Dimostrazioni che potrebbero essere chieste all’esame.
1. Sia F un campo e f ∈ F [x] un polinomio irriducibile. Assumiamo che f non `e separabile. Provare che f0 = 0 e che la caratteristica di F `e un primo p > 0.
2. Sia E un campo, G un sottogruppo finito di Aut(E), e F = EG.
(a) Sia α ∈ E e Aα = {σ(α) | σ ∈ G}; dimostrare che il polinomio minimo di α su F `e
Y
β∈Aα
(x − β).
(b) Dimostrare che E/F `e di Galois e che |E : F | = |G|.
3. Sia E/F un’estensione di Galois con |E : F | finito. Scriviamo G = Gal(E/F ), a sia H un sottogruppo di G. Supponiamo che H `e un sottogruppo normale e sia K = EH.
• Provare che K `e stabile.
• Provare che K/F `e un’estensione di Galois.
4. Sia E/Q il campo di spezzamento di xn− 1. Provare che Gal(E/Q) ∼= (Z/nZ)∗. (Si pu`o usare che E = Q(ζ) dove ζ `e una radice primitiva n-esima dell’unit`a, e che Φn`e il polinomio minimo di ζ.)
5. Sia F un campo, e f ∈ F [x] un polinomio irriducibile e separabile. Sia K/F un campo di spezzamento di f . Sia D il discriminante de f .
• Dimostrare che D ∈ F .
• Dimostrare che Gal(K/F ) `e isomorfo ad un sottogruppo di An se e solo se D `e un quadrato in F .
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