QUADERNO 3 B I.T.E. – 2019/2020 QUADERNO n.5 Capitolo 10: Capitalizzazione e sconto DEFINIZIONE

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QUADERNO 3 B I.T.E. – 2019/2020

QUADERNO n.5

Capitolo 10: Capitalizzazione e sconto DEFINIZIONE

Si dice operazione finanziaria uno scambio di denaro tra soggetti in tempi diversi.

L'inizio è la prestazione, la fine è la controprestazione.

ESEMPIO

Chiedo un prestito ad una banca di 2000 € (prestazione) per comprare uno scooter e restituisco 2200 € a rate (controprestazione).

DEFINIZIONE

Si dice asse dei tempi la retta orientata che rappresenta il tempo.

DEFINIZIONE (operazioni finanziarie fondamentali)

La capitalizzazione è la determinazione del valore del capitale nel futuro. Dato il capitale C al tempo 0, determinare il nuovo valore, detto montante M, al tempo t.

L'attualizzazione è la determinazione del valore del capitale nel presente. Dato il capitale C al tempo t, determinare il valore attuale V, al tempo 0.

La legge di calcolo del montante si dice regime di capitalizzazione.

La legge di calcolo del valore attuale si dice regime di attualizzazione.

DEFINIZIONE (operazioni di prestito)

Si dice mutuante o creditore, chi concede il prestito.

Si dice mutuatario o debitore, chi riceve il prestito.

Si dice capitale iniziale la somma prestata.

Si dice interesse il compenso che il mutuatario deve versare al mutuante (in aggiunta al capitale iniziale).

OSSERVAZIONE

Per brevità spesso si dice semplicemente “capitale” parlando del “capitale iniziale”.

OSSERVAZIONE

Ovviamente, se ricevo un prestito C e dovrò versare un interesse I, la banca riceverà, alla fine dell'operazione, un montante M = C + I .

DEFINIZIONE

Si dice tasso di interesse il rapporto tra interesse e capitale iniziale.

Si dice tasso unitario di interesse, l'interesse per unità di tempo e per unità di capitale.

OSSERVAZIONE

Praticamente il tasso unitario di interesse si ottiene dividendo il tasso di interesse per il tempo totale dell'operazione.

i= I

C t

^.

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ESEMPIO

Investo 2500 € per un anno e ricevo alla fine dell'anno 2610 €.

C = 2500 è il capitale iniziale.

M = 2610 è il montante dopo un anno.

I = 2610 – 2500 =110 è l'interesse

i= I C = 110

2500 =0,044

è il tasso di interesse applicato in un anno.

Se consideriamo l'anno come unità di tempo, questo è anche il tasso di interesse unitario: i = I Nell'ambiente finanziario si usa rappresentare il tasso di interesse in forma percentuale, in questo caso:

i = 4,4 % TEOREMA

Se prestando un capitale C si ottiene un montante M nell'unità di tempo, allora il tasso unitario di interesse è dato dalla formula :

i= M −C

C

^. DEFINIZIONE

Si dice valore nominale C, un capitale esigibile ad una certa scadenza.

Si dice sconto la somma S da sottrarre a C nel caso in cui si voglia riscuotere prima della scadenza.

La differenza V = C – S si dice capitale scontato o valore attuale.

Il tempo che intercorre tra l'effettiva riscossione e la data di scadenza si dice tempo di anticipazione.

OSSERVAZIONE

Avevamo già definito il valore attuale nel contesto dell'operazione finanziaria. In effetti la definizione data in precedenza coincide con questa considerando come tempo 0 il giorno della riscossione.

DEFINIZIONE

Si dice tasso unitario di sconto, lo sconto per unità di tempo e per unità di capitale.

ESEMPIO

Ho un debito di 5000 € da saldare tra un anno. È il valore nominale.

Per farmelo pagare oggi, la banca mi propone lo sconto di 250 €.

Accetto e pago 5000 – 250 = 4750 €. È il valore attuale.

Il tasso unitario di sconto è

250 5000 =0,05

. È anche unitario perché il periodo è 1 anno.

Volendo esprimerlo in forma percentuale, il tasso unitario di sconto è del 5%.

ESERCIZIO

Decido di estinguere oggi un debito di 4000 € che avrei dovuto pagare fra un anno, ottenendo uno sconto di 200 €. Qual è il tasso di sconto?

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Il tasso di sconto è

200 4000 =0,05

ovvero il 5%.

DEFINIZIONE

Un regime di capitalizzazione si dice semplice, se l'interesse è direttamente proporzionale al capitale e al tempo.

OSSERVAZIONE

La diretta proporzionalità si esprime con la formula

I =C⋅i⋅t

intendendo con I interesse

C capitale

i tasso unitario di interesse t tempo di impiego del capitale ESERCIZIO

Un capitale di 1700 € con un tasso di interesse unitario del 4% annuo viene impiegato per un anno, 3 mesi e 10 giorni. Calcoliamo l'interesse semplice.

Sostituiamo nella formula:

C=1700 i=0,04 t=1+ 3

12 + 10

360 = 460 360 = 23

18 I =1700×0,04× 23

18 ≈86,89

OSSERVAZIONE

Nel contesto finanziario si considera l'anno commerciale di 360 giorni e ciascun mese di 30 giorni.

OSSERVAZIONE

Se avessimo approssimato subito il tempo

23 18 ≈1,28

I =1700×0,04×1,28=87,04

con uno scarto di 0,15 rispetto al primo calcolo.

ESERCIZIO

Calcola l’interesse semplice di un capitale di € 1560 impiegato al 3% per un anno, 3 mesi e 10 giorni.

Sostituiamo nella formula:

C=1560 i=0,03 t=1+ 3

12 + 10

360 = 460 360 = 23

18 I =1560×0,03× 23

18 =59,80

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TEOREMA: CALCOLO DEL MONTANTE

In un regime di capitalizzazione semplice il montante M si calcola tramite la formula:

M =C (1+i⋅t)

Dimostrazione:

Sappiamo già che il montante M = C + I con C capitale e I interesse.

Nel regime di capitalizzazione semplice I = C i t con C capitale, i tasso unitario di interesse e t tempo d'impiego del capitale.

Dunque M = C + I = C + C i t = C(1+ i t) ovvero la tesi M = C (1+i t).

DEFINIZIONE

Il fattore (1 + i t) si dice fattore di capitalizzazione semplice.

OSSERVAZIONE

Il fattore di capitalizzazione semplice corrisponde al montante del capitale di 1 € OSSERVAZIONE

Applicando i principi di equivalenza delle equazioni, possiamo ricavare le cosiddette formule inverse:

C= M (1+i t) ; i= M −C

C t ; t= M −C C i

ESERCIZIO

Abbiamo un capitale di 7500 € investito al tasso annuo di interesse semplice del 5,5 % per 9 mesi.

Determinare il montante.

Applichiamo la formula

M =C (1+i t)=7500×(1+0,055× 9

12 )=7809,375

Arrotondiamo il risultato a due cifre decimali: M = 7809,38 €

ESERCIZIO

Desideriamo ottenere un montante di 10.000 € tramite l'offerta di un tasso annuo di interesse semplice del 3% per 2 anni. Quale somma di denaro dobbiamo investire?

C= M

1+i t = 10000

1+0,03×2 ≈9433,96

ESERCIZIO

Calcola il montante a interesse semplice di € 5000 investiti al tasso annuo del 4% per 8 mesi.

M =C (1+i t)=5000×(1+0,04× 8

12 )≈5133,33

Arrotondiamo il risultato a due cifre decimali: M = 5133,33 € ESERCIZIO

Qual è il capitale che devi investire a interesse semplice del 2% annuo per poter ritirare dopo 3 anni

€ 15 000?

Attenzione, in questo caso l'incognita è il capitale C, quindi dobbiamo utilizzare una delle formule

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equivalenti:

C= M

1+it = 15000

1+0,02×3 ≈14150,94

Dunque il capitale da investire è di 14.150,94 € ESERCIZIO

Quale capitale dobbiamo investire per 10 mesi al tasso annuo percentuale del 6% per ottenere un interesse di € 500 ?

I =C i t

, grazie ai principi di equivalenza possiamo ricavare

C= I

i t

^{, dunque:}

C= 500 0,06× 10

12 =10000

ESERCIZIO

Determiniamo a quale tasso di interesse annuo percentuale deve essere investito un capitale di

€ 13 500 per 8 mesi per ottenere un interesse di € 700.

I =C i t

i= I

C t

^{, dunque:}

i= 700 13500× 8

12 ≈0,0777

, dunque il tasso di interesse è del 7,78 %

ESERCIZIO

Calcola il capitale che devi investire per 4 mesi al tasso annuo percentuale del 3% per ottenere un interesse di € 300.

I =C i t

C= I

i t

^{, dunque:}

C= 300 0,03× 4

12 =30000

ESERCIZIO

Qual è il tasso annuo percentuale con il quale un capitale di € 15 000 investito per 10 mesi produce un interesse di € 300?

I =C i t

i= I

C t

^{, dunque:}

i= 300 15000× 10

12 =0,024

, dunque il tasso di interesse è del 2,4 %

ESERCIZIO

Calcoliamo per quanto tempo dobbiamo investire al tasso del 5% un capitale di € 25 000 per ottenere un interesse di € 2000.

I =C i t

t= I

C i

^{, dunque:}

(6)

t= 2000

25000×0,05 =1,6

Se non specificato, consideriamo il tasso come annuale, quindi occorrono 1,6 anni come tempo di investimento. Ma il tempo non si esprime in forma decimale, dunque convertiamo 0,6 anni in mesi e giorni (commerciali).

I mesi:

0,6×12=7,2

I giorni

0,2×30=6

Dunque il tempo di investimento è 1 anno, 7 mesi e 6 giorni.

ESERCIZIO

Per quanto tempo devi investire un capitale di €15 000 al tasso annuo percentuale del 2% per ottenere un interesse di € 760?

I =C i t

t= I

C i

^{, dunque:}

t= 760

15000×0,02 =2,5 3

Se non specificato, consideriamo il tasso come annuale, quindi occorrono (circa) 2,53 anni come tempo di investimento. Ma il tempo non si esprime in forma decimale, dunque convertiamo in anni, mesi e giorni (commerciali).

I mesi:

0,53×12=6,4

I giorni

0,4×30=12

Dunque il tempo di investimento è 2 anni, 6 mesi e 12 giorni.

ESERCIZIO n.1 pag.461

Calcola il tasso di interesse unitario in forma percentuale nel caso C= 4000 € ; I= 330 €, in cui il prestito ha la durata di un anno.

i= 330

4000 =0,0825

=8,25 % ESERCIZIO n.2 pag.461

Calcola il tasso di interesse unitario in forma percentuale nel caso M=7900 € ; C=7000 € , in cui il prestito ha la durata di un anno.

i= 7900 −7000

7000 = 900 7000 = 9

70 =0,1 285714

In questo caso possiamo approssimare il tasso di interesse come 12,86 % ESERCIZIO n.3 pag.461

Calcola il tasso di sconto unitario e percentuale nel caso C= 8500 € S=731 €, in cui lo sconto è relativo a un tempo di anticipazione di un anno.

s= 731

8500 =0,086

=8,6 % ESERCIZIO n.4 pag.461

Calcola il tasso di sconto unitario e percentuale nel caso V= 4885 € S=5000 €, in cui lo sconto è relativo a un tempo di anticipazione di un anno.

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Calcoliamo prima il capitale previsto alla scadenza: 4885+5000 = 9885

s= 5000

9885 =0,50

=8,6 % ESERCIZIO n.5 pag.461

Devo riscuotere € 15 000, fra un anno. Mi conviene riscuoterli oggi al tasso di sconto del 5% e reinvestirli per un anno al tasso di interesse del 5,2%?

Se li riscuoto oggi al tasso di sconto del 5% ottengo soltanto il 95% di € 15 000 ovvero:

15000×( 95

100 )=14250

€

D'altra parte questa somma posso investirla per un anno al tasso di interesse del 5,2 %, ottenendo (fra un anno) il 105,2 % del capitale investito, ovvero:

14250×( 105,2

100 )=14991

€

Dunque fra un anno andrei ad incassare una quantità di denaro inferiore a quella che incasserei senza fare alcuna operazione, quindi tale operazione non mi conviene.

Possiamo dimostrare che tale operazione non conviene a prescindere dal capitale da riscuotere tra un anno. Infatti, ragionando unicamente sulle percentuali, se riscuoto subito al tasso di sconto del 5% ottengo il 95% della somma che riscuoterei tra un anno.

Calcolando

95×( 105,2

100 )= 99,94

possiamo osservare che col nuovo investimento otterrei tra un anno il 99,94 % di quello che riscuoterei lasciando le cose come stanno.

Un debitore ti offre di estinguere oggi al tasso di sconto del 2% un debito che scade fra un anno. A quale tasso devi reinvestire la somma ottenuta per concludere una operazione vantaggiosa?

Ragioniamo in percentuali: fra un anno io mi aspetto di riscuotere 100.

Se accetto di riscuotere oggi al tasso di sconto del 2%, riscuoto soltanto 98.

Per rendere comunque vantaggiosa tale operazione dovrei investire quello che riscuoto oggi ad un tasso x tale che, fra un anno:

98(100 + x

100 )>100

. Risolvendo la disequazione potrò dare la mia risposta.

Per il secondo principio di equivalenza:

100+ x> 100×100 98

Per il primo principio di equivalenza:

x> 100×100 98 −100

Eseguendo i calcoli al secondo membro:

100×100

98 −100≈2,04

Dunque l'investimento risulterebbe vantaggioso con un tasso di interesse

x>2,04

^%

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Osserviamo che la risposta del libro è

r≥2,05

^%

Il fatto che usi la r piuttosto della x è ovviamente del tutto irrilevante. Il punto di vista pratico ha imposto l'uso del “maggiore o uguale” rispetto al maggiore stretto. Infatti il tasso del 2,04 % non sarebbe conveniente, visto che incasserei esattamente la stessa somma che incasserei non facendo niente, dunque non rimettendoci soldi ma rimettendoci tempo e fatica. Immaginando di indicare i tassi di interesse con al massimo due cifre decimali, il tasso immediatamente successivo, il minimo tra quelli convenienti, diventa 2,05 %

ESERCIZI n.7,8 pag.461 Sono svolti sul libro di testo.

In regime di capitalizzazione semplice, determina il montante e l’interesse nel caso:

C= € 30 000 t= 2 anni i=0,06

L'interesse

I =C i t=30000×2×0,06=3600

^.

Il montante

M =C +I =30000+3600=33600

Negli esercizi svolti del libro vengono calcolati montante e interesse nell'ordine in cui vengono richiesti. Dato che in questo caso ci viene chiesto “il montante e l'interesse”, forse dovremmo calcolare prima il montante:

M =C (1+i t)=30000(1+0,12)=30000×1,12=33600

e poi l'interesse

I =M −C=33600−30000=3600

^.

Non fatichiamo molto in nessuna delle due scelte.

C= € 25 000 i= 8,5% t=3 anni

L'interesse

I =C i t=25000×3×0,085=6375

Il montante

M =C +I =25000+6375=31375

Volendo usare la formula generale anche per il montante:

M =C (1+i t)=25000(1+0,085×3)=25000×1,255=31375

C= € 13 500 t= 6 anni, 9 mesi, 14 giorni i=0,06

Per eseguire i calcoli occorre scrivere il tempo in frazioni di anni (commerciali), dunque:

t=6+ 9

12 + 14

360 = 6×360+9×30+14

360 = 2160+270+14

360 = 2444

360 ≈6,79

Per ridurre gli errori di approssimazioni, consiglio comunque di usare la frazione anche nei conti successivo, non importa semplificarla dato che questi conti verranno svolti con la calcolatrice.

L'interesse

I =C i t=13500× 2444

360 ×0,06=5499

(9)

Il montante

M =C +I =13500+5499=18999

Si osservi che se avessimo usato il numero approssimato di anni

I =C i t=13500×6,79×0,06=5499,9

avremmo ottenuto un errore nel calcolo dell'interesse, seppure esiguo (di poco inferiore ad un 1 €) ESERCIZIO n.12 pag.461

C= € 23 500 t= 2 anni, 1 mese, 16 giorni i=7%

Per eseguire i calcoli occorre scrivere il tempo in frazioni di anni (commerciali), dunque:

t=2+ 2

12 + 16

360 = 2×360+1×30+16

360 = 720+30+16

360 = 766

360 ≈2,13

Per ridurre gli errori di approssimazioni, consiglio comunque di usare la frazione anche nei conti successivo, non importa semplificarla dato che questi conti verranno svolti con la calcolatrice.

L'interesse

I =C i t=23500× 766

360 ×0,07≈3500,19

Il montante

M =C +I =23500+3500,19=27000,19

Si osservi che se avessimo usato il numero approssimato di anni

I =C i t=23500×2,13×0,07=3503,85

avremmo ottenuto un errore nel calcolo dell'interesse abbastanza significativo.

OSSERVAZIONE

In merito all'ultimo esercizio osserviamo l'errore commesso rispetto al calcolo con l'utilizzo della frazione (pure approssimato).

ESERCIZIO n. 13 pag.461

Un capitale produce un montante di € 1122 dopo un impiego di 2 anni al tasso unitario dello 0,05 semestrale in regime di capitalizzazione semplice. Qual è il capitale?

A € 935 B € 1020 C € 923,07 D € 1017,68 E € 1000

Essendo una domanda a risposta chiusa, proviamo a rispondere mentalmente e nel modo più rapido possibile.

Risposta rapida 1:

Il tasso di interesse si calcola facilmente anche a mente, considerando che in 2 anni ci sono 4 semestri:

0,05×4=0,2= 1

5

. Dunque il montante rappresenta

1+ 1 5 = 6

5

del capitale

C i t I

23500 0,07 2 3290

23500 0,07 2,1 3454,5

23500 0,07 2,13 3503,85

23500 0,07 2,128 3500,56

23500 0,07 2,1278 3500,231

23500 0,07 2,12778 3500,1981

23500 0,07 2,127778 3500,19481 23500 0,07 2,1277778 3500,194481 23500 0,07 2,12777778 3500,1944481

(10)

iniziale. Si calcola abbastanza facilmente a mente anche

1122

6 = 561

3 =187

che corrisponde alla quinta parte del capitale. Eseguendo, sempre a mente, la moltiplicazione

187×5=935

troviamo la risposta corretta.

Risposta rapida 2:

Se si ritiene di perdere troppo tempo nei calcoli a mente, si può considerare che

1122

6 < 1200

6 =200

ed essendo

200×5=1000

possiamo escludere le risposte B, D, E.

Per scegliere tra A e C osserviamo che 1122 è divisibile per 6 (è divisibile sia per 2 che per 3) e quindi è un numero intero e quindi il capitale non può avere una parte decimale. Dunque la risposta giusta è la A.

Risposta come se fosse una domanda aperta:

Eseguendo il calcolo, tenendo presente che il tempo è misurato in semestri, il montante è dato dalla formula

1122=C (1+0,05×4)

^{da cui}

C= 1122

1,2 =935

. ESERCIZIO n.14 pag.361

Investendo un capitale C per 3 anni e 4 mesi al tasso semplice i = 0,03, il rapporto tra l’interesse e il capitale è

A

13

2

^B

1

10

^C

13

100

^D

10

1

^E

7

400

^.

Essendo una domanda a risposta chiusa, proviamo a rispondere mentalmente e nel modo più rapido possibile.

Risposta rapida:

Facendo un calcolo mentale rapido, considerando che 4 mesi sono un terzo di un anno, il tasso di interesse

0,03×3+ 0,03

3 =0,09+0,01=0,1= 1

10

. Dunque la risposta corretta è la B.

Risposta come se fosse una domanda aperta:

Dalla formula

I =C i t

^otteniamo

I

C =i t=0,03(3+ 4

12 )=0,03( 40

12 )= 0,12 12 = 1

10

^. OSSERVAZIONE

Sostanzialmente, nel caso sopra, non c'è differenza tra la risposta rapida e quella a domanda aperta, cambia soltanto la forma.

OSSERVAZIONE

Fino a questo momento ci siamo concentrati sul tasso unitario annuo, ma non è detto che il tasso unitario sia sempre annuo, l'interesse può scattare anche in periodi più brevi, ovvero in frazioni di anno.

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NOTAZIONE

Sul libro si usa la notazione

i

_n per indicare che il tasso unitario si riferisce a

1 n

^{di anno,} quindi:

i

₂ è un tasso unitario semestrale (l'anno ò diviso per 2)

i

₃ è un tasso unitario quadrimestrale (l'anno è diviso in 3)

i

₄ è un tasso unitario trimestrale (l'anno è diviso in 4)

i

₆ è un tasso unitario bimestrale (l'anno è diviso in 6) OSSERVAZIONE

Tale notazione può risultare anti-intuitiva a livello di definizione, ma tutto sommato comoda quando si mette in pratica.

ESEMPIO

Ci viene prospettata, in forma schematica, questa situazione:

C= € 9 000 t=3 anni

i

₃

=0,025

Ovviamente ci interessa il montante, ma per applicare la formula devo prima rendere omogenei il tempo espresso in anni e il tasso unitario quadrimestrale. Occorre in pratica esprimere il tempo in numero di quadrimestri, dunque

t=3×3=9

.

Si noti che la praticità dell'applicazione di cui parlavo sopra, sta nel fatto che per omogeneizzare i dati mi basta moltiplicare il numero di anni per il numero che vedo a pedice della “i”.

Dunque il montante:

M =C (1+i t)=9000(1+9×0,025)=9000×1,225=11025

ESERCIZIO

Calcola l’interesse prodotto da € 4000 investiti per 2 anni in capitalizzazione semplice al tasso trimestrale dell’1,1%.

Riassumento schematicamente: C= € 4 000 t= 2 anni

i

₄

=0,011

Dunque l''interesse:

I =C i t=4000×(2×4)×0,011=352

Svolto sul libro di testo. C'è un piccolo errore di stampa: al punto a. la durata dell'investimento è ovviamente di 4 anni.

C= € 7 500 t= 5 anni

i

₃

=0,021

Essendo l'interesse unitario quadrimestrale occorre contare i quadrimestri, che ovviamente sono 3 per ogni anno. Dunque

t=5×3=15

quadrimestri.

L'interesse:

I =C i t=7500×15×0,021=2362,50

Il montante:

M =C+ I =7500+2362,50=9862,50

In regime di capitalizzazione semplice, determina il montante e l’interesse nei seguenti nel caso:

C= € 8 900 t= 4 anni

i

₁₂

=0,002

Essendo l'interesse unitario mensile occorre contare i mesi, che ovviamente sono 12 per ogni anno.

(12)

Dunque

t=4×12=48

^mesi.

L'interesse:

I =C i t=8900×48×0,002=854,40

Il montante:

M =C +I =8900+854,40=9754,40

In regime di capitalizzazione semplice, determina il montante e l’interesse nei seguenti nel caso:

C= € 12 000 t= 6 anni

i

₆

=0,005

Essendo l'interesse unitario bimestrale occorre contare i bimestri, che ovviamente sono 6 per ogni anno. Dunque

t=6×6=36

^bimestri.

L'interesse:

I =C i t=12000×36×0,005=2160

Il montante:

M =C +I =12000+2160=14160

ESERCIZI n.19,20,21 pag.463; n.22 pag.464 Svolti sul libro di testo

Risolvere il seguente problemi in regime di capitalizzazione semplice, determinando le due grandezze mancanti.

M= € 13 000 C= € 9750 t= 3 anni

Per definizione di montante

M =C +I

, quindi è facile ricavare l'interesse:

I =M −C=13000−9750=3250

Dando per buono che si tratta di un tasso unitario di interesse annuale, ricaviamo anche quello, sapendo che per definizione di capitalizzazione semplice:

I =C i t

, quindi ricaviamo:

i= I C t = 3250

9750×3 ≈0,1111

. Il tasso di interesse unitario espresso in forma percentuale è dunque del 11,11 %

M= € 5 450 t= 3 anni i=0,1

Dalla formula di capitalizzazione semplice

M =C (1+i t)

possiamo ricavare il capitale:

C= M 1+i t = 5450

(1+0,1×3) = 5450

1,3 ≈ 4192,31

e poi l'interesse applicato:

I =M −C=5450−4192,31=1257,69

I=€ 662,40 C=€ 2 760 i=12 %

Si calcola facilmente il montante

M =C +I =2760+662,40=3422,40

ed essendo la formula dell'interesse

I =C i t

altrettanto facilmente calcoliamo il tempo espresso in anni

t= I

C i = 662,40

2760×0,12 = 2

(13)

I= € 975 i=7,5 % t=4 anni

Per prima cosa ricaviamo il capitale investito dalla formula

I =C i t

, dunque:

C= I i t = 975

0,075×4 =3250

Per definizione il montante:

M =C +I =3250+975=4225

M=€ 11 935 I= € 4 235 i=11%

Ricaviamo subito il capitale investito dalla formula

M =C +I

, dunque:

C=M −I =11935−4235=7700

Dalla formula

I =C i t

ricaviamo il tempo espresso in anni, dunque:

t= I C i = 4235

7700×0,11 =5

I= € 2 400 t= 6 anni 1 mese 24 giorni i=0,0425 Cominciamo con l'esprimere il tempo in frazioni di anni:

t=6+ 1

12 + 24

360 = 6×360+1×30+24

360 = 2160+30+24

360 = 2214

360 =6,15

Dalla formula

I =C i t

ricaviamo il capitale investito, dunque:

C= I i t = 2400

0,0425×6,15 ≈9182,21

Di conseguenza il montante:

M =C+ I =9182,21+2400=11582,21

M=€ 34 750 I= € 14 000 t= 7 anni, 4 mesi, 6 giorni Dalla formula

M =C+ I

i può immediatamente ricavare il capitale:

C=M −I =34750−14000=20750

Ci occorre anche esprimere il tempo in frazioni di anni:

t=7+ 4 12 + 6

360 = 7×360+4×30+6

360 = 2520+120+6

360 = 2646

360 =7,35

A questo punto, dalla formula

I =C i t

possiamo ricavare il tasso unitario di interesse:

(14)

i= I C t = 14000

20750×7,35 ≈0,0918

ovvero un tasso unitario annuale del 9,18 % ESERCIZIO n.30 pag.464

M= € 62 500 i= 10% t= 6 mesi, 20 giorni Cominciamo con l'esprimere il tempo in frazioni di anni:

t= 6 12 + 20

360 = 6×30+20

360 = 180+20

360 = 200 360 = 5

9 ≈0,556

Dalla formula

M =C (1+i t)

possiamo ricavare il capitale:

C= M 1+i t = 62500 1+0,1× 5

9 ≈59210,53

Dalla formula

M =C+ I

ricaviamo l'interesse:

I =M −C=62500−59210,53=3289,47

M= € 13 500 I= € 1 250

i

₄

=0,018

Ricaviamo immediatamente il capitale dalla formula

M =C +I

^:

C=M −I =13500−1250=12250

Poi ricaviamo il tempo dalla formula

I =C i t

:

t= I C i = 1250

12250×0,018 ≈5,67

che rappresenta il numero dei trimestri.

Volendo riportare il tempo in frazioni di anni:

5,67

4 =1,4175

Adesso traduciamo in mesi e giorni la quantità 0,4175 anni:

0,4175×12=5,01

mesi.

Dobbiamo ancora tradurre in giorni la quantità 0,01 mesi:

0,01×30=0,3

che è meno della metà di un giorno.

Dunque il tempo è di 1 anno, 5 mesi e 0 giorni.

C=€ 21 300 I=€ 4 500 t= 2 anni, 3 mesi, 23 giorni

Si ricava immediatamente il montante

M =C +I =21300+4500=25800

Occorre esprimere il tempo in frazioni di anni:

2+ 3 12 + 23

360 = 2×360+3×30+23

360 = 720+90+23

360 = 833

360 ≈ 2,31389

Ricaviamo il tasso di interesse unitario annuo dalla formula

I =C i t

:

(15)

i= I C t = 4500 21300× 833

360 ≈0,0913

M=€ 48 600 t= 4 anni, 7 mesi, 13 giorni

i

₆

=0,004

Attenzione, per questo esercizio mi sono venuti in mente due diversi percorsi.

Percorso 1: pilota automatico.

Ormai abbiamo un bagaglio di formule e metodi preconfezionati.

L'interesse bimestrale si converte molto facilmente in interesse annuale:

i=0,004×6=0,024

Pure per la conversione del tempo in frazioni di anni, ormai abbiamo imparato a farlo in modo veloce:

t= 4×360+7×30+13

360 = 1440+210+13

360 = 1663

360 ≈4,61944

A questo punto possiamo ricavare il capitale dalla formula

M =C (1+i t)

:

C= M 1+i t = 48600 1+0,024× 1663

360 ≈43749,62

E infine l'interesse dalla formula

M =C +I

^:

I =M −C=48600−43749,62=4850,38

^.

Percorso 2: contiamo i bimestri

Dimenticando le formule preconfezionate, partiamo dal fatto che se il tasso unitario di interesse è bimestrale, il tempo dovrà essere tradotto in bimestri.

Dunque

t=4×6+ 7 2 + 13

60 = 24×60+7×30+13

60 = 1440+210+13

60 = 1663

60

^bimestri.

A questo punto possiamo ricavare il capitale dalla formula

M =C (1+i t)

:

C= M 1+i t = 48600 1+0,004× 1663

60 ≈43749,62

Si noti che il fattore 6 che non ho messo al tasso di interesse, arriva dal tempo in bimestri.

E infine l'interesse dalla formula

M =C +I

:

I =M −C=48600−43749,62=4850,38

.

ESERCIZIO n.34 pag.464 Svolto sul libro di testo ESERCIZIO n.35 pag.465

Fra 18 mesi dovrò acquistare un’automobile del valore di € 20 000. Quale capitale devo investire oggi in banca al tasso annuo del 2% per avere la somma che mi serve?

(16)

Il tempo è 18 mesi che corrisponde ad 1 anno e 6 mesi, ovvero t=1,5.

M=€ 20 000 sono i soldi che voglio riscuotere alla scadenza i=0,02 è il tasso unitario di interesse.

Dalla formula

M =C (1+i t)

possiamo ricavare C:

C= M 1+i t = 20000

1+0,02×1,5 ≈19417,48

Dunque la somma da investire è almeno di € 19 417,48 ESERCIZIO n.36 pag.465

Mario ha investito un capitale di € 6000. Dopo un anno e nove mesi ha ritirato un montante di

€6262,50. Qual è stato il tasso annuo percentuale i dell’investimento?

Nove mesi sono

9 12 = 3

4 =0,75

di un anno. Dunque, il tempo in anni da sostituire nella formula è 1,75:

6262,50=6000(1+1,75 i)

Applicando i principi di equivalenza:

6262,50

6000 −1=1,75 i

e alla fine

i= 1

1,75

262,5

6000 =0,025

Dunque il tasso annuale è del 2,5 % ESERCIZIO n.37 pag.465

Ilaria investe un capitale di € 20 000 al tasso del 2%. Dopo 2 anni e 6 mesi preleva il montante ottenuto e lo investe per un anno e 6 mesi al tasso del 3%. Qual è stato il tasso annuo percentuale i dell’investimento complessivo di 4 anni?

Ovviamente 6 mesi sono 0,5 anni.

Il primo montante si calcola con la formula

M

₁

=20000(1+0,02×2,5)=21000

Il montante definitivo:

M =21000(1+0,03×1,5)=21945

Per calcolare il tasso dell'investimento complessivo sostitusco nella formula:

21945=20000(1+4i)

da cui ricavo

i= 21945−20000

20000×4 =0,0243125

Dunque il tasso complessivo è stato del 2,43125 %

Calcola i tassi di interesse delle seguenti operazioni e indica qual è il migliore investimento.

L’interesse I è maturato in un anno.

a. I = € 3, C = € 300;

b. I = € 3, C = € 1000;

c. I = € 10, C = € 20;

d. I = € 456, C = € 5000.

Utilizziamo la formula

I =C i t

, con t=1.

a)

i= 3

300 =0,01

b)

i= 3

1000 =0,003

c)

i= 10

20 =0,5

d)

i= 456

5000 =0,0912

Il miglior investimento è stato quello del caso c,, con solo 20 € investiti, ma con un rendimento del 50% !

(17)

Un capitale di € 800 ha prodotto un montante di € 890. Determina il tempo di impiego, sapendo che è stato impiegato al tasso del 3% annuo in regime di capitalizzazione semplice.

Sostituendo nella formula:

890=800(1+0,03 t)

Ricaviamo:

t= 890−800

800

1 0,03 =3,75

Il tempo è 3 anni e tre quarti di anno, ovvero 3 anni e 9 mesi.

Un capitale di € 1500 viene investito in regime di capitalizzazione semplice per 3 anni e 9 mesi al tasso di interesse del 2,2% annuo. Il montante ottenuto viene reinvestito nello stesso regime per un periodo di 4 anni. Qual è il nuovo tasso di interesse, se si ottiene un montante di € 1779,63?

Il primo montante lo ricavo dalla formula:

M

₁

=1500(1+0,022×3,75)=1623,75

Nella seconda fase dell'investimento:

1779,63=1623,75(1+4i)

^.

Ricavo:

i= 1779,63−1623,75 1623,75

1 4 =0,024

Dunque il nuovo tasso di interesse è del 2,4%

At a certain rate of simple interest, € 1,000 will accumulate to € 1,020 after a certain period of time.

Find the accumulated value of € 500 at a rate of simple interest three fourths as great over twice as long a period of time.

Dal primo investimento sappiamo che:

1020=1000(1+i t)

. Tutto quello che possiamo fare è ricavare il prodotto

i t= 1020

1000 −1=0,02

Del secondo investimento sappiamo che:

M =500(1+ 3 4 i 2t )

per calcolare il montante richiesto ci basta sostituire il prodotto i t col valore trovato sopra.

M =500 (1+ 3

4 i 2t )=500(1+ 3

4 ×2×0,02)=515

Si investono € 7500 al tasso annuo del 2%, ottenendo un montante di € 8100, in capitalizzazione semplice. Determina la durata dell’investimento. Calcola inoltre il tasso applicato nel caso in cui lo stesso capitale desse lo stesso montante in 3 anni, 5 mesi, 21 giorni.

Per quanto riguarda la prima domanda, sostituisco nella formula:

8100=7500(1+0,02 t)

Si può ricavare:

8100−7500

7500

1 0,02 =4

Per rispondere alla seconda domanda, devo prima esprimere il tempo in anni e frazioni di anno:

(18)

3+ 5 12 + 21

360 = 1080+150+21

360 =3,475

poi sostituisco nella formula:

8100=7500(1+3,475i)

e finalmente ricavo

i= 8100−7500 7500

1 3,475 ≈0,023

il tasso richiesto è circa del 2,3%

Marinella deposita € 4000 al tasso del 2%. Dopo 4 anni preleva la somma di cui dispone e ne investe metà a un tasso del 2,25% e l’altra metà a un tasso del 2%. Di quanto potrà disporre 10 anni dopo l’ultima operazione?

Nella prima fase dell'investimento:

M

₁

=4000(1+0,02×4)=4320

Nella seconda fase l'investimento si sdoppia:

M

_2a

=2160(1+0,0225×10)=2646 M

_2b

=2160(1+0,02×10)=2592

Alla fine Marinella potrà disporre di 2646+2592= 5238 €

9 anni fa sono stati investiti € 3000 al tasso dell’1,75%. 5 anni fa è stato fatto separatamente un altro investimento di € 7000 all’1,25%. Ora sono stati prelevati entrambi i montanti e tutto è stato reinvestito al 2%. Di quanto si potrà disporre tra 6 anni?

L'investimento di 9 anni fa:

M

₁

=3000(1+0,0175×9)=3472,50

L'investimento di 5 anni fa:

M

₂

=7000(1+0,0125×5)=7437,50

Il capitale che viene investito oggi è dunque

C=M

₁

+M

₂

=3472,50+7437,50=10910

Fra 6 anni potremo disporre di

M =10910(1+0,02×6)=12,219,20

ESERCIZIO n.45 pag.465 In giro per il mondo

Fin da quando era bambino, Luca sogna di fare il giro del mondo. Ha investito per 6 anni in capitalizzazione semplice € 12 000 al tasso annuo percentuale dell’1,8% presso una banca, e

€ 20000 al tasso annuo unitario dello 0,02 presso un’altra banca. Alla fine dei sei anni, con quanto denaro potra partire?

Il primo investimento:

M

₁

=12000(1+0,018×6)=13296

Il secondo investimento:

M

₂

=20000(1+0,02×6)=22400

Il denaro con cui potrà partire Luca è

13296+22400=35696

Ho investito per 5 anni in capitalizzazione semplice un capitale di € 30000 al tasso percentuale del 2%. Dopo 5 anni ho prelevato e speso € 10000 e ho investito ciò che rimaneva per altri 3 anni in capitalizzazione semplice al tasso di interesse percentuale dell’1,85%. Di quanto dispongo alla fine dei 3 anni?

(19)

Prima fase:

M

₁

=30000(1+0,02×5)=33000

Prelievo:

33000−10000=23000

Seconda fase: