

³

=[ A+(−B)]

³

= A

³

+3 A

²

(−B)+3 A(−B)

²

+(−B)

³

=...

...= A

³

−3 A

²

B+3 A B

²

−B

³ OSSERVAZIONE

Si può dare anche un'interpretazione geometrica dei prodotti notevoli e questa osservazione potrebbe aiutare la memorizzazione delle formule, rendendole in qualche modo visibili.

( A+ B)

²

= A

²

+2 A B+B

²

( A+ B+C)

²

= A

²

+ B

²

+C

²

+2 A B+2 A C+2 BC

(3)

( A+ B)(A−B)= A

²

−B

²

TEOREMA: IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA

Esiste un metodo per determinare lo sviluppo della potenza del binomio

( A+ B)

ⁿ per qualunque numero naturale n.

Scrivere un enunciato vero e proprio sarebbe troppo complicato, qui ci limitiamo a descrivere il metodo.

Consideriamo due numeri

A , B∈ℝ

^{tali che}

A≠0∨B≠0

Osserviamo che banalmente:

( A+B)

⁰

=1 ( A+ B)

¹

= A+ B

E poi abbiamo dimostrato che:

( A+ B)

²

= A

²

+2 A B+ B

²

( A+ B)

³

= A

³

+3 A

²

B+3 A B

²

+B

³

Si osservi che gli sviluppi sono sempre polinomi omogenei di grado pari alla potenza del binomio.

Si può dimostrare in generale, ovvero che la potenza

( A+ B)

ⁿ avrà uno sviluppo fatto da monomi di grado n. Per conoscere anche i suoi coefficienti useremo il “triangolo di Tartaglia”

(4)

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 …

La riga composta dal solo 1 è la riga 0 che corrisponde alla potenza con esponente 0.

Notate che alla riga 1 ci sono i coefficienti della potenza con esponente 1.

Notate anche che ogni riga si compone con 1 all'inizio e alla fine e gli altri elementi si ottengono addizionando gli elementi più vicini della riga sopra.

Dunque alla riga 4 dovrebbero esserci i coefficienti della potenza con esponente 4, che quindi avrebbe questo sviluppo:

( A+ B)

⁴

= A

⁴

+4 A

³

B+6 A

²

B

²

+4 A B

³

+B

⁴ Possiamo verificarlo col calcolo letterale: è proprio così.

Analogamente:

( A+B)

⁵

=A

⁵

+5 A

⁴

B+10 A

³

B

²

+10 A

²

B

³

+5 A B

⁴

+ B

⁵

( A+ B)

⁶

= A

⁶

+6 A

⁵

B+15 A

⁴

B

²

+20 A

³

B

³

+15 A

²

B

⁴

+6 A B

⁵

+B

⁶

( A+ B)

⁷

= A

⁷

+7 A

⁶

B+21 A

⁵

B

²

+35 A

⁴

B

³

+35 A

³

B

⁴

+21 A

²

B

⁵

+7 A B

⁶

+B

⁷

...

TEOREMA: ALGORITMO DELLA DIVISIONE TRA POLINOMI

Anche in questo caso evitiamo di dare un vero e proprio enunciato ma ci limitiamo a descrivere la procedura.

Vogliamo dividere un polinomio P di grado n per un polinomio D di grado m.

Deve essere

n>m

^.

Adatteremo l'algoritmo della divisione tra numeri ai polinomi.

A sinistra scriviamo il polinomio P in forma normale con i monomi ordinati dal grado più alto al grado più basso (lasciando lo spazio per i gradi eventualmente mancanti).

A destra scriviamo il polinomio D in forma normale e con i monomi ordinati dal grado più alto a quello più basso.

Primo passo: eseguiamo la divisione tra il primo monomio di P e il primo monomio di D e scriviamo il risultato a destra.

Secondo passo: moltiplichiamo tale risultato per tutto il monomio D e scriviamo il prodotto ottenuto sotto il polinomio P, cambiando il segno.

Terzo passo: si esegue l'addizione per colonna, ottenendo un nuovo polinomio P1.

Si ripetono questi tre passi per ottenere P2, poi P3 e via così, fino ad ottenere un polinomio R di grado inferiore a D.

(5)

A questo punto il polinomio R sarà il resto della divisione, mentre il polinomio Q che leggo a destra, sotto il polinomio D sarà il quoziente Q.

OSSERVAZIONE

Si capisce meglio facendo gli esercizi.

OSSERVAZIONE

Dalla divisione tra numeri interi, importiamo anche tutte le definizioni e le proprietà, per esempio se il resto è identicamente 0, allora P è divisibile per D.

TEOREMA DI RUFFINI

Sia P(x) un polinomio di grado n con una sola incognita x.

Se esiste un valore reale a tale che P(a)=0, allora il polinomio P(x) è divisibile per il binomio x-a.

TEOREMA (metodo di Ruffini)

Evitiamo un vero e proprio enunciato ma diamo solo la descrizione della procedura.

Vogliamo dividere il polinomio P(x) per il polinomio x-a.

P(x) deve essere in forma normale e con i monomi ordinati per grado decrescente.

In una tabella metteremo nella riga in alto i coefficienti di P(x), a sinistra a ed eseguiremo addizioni in colonna da sinistra verso destra, moltiplicando ogni risultato per a e scrivendolo nella colonna accanto.

Nella riga in basso leggeremo i coefficienti del polinomio quoziente, che sarà di grado inferiore di 1 rispetto a P(x). Il numero in basso a destra sarà il resto della divisione.

OSSERVAZIONE

Si capisce meglio facendo gli esercizi.

ESERCIZIO n.519 pag.410

Calcola i seguenti quadrati applicando la formula del quadrato del binomio.

( x+3)

²

=( x)

²

+2( x)(3)+(3)

²

=x

²

+6 x+9 (− x−3)

²

=(−x)

²

+2(−x)(−3)+(−3)

²

= x

²

+6 x+9

( x−3)

²

=( x)

²

+2(x)(−3)+(−3)

²

= x

²

−6 x+9 (−x+3)

²

=(− x)

²

+2(−x)(3)+(3)

²

=x

²

−6 x+9

( A+ B)

²

= A

²

+2 A B+B

²

Calcola i seguenti quadrati applicando la formula del quadrato del binomio.

(2−x

⁴

)

²

=( 2)

²

+2(2)(− x

⁴

)

²

+(− x

⁴

)

²

=4−4 x

⁴

+x

⁸

(1− x

⁶

)

²

=(1)

²

+2(1)(− x

⁶

)+(− x

⁶

)

²

=1−2 x

⁶

+ x

¹²

( x

²

−3 x y)

²

=( x

²

)

²

+2(x

²

)(−3 x y)+(−3 x y)

²

= x

⁴

−6 x

³

y+9 x

²

y

²

( x

³

−2 x y

²

)

²

=( x

³

)

²

+2(x

³

)(−2 x y

²

)+(−2 x y

²

)

²

=x

⁶

−4 x

⁴

y

²

+4 x

²

y

⁴

Calcola i seguenti prodotti riconducibili a quadrati di binomi.

(a−a

²

)(a

²

−a)=−(a

²

−a)(a

²

−a)=−(a

²

−a)

²

=−( a

⁴

−2 a

³

+a

²

)=−a

⁴

+2a

³

−a

²

( 2 x

²

−3 y

³

)(−3 y

³

+2 x

²

)=(2 x

²

−3 y

³

)

²

=4 x

⁴

−12 x

²

y

³

+9 y

⁶

(6)

Calcola i seguenti prodotti riconducibili a quadrati di binomi.

( x

ⁿ

−2)(2−x

ⁿ

)=−( x

ⁿ

−2)

²

=− x

^{2 n}

+4 x

ⁿ

−4

( x

ⁿ⁺¹

+x

ⁿ

)(− x

ⁿ

−x

ⁿ⁺¹

)=−( x

ⁿ

+x

ⁿ⁺¹

)

²

=− x

^{2 n}

−2 x

^{2 n+1}

−x

^{2 n+2} ESERCIZIO n.560 pag.412

Semplifica le seguenti espressioni

(1−2a)

²

−(1+2 a)

²

+(4 a+1)

²

=...

...=1−4 a+4 a

²

−1−4 a−4 a

²

+16 a

²

+8 a+1=16 a

²

+1 (1+x)

²

−(1−x)

²

+(2 x−1)

²

=...

...=1+2 x+ x

²

− 1+2 x− x

²

+4 x

²

−4 x+1=4 x

²

+1

[x

⁴

(3 x+4)

²

:(−2 x)

³

+2 x]:(−3 x)

²

−x (− 1 2 )

3

+ 1 3 =...

...=[−x

⁴

(9 x

²

+24 x+16):(8 x

³

)+ 2 x ]:(9 x

²

)+ 1 8 x+ 1

3 =...

...=[− 9

8 x

³

−3 x

²

−2 x+2 x]:(9 x

²

)+ 1 8 x+ 1

3 =...

...=−1 8 x−1

3 + 1 8 x+ 1

3 =0

Semplifica la seguente espressione [(5

6a+1 2b)

2

+(2 3a−1

6b)

2

−(3 2a+1

3b)

2

+(5

3a+b)(2 3a+4

3b)]

2

−b²(3 2a+5

2b)

2

=...

...=[25 36a²+5

6a b+1 4b²+4

9a²−2

9a b+ 1 36b²−9

4a²−a b−1

9b²+10 9 a²+2

3ab+20 9 ab+4

3b²]

2

+...

...−b²(9

4a²+15

2 a b+25

4 b²)=...

...=[25+16−81+40

36 a²+15−4−18+12+40

18 ab+9+1−4+48

36 b²]

2

−9

4a²b²−15

2 a b³−25 4 b⁴=...

...=[5

2a b+3 2b²]

2

−9

4a²b²−15

2 a b³−25 4 b⁴=...

...=25

4 a²b²+15

2 a b³+9 4b⁴−9

4a²b²−15

2 a b³−25

4 b⁴=4 a²b²−4 b⁴ ESERCIZIO n.580 pag.413

Semplifica le seguente espressione

( x

ⁿ

+1)

²

−( x

ⁿ

−1)

²

+( x

ⁿ

−1)(1−x

ⁿ

)=...

...= x

^{2 n}

+2 x

ⁿ

+1−x

^{2 n}

+2 x

ⁿ

−1−x

^{2 n}

+2 x

ⁿ

−1=− x

^{2 n}

+6 x

ⁿ

−1

(7)

Calcola i seguenti quadrati applicando la formula del quadrato del trinomio

( a+b−c)

²

=...

...=(a)

²

+(b)

²

+(−c)

²

+2(a)(b)+2(b)(−c)+2(a)(−c)=...

...=a

²

+b

²

+c

²

+2a b−2 bc−2 a c ( a−b+c)

²

=...

...=(a)

²

+(−b)

²

+(c)

²

+2(a)(−b)+2(−b)(c)+2(a)(c)=...

...=a

²

+b

²

+c

²

−2a b−2 bc+2 a c

( A+ B+C)

²

= A

²

+ B

²

+C

²

+2 A B+2 A C+2 BC

Calcola il seguente quadrato applicando la formula del quadrato del trinomio

(0,1 x

²

+ x y−0,2)

²

=...

...=(0,1 x

²

)

²

+( x y)

²

+(−0,2)

²

+ 2(0,1 x

²

)( x y)+2(x y)(−0,2)+2(0,1 x

²

)(−0,2)=...

...=0,01 x

⁴

+ x

²

y

²

+0,04+0,2 x

³

y−0,4 x y−0,04 x

² ESERCIZIO n.595 pag.414

Calcola i seguenti prodotti

(a−b+c)(b−c−a)=...

...=−(a−b+c)

²

=− a

²

−b

²

−c

²

−2(a)(−b)−2(−b)(c)−2(a)(c)=...

...=−a

²

−b

²

−c

²

+2 a b+2 b c−2a c (a+b−c)(b−c+a)=...

...=(a+b−c)

²

=a

²

+b

²

+c

²

+2(a)(b)+2(b)(−c)+2(a)(−c)=...

...=a

²

+b

²

+c

²

+2a b−2 b c−2a c

ESERCIZIO n.601 pag.414 Semplica la seguente espressione

( x

³

+ x

²

+ x)

²

− x

³

( x

³

+ x+2 x

²

)−(x

²

+ x)

²

=...

...= x

⁶

+ x

⁴

+ x

²

+2 x

⁵

+2 x

³

+2 x

⁴

−x

⁶

−x

⁴

−2 x

⁵

−x

⁴

−2 x

³

− x

²

= x

⁴ ESERCIZIO n.606 pag.414

Semplifica la seguente espressione

(3a

²

+2a b−b

²

)

²

−(2 a

²

−2 a b+b

²

)

²

− 5 a

²

( a−b)(a+2 b)=...

...=9 a

⁴

+4 a

²

b

²

+b

⁴

+12 a

³

b−6 a

²

b

²

−4 a b

³

+...

...−(4 a

⁴

+4 a

²

b

²

+b

⁴

+8 a

³

b+4 a

²

b

²

−4 a b

³

)+...

...−5a

²

(a

²

+2 a b−a b−2 b

²

)=...

...=9 a

⁴

+4 a

²

b

²

+b

⁴

+12 a

³

b−6 a

²

b

²

−4 a b

³

+...

...−4 a

⁴

−4 a

²

b

²

−b

⁴

+8 a

³

b−4 a

²

b

²

+ 4 a b

³

+...

...−5 a

⁴

−10 a

³

b+5 a

³

b+10 a

²

b

²

=15 a

³

b

(8)

Calcola i seguenti prodotti applicando il prodotto notevole detto “somma per differenza”.

(1+ x)(1−x)=(1)

²

−( x)

²

=1−x

²

( x+2 y)(x−2 y)=( x)

²

−(2 y)

²

= x

²

−4 y

²

(3 a+1)(3 a−1)=(3 a)

²

−(1)

²

=9 a

²

−1

( A+ B)(A−B)= A

²

−B

²

(a

ⁿ

+1)(a

ⁿ

−1)=(a

ⁿ

)

²

−(1)

²

=a

^{2 n}

−1 (a

^{2 n}

+3)(a

^{2 n}

−3)=(a

^{2 n}

)

²

−(3)

²

=a

^{4 n}

−9 (1−x

^{3 n}

)(1+ x

^{3 n}

)=(1)

²

−( x

^{3 n}

)

²

=1−x

^{6 n} ESERCIZIO n.620 pag.415

( 2

¹¹

−2

¹⁰

)( 2

¹¹

−2

¹⁰

)=( 2

¹¹

)

²

−( 2

¹⁰

)

²

=2

²²

−2

²⁰

=2

²⁰

(2

²

−1)=2

²⁰

( 4−1)=3×2

²⁰

(2

¹³

−2

¹⁰

)( 2

¹³

+2

¹⁰

)=( 2

¹³

)

²

−(2

¹⁰

)

²

=2

²⁶

−2

²⁰

=2

²⁰

( 2

⁶

− 1)=2

²⁰

(64−1)=63×2

²⁰

Per la cronaca:

3×2

²⁰

=3145728

^;

63×2

²⁰

=66060288

( 1

4 +x)(−1

4 + x)=( x)

²

−( 1 4 )

2

=x

²

− 1 16 (− 2

3 x+ 3 2 y)( 3

2 y− 2

3 x)=( 3 2 y)

2

−( 2 3 x)

2

= 9

4 y

²

− 4 9 x

²

( x y

10 −1)(− x y

10 −1)=−( x y

10 −1)( x y

10 +1)=−[( x y 10 )

2

−(1)

²

]=−[ x

²

y

²

100 −1]=1− x

²

y

²

100

Calcola il seguente prodotto applicando il prodotto notevole detto “somma per differenza”.

(a+b)(a−b)(a

²

+ b

²

)(a

⁴

+b

⁴

)= ...

...=(a

²

−b

²

)(a

²

+b

²

)( a

⁴

+b

⁴

)=...

...=(a

⁴

−b

⁴

)( a

⁴

+b

⁴

)= a

⁸

−b

⁸ ESERCIZIO n.649 pag.418

Semplifica la seguente espressione utilizzando i prodotti notevoli.

(3a

³

b

²

− 6 a

⁴

b

³

) :(−3 a

³

b

²

)(1+2 a b)=...

...=(−1+2 a b)(1+2 a b)=4 a

²

b

²

−1

Semplifica la seguente espressione utilizzando i prodotti notevoli

(9)

2 x

²

( x+1)−[(4 x+3)(−4 x+3)+(3 x+1)(3 x−1)]+ x [2( x+7)−(2 x+7)(x+2)]=...

...=2 x

³

+2 x

²

−[9−16 x

²

+9 x

²

−1]+ x [2 x+14−2 x

²

−4 x−7 x−14]=...

...=2 x

³

+2 x

²

−[8−7 x

²

]+ x[−9 x−2 x

²

]=...

2 x

³

+2 x

²

−8+7 x

²

−9 x

²

−2 x

³

=−8

Calcola il seguente prodotto riconducendolo al prodotto notevole detto “somma per differenza”.

(5 x

²

−2 x y+3 y

²

)(−5 x

²

−2 x y−3 y

²

)=...

...=−(5 x

²

−2 x y+3 y

²

)(5 x

²

+2 x y+3 y

²

)= ...

...=−((5 x

²

+3 y

²

)−2 x y)((5 x

²

+3 y

²

)+ 2 x y)=...

...=−(5 x

²

+3 y

²

)

²

+4 x

²

y

²

=...

...=−25 x

⁴

−30 x

²

y

²

−9 y

⁴

+4 x

²

y

²

=−25 x

⁴

−26 x

²

y

²

− 9 y

⁴ ESERCIZIO n.672 pag.418

Calcola il seguente prodotto riconducendolo al prodotto notevole detto “somma per differenza”.

(1+x−x

²

)( x−1+x

²

)=...

...=(x+(1− x

²

))( x−(1−x

²

))=...

...= x

²

−(1−x

²

)

²

=...

...= x

²

−1+2 x

²

− x

⁴

=3 x

²

−1−x

⁴ ESERCIZIO n.675 pag. 419

( x

²

+x+1)(x

²

−x+1)− x

²

( x

²

+1)=...

...=(x

²

+1)

²

− x

²

− x

⁴

−x

²

=...

...=x

⁴

+2 x

²

+1−2 x

²

−x

⁴

=1

Inizialmente ho considerato il primo prodotto come il prodotto della somma

( x

²

+1)+ x

^{per la} differenza

( x

²

+1)−x

e applicato il relativo prodotto notevole.

Calcola il cubo dei seguenti binomi applicando il prodotto notevole del cubo del binomio.

(− x

²

−2)

³

=(− x

²

)

³

+3(−x

²

)

²

(− 2)+3(−x

²

)(−2)

²

+(−2)

³

=...

...=−x

⁶

−6 x

⁴

−12 x

²

−8

(2 x+3 y)

³

=( 2 x)

³

+3(2 x)

²

(3 y)+3(2 x)(3 y)

²

+(3 y)

³

=...

...=8 x

³

+36 x

²

y+54 x y

²

+27 y

³

( A+ B)

³

= A

³

+3 A

²

B+3 A B

²

+B

³

ESERCIZIO n.696 pag.420 Calcola le seguenti espressioni

(10)

[( x

²

+1)

³

(x

²

−1)]

³ ;

[( a

³

+1)(a

³

−1)]

³

Attenzione! Qui c'è un errore di stampa, la soluzione riportata sul libro si riferisce a questa espressione

[(x

²

+1)(x

²

−1)]

³

=[ x

⁴

−1]

³

= x

¹²

−3 x

⁸

+3 x

⁴

−1

Invece l'espressione scritta ha un esponente 3 forse sfuggito nella digitazione, che rende le cose più difficili. Un modo di calcolarlo potrebbe essere questo:

[( x

²

+1)

³

( x

²

−1)]

³

=[( x

²

+1)

²

( x

²

+1)(x

²

−1)]

³

=[( x

²

+1)

²

( x

⁴

−1)]

³

=...

...=( x

²

+1)

⁶

( x

⁴

−1)

³

=...

...=( x

¹²

+6 x

¹⁰

+15 x

⁸

+20 x

⁶

+15 x

⁴

+6 x

²

+1)( x

¹²

−3 x

⁸

+3 x

⁴

−1)=...

Ho applicato il triangolo di Tartaglia per sviluppare la sesta potenza del binomio, il resto del conto ve lo fate, se ne avete voglia...

L'altra espressione non dà problemi particolari:

[(a

³

+1)(a

³

− 1)]

³

=[ a

⁶

− 1]

³

=a

¹⁸

−3 a

¹²

+3 a

⁶

−1

ESERCIZIO n. 702 pag.420 Calcola le seguenti espressioni.

Nell'esempio svolto del libro, viene utilizzato il prodotto notevole “cubo del binomio”, e questo ha senso, considerato che si tratta di esercizi sui prodotti notevoli:

( 3

¹³

−3

¹²

)

³

=( 3

¹³

)

³

+3(3

¹³

)

²

(−3

¹²

)+3(3

¹³

)(−3

¹²

)

²

+(−3

¹²

)

³

=...

...=3

³⁹

−3

³⁹

+3

³⁸

−3

³⁶

=( 3

²

−1)3

³⁶

=8×3

³⁶

=1200757082375992968 (3

³

+3

⁴

)

³

=(3

³

)

³

+3(3

³

)

²

( 3

⁴

)+3(3

³

)(3

⁴

)

²

+(3

⁴

)

³

=...

...=3

⁹

+3

¹¹

+3

¹²

+3

¹²

=3

⁹

(1+3

²

+3

³

+3

³

)=3

⁹

×64=1259712 (3

⁴

+3

⁵

)

³

=(3

⁴

)

³

+3(3

⁴

)

²

( 3

⁵

)+ 3(3

⁴

)( 3

⁵

)

²

+(3

⁵

)

³

=...

...=3

¹²

+3

¹⁴

+3

¹⁵

+3

¹⁵

=3

¹²

(1+3

²

+3

³

+3

³

)=3

¹²

× 64=34012224

Questo esercizio però presto il fianco al tipico studente polemico che dice: “ma non era meglio fare così?”

(3

¹³

−3

¹²

)

³

=[3

¹²

(3−1)]

³

=8×3

³⁶

=1200757082375992968 ( 3

³

+3

⁴

)

³

=[3

³

(1+3)]

³

=3

⁹

×64=1259712

(3

⁴

+3

⁵

)

³

=[3

⁴

(3+1)]

³

=3

¹²

×64=34012224

Ed in effetti è molto più comodo ed elegante il secondo calcolo, che però non usa il prodotto notevole sul quale ci si voleva esercitare.

ESERCIZIO n.712 pag.421 Semplifica la seguente espressione

( a+3)

³

+6a (a+3)(a−3)+(a−3)

³

=...

...=a

³

+9 a

²

+27 a+27+6 a(a

²

−9)+a

³

−9 a

²

+27 a−27=...

...=2 a

³

+54 a+6 a

³

−54 a=8 a

³

ESERCIZIO n.717 pag.421 Semplifica la seguente espressione.

(11)

(2 b−3 a)

³

+8(2 a−b)

²

(a−b)−5 a(a−b)

²

=...

...=8 b

³

−36 a b

²

+54 a

²

b−27 a

³

+(4 a

²

−4 a b+b

²

)(8 a−8b)−5 a(a

²

−2a b+b

²

)=...

...=8 b

³

−36 a b

²

+54 a

²

b−27 a

³

+32 a

³

−32 a

²

b−32 a

²

b+32 a b

²

+8 a b

²

−8 b

³

+...

...−5 a

³

+10 a

²

b−5 a b

²

=−a b

² ESERCIZIO n.732 pag.422

Calcola le seguenti potenze, tenendo presente il triangolo di Tartaglia.

( x+ y)

⁴

=x

⁴

+4 x

³

y+6 x

²

y

²

+4 x y

³

+y

⁴

( x−y)

⁴

=( x+(− y))

⁴

= x

⁴

−4 x

³

y+6 x

²

y

²

−4 x y

³

+ y

⁴

Il triangolo di Tartaglia mi fornisce i coefficienti: 1,4,6,4,1. Tali coefficienti si riferiscono ai monomi di un polinomio omogeneo di quarto grado ordinato in modo crescente per A e in modo decrescente per B:

( A+ B)

⁴

=1 A

⁴

+4 A

³

B+6 A

²

B

²

+4 A B

³

+1 B

⁴

Calcola le seguenti potenze, tenendo presente il triangolo di Tartaglia.

( x

³

+2)

⁵

= x

¹⁵

+10 x

¹²

+40 x

⁹

+80 x

⁶

+80 x

³

+32

(a

²

− x

³

)

⁵

=( a

²

+(−x

³

))

⁵

=a

¹⁰

− 5 a

⁸

x

³

+10 a

⁶

x

⁶

−10 a

⁴

x

⁹

+5 a

²

x

¹²

− x

¹⁵

Il triangolo di Tartaglia mi fornisce i coefficienti: 1,5,10,10,5,1. Tali coefficienti si riferiscono ai monomi di un polinomio omogeneo di quinto grado ordinato in modo crescente per A e in modo decrescente per B:

( A+ B)

⁵

=1 A

⁵

+5 A

⁴

B+10 A

³

B

²

+10 A

²

B

³

+5 A B

⁴

+1 B

⁵

Qual è il polinomio dividendo sapendo che

• il divisore è

x−2

,

• il quoziente

x

²

+1

• e il resto è 5?

In generale la terminologia della divisione con resto ci dice che data l'uguaglianza

a=qb+r

con

r<b

chiamiamo a dividendo; b divisore; q quoziente; r resto .

Dunque per determinare il polinomio dividendo dobbiamo semplicemente eseguire questo calcolo:

( x−2)(x

²

+1)+5= x

³

+ x−2 x

²

−2+5= x

³

−2 x

²

+ x+3

Determina quoziente e resto della seguente divisione applicando la regola generale.

(12)

(4 x

³

+4 x

²

−3 x+4):(2 x+1)

4 x

³

+4 x

²

−3 x +4 2 x+1

−4 x

³

−2 x

²

//

+2 x

²

^{−3 x} ⁺⁴ 2 x

²

+x −2

−2 x

²

− x

//

−4 x +4

+4 x +2

//

+6

Quindi il quoziente è

2 x

²

+x−2

mentre il resto è 6.

(2 x

⁴

+5 x

³

+4 x

²

+ x−1):(2 x+1)

2 x

⁴

+5 x

³

+4 x

²

+x −1 2 x+1

−2 x

⁴

−x

³

//

+4 x

³

+4 x

²

+x −1 x

³

+2 x

²

+x

−4 x

³

−2 x

²

//

+2 x

²

^+x ⁻¹

−2 x

²

−x

// //

−1

Dunque il quoziente è

x

³

+2 x

²

+x

e il resto è

−1

^. ESERCIZIO n.771 pag.424

( x

⁶

−1):(x

⁴

+ x

²

+1)

−x

⁶

− 1 _x

⁴

_+x

²

+1

−x

⁶

−x

⁴

−x

²

//

−x

⁴

−x

²

− 1

+x

⁴

+x

²

+ 1 x

²

−1

// // //

Dunque

x

⁶

−1

è divisibile per

x

⁴

+ x

²

+1

visto che il resto è 0. Il quoziente è

x

²

−1

(13)

(a

^{4 n}

+2 a

^{3 n}

+ a

^{2 n}

):(a

ⁿ

+1)

Non lasciamoci spaventare dal parametro n.

Il quoziente sarà di grado 3n e mi fermerò quando avrò un resto di grado inferiore a n, quindi posso trattare questa divisione come quella di un polinomio di quarto grado diviso un polinomio di primo grado.

a

^{4 n}

+2 a

^{3 n}

+a

^{2 n}

a

ⁿ

+1

−a

^{4 n}

−a

^{3 n}

//

a

^{3 n}

+a

^{2 n}

−a

^{3 n}

−a

^{2 n}

a

^{3 n}

+a

^{2 n}

// //

a

^{3 n}

+a

^{2 n} e il resto è 0.

Esegui la seguente divisione ordinando i polinomi secondo le potenze decrescenti prima di una lettera e poi dell’altra.

(a

²

+3 x

²

+7 a x):(a+ x)

Questo esercizio non era nell'elenco della lezione per casa, ma mi sono reso conto che era opportuno inserirlo per mostrare come quoziente e resto possono cambiare a seconda della lettera che consideriamo come variabile, ovvero a seconda della lettera rispetto alla quale eseguiamo la divisione. Cominciamo ad eseguirla rispetto alla x.

3 x

²

+7a x +a

²

x+a

−3 x

²

−3a x

//

4 a x _+a

²

3 x +4 a

−4 a x −4 a

²

//

−3a

²

Otteniamo il quoziente

3 x+4 a

e il resto

−3a

²

Adesso eseguiamo la divisione rispetto ad a.

a

²

^{+7a x} +3 x

²

a+ x

(14)

−a

²

^{−a x}

//

6 a x +3 x

²

a +6 x

− 6 a x −6 x

²

//

−3 x

²

Otteniamo il quoziente

a+6 x

e il resto

−3 x

²

Esegui la seguente divisione ordinando i polinomi secondo le potenze decrescenti prima di una lettera e poi dell’altra.

(b

³

−4 a b

²

−2 a

³

+6 a

²

b):(a

²

+b

²

−2 ab)

Questo esercizio non era esattamente nella lista dei “compiti a casa”, o meglio, nella lista c'era un inesistente n.789 pag.427, intendendo in realtà il n.799. Visto che qualcuno potrebbe averlo eseguito lo eseguo anch'io in questo quaderno.

Cominciamo con la divisione rispetto all'incognita a.

−2 a

³

+6a

²

b −4 a b

²

+b

³

a

²

−2 a b +b

²

+2 a

³

−4 a

²

b +2 a b

²

//

2 a

²

b −2 a b

²

+b

³

−2 a +2b

−2 a

²

b +4 a b

²

−2b

³

//

2 a b

²

−b

³ Dunque il quoziente è

2 b−2a

e il resto è

2 a b

²

−b

³

Adesso eseguiamo la divisione rispetto all'incognita b.

b

³

−4 a b

²

+6a

²

b −2 a

³

b

²

^{−2 a b} +a

²

−b

³

+2 a b

²

−a

²

b

//

−2 a b

²

+5 a

²

b −2 a

³

b −2 a +2 a b

²

−4 a

²

b +2 a

³

//

a

²

b

^//

b−2 a

e il resto è

a

²

b

(15)

ESERCIZIO n.792 pag. 426

Esegui ciascuna delle seguenti divisioni considerando prima una delle due lettere come variabile e poi considerando come variabile l’altra lettera. Verifica che in entrambi i casi il resto è nullo e che i quozienti ottenuti sono polinomi uguali.

(a

²

−6 x

²

−a x):(a−3 x) ( a b+2 a

²

−3 b

²

) :(a−b)

Cominciamo con la prima divisione e cominciamo considerando come variabile la lettera x. Ovvero eseguiremo la divisione rispetto all'incognita x e “faremo finta” che l'incognita a sia un numero noto.

−6 x

²

−a x +a

²

−3 x+a

+6 x

²

−2 a x

//

−3a x _+a

²

+3a x −a

²

2 x +a

// //

Dunque in questo caso il resto è 0 come previsto e il quoziente è

2 x+a

. Adesso consideriamo la a come variabile.

+a

²

−a x _{−6 x}

²

a−3 x

−a

²

+3a x

//

+2 a x −6 x

²

−2 a x +6 x

²

a +2 x

// //

Effettivamente il resto è ancora 0 e il polinomio quoziente è lo stesso già determinato nell'algoritmo precedente. In effetti se il resto è 0 allora abbiamo la divisibilità, e quindi il quoziente sarà sempre lo stesso.

Adesso occupiamoci della seconda divisione proposta, cominciamo dividendo rispetto alla lettera a.

2 a

²

+a b −3b

²

a−b

−2 a +2 a b

//

+3a b _−3b

²

2 a +3b

−3a b _+3b

²

// //

Dunque, come preannunciato il resto è nullo. Il quoziente è

2 a+3b

.Adesso eseguiamo la

(16)

divisione rispetto alla lettera b.

−3b

²

+a b +2 a

²

−b+a

+3b

²

−3a b

//

−2 a b +2 a

²

+3b 2 a

+2 a b −2 a

²

// //

Troviamo di nuovo resto nullo e quoziente

2 a+3b

Applicando la regola di Ruffini, determina quoziente e resto nelle seguenti divisioni.

( 2 x

²

+3 x−5):(x−1) (3 x

²

+4 x+1):(x+1) (2 x

²

+3 x−5):( x−1)

2 3 -5

1 2 5

2 5 0

2 x+5

e il resto è nullo. In altre parole:

(2 x

²

+3 x−5):( x−1)=2 x+5

Eseguiamo adesso l'altra divisione:

(3 x

²

+4 x+1):(x+1)

3 4 1

-1 -3 -1

3 1 0

3 x+1

e il resto è nullo. In altre parole:

(3 x

²

+4 x+1):(x+1)=3 x+1

Applicando la regola di Ruffini, determina quoziente e resto nella seguente divisione.

(3 x

⁴

−2 x

³

−x

²

+ x−3):(x+1)

(17)

3 -2 -1 1 -3

-1 -3 5 -4 3

3 -5 4 -3 0

3 x

³

−5 x

²

+4 x−3

ed il resto è nullo. In altre parole:

(3 x

⁴

−2 x

³

−x

²

+ x−3):(x+1)=3 x

³

−5 x

²

+4 x−3

( x

²

+3 a x−7 a

²

) :( x−2 a)

Non facciamoci spaventare dal parametro a. Contiamo sul fatto che nel libro, quando non è specificato altrimenti, si considera la x come variabile e tutte le altre lettere come parametro:

eseguiremo dunque la divisione rispetto all'incognita x.

1

3 a _−7a

²

2 a 2 a 10 a

²

1

5a _{3 a}

²

x+5 a

e il resto è

3 a

²

Si osservi che non avremmo potuto applicare Ruffini rispetto all'incognita a, a meno di non usare qualche artificio come dividere sia dividendo che divisore per 2.

( x

³

−x

²

y+2 x y

²

−2 y

³

):( x− y)

Dividiamo rispetto all'incognita x.

1

− y _{+2 y}

²

_{−2 y}

³

y y

⁰

2 y

³

1 0

2 y

² ⁰

x

²

+2 y

² e il resto è nullo.

Si poteva eseguire la divisione anche rispetto all'incognita y, col piccolo artificio di cambiare segno

(18)

sia al dividendo che al divisore

(2 y

³

−2 x y

²

y+ x

²

y−x

³

):( y− x)

2

−2 x x

²

−x

³

x 2 x

⁰

x

³

2 0

x

² ⁰

Ottenendo come quoziente lo stesso di prima:

y

²

+x

² e resto nullo.

In altre parole

( x

³

−x

²

y+2 x y

²

−2 y

³

):( x− y)=2 y

³

+x

²

( x

²

y

²

+3 x y−4):( x y−2)

In questa situazione potremmo applicare Ruffini utilizzando come variabile il monomio

x y

1 3 -4

2 2 10

1 5 6

E quindi il quoziente è

x y+5

e il resto è 6.

[ 2 x

²

−2 a x+(a+3)]:(x−a−1)

Eseguiamo la divisione rispetto all'incognita x.

2

−2 a a+3

a+1 2 a+2 2 a+2

2 2

3 a+5

2 x+2

e il resto

3 a+5

(19)

Determina il quoziente e il resto delle seguente divisione in cui il divisore è della forma

a x+b

applicando la regola di Ruffini.

(5 x

³

−4 x

²

+4 x+1):(5 x+1)

Per poter applicare Ruffini il divisore deve essere della forma

x−a

. Possiamo usare un artificio per ricondurci a questa situazione, infatti se moltiplichiamo dividendo e divisore per lo stesso numero, il risultato della divisione rimane invariato (la cosiddetta proprietà invariantiva).

Nel nostro caso possiamo moltiplicare sia dividendo che divisore per

1

5

. La divisione diventa:

( x

³

− 4

5 x

²

+ 4 5 x+ 1

5 ):(x+ 1

5 )

e possiamo applicare la regola di Ruffini.

1

− 4

5 4 5

1 5

− 1

5 − 1

5

1 5 − 1

5

1 -1 1 0

Abbiamo così trovato il quoziente

x

²

− x+1

e il resto nullo.

Determina il quoziente e il resto delle seguente divisione in cui il divisore è della forma

a x+b

applicando la regola di Ruffini.

(4 x

⁴

− 8 x

³

+4 x−1):(2 x+3)

Questo esercizio non era nella lista della “lezione per casa” ma è utile come esempio. Se il resto non è nullo bisogna tener conto delle modifiche, per il resto infatti non vale la proprietà invariantiva.