Universit` a degli Studi di Roma “La Sapienza”
Ingegneria Elettrotecnica
Prova scritta di Fisica 2 - 17 Gennaio 2014
Esercizio 1 (8 punti)
Una lastra piana di dielettrico omogeneo, di costante εr, infinita- mente estesa nel vuoto e spessa d, su una faccia possiede una distri- buzione superficiale uniforme di carica libera, di densit`a σ. Rispetto al sistema di riferimento indicato, si calcoli l’espressione del poten- ziale elettrostatico V (x) in tutto lo spazio, assumendo V (d) = 0.
Si tracci anche un grafico qualitativo di V (x).
0 d
σ
x εr
Esercizio 2 (8 punti)
Un conduttore di resistivit`a ρ ha una forma di tronco di cono con basi circolari di raggi, rispettivamente, a e b ed altezza h. Assu- mendo una densit`a di corrente uniforme attraverso ogni sezione, calcolare la resistenza di questo conduttore e mostrare che il risul- tato si riconduce alla resistenza di un conduttore cilindrico quando a= b.
I
h
Esercizio 3 (8 punti)
Un cavo coassiale lungo `e costituito da due conduttori cilindrici concentrici di raggi a e b. Il conduttore centrale `e attraversato da una corrente I e quello esterno da −I (stessa corrente, verso opposto). Lo spazio fra i due conduttori `e riempito di un materiale ferromagnetico di costante µr. Calcolare l’energia magnetica Um
immagazzinata in un tratto h del cavo. Ricavare poi l’induttanza per unit`a di lunghezza del cavo.
a
b h
I I µr
Esercizio 4 (8 punti)
All’esterno di un solenoide a sezione circolare di raggio a, alimentato dalla densit`a di corrente quasi stazionaria nI(t) = nI0sin (ωt), `e inserito un anello coassiale di dielettrico omogeneo di costante εr, raggio r e sezione S ≪ πr2. Si calcoli l’espressione del vettore di polarizzazione ⃗P nel dielettrico. Calcolare inoltre la corrente di polarizzazione ip(t) presente nell’anello.
εr
nI(t) a
r S
Domanda
Descrivere il moto di una carica q puntiforme di massa m e velocit ⃗v0 in un campo ⃗B costante nel tempo ed uniforme nello spazio.
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI ROMA “LA SAPIENZA”
Facolt`a di Ingegneria - A. A. 2006 - 2007
Esame di Fisica Generale II del 18 Dicembre 2007
1
Un modello molto semplificato di atomo con numero atomico Z consiste in una carica elettrica nega- tiva (−Ze), con e pari al modulo della carica dell’elettrone, corrispondente all’insieme degli elettroni orbitanti, uniformemente distribuita all’interno di una sfera di raggio R, al cui centro `e posta una carica puntiforme positiva (+Ze), corrispondente al nucleo. Ricavare l’espressione del campo elettri- co in funzione della distanza r dal centro.
2
Un generatore di forza elettromotrice f e resistenza in- terna r `e collegato ad un circuito come in figura. Cal- colare in condizioni stazionarie la corrente che scorre nel generatore e la potenza che eroga; calcolare la po- tenza dissipata in R1 ed R2 e l’energia elettrostatica
immagazzinata in ciascuno dei due condensatori. f r
C2 C1
R1
R2
3
Una spira rigida rettangolare di lati a e b si muove con velocit`a ⃗v costante in un piano che contiene un filo ret- tilineo indefinito percorso da una corrente costante I.
Un lato della spira resti parallelo al filo e la distanza al tempo t = 0 della spira dal filo sia d0. Trovare la f.e.m.
indotta nella spira.
0
I
d
a
b v
4
Una corrente continua I passando in un solenoide con N spire produce un flusso concatenato con le spire pari a Φ. Si calcoli la forza elettromotrice media indotta nel solenoide se si interrompe la corrente in un tempo ∆t, il valore dell’induttanza del solenoide e l’energia immagazzinata nel campo magnetico prima dell’interruzione.
Dare i valori numerici per
I = 2 A; N = 400 spire; Φ = 10−4 Wb; ∆t = 0.08 s 5
Un’onda elettromagnetica piana e monocromatica di frequenza ν = 10 MHz si propaga nel vuoto nella direzione delle x positive. Essa `e polarizzata linearmente, con il campo elettrico lungo l’asse y, ed investe una spira quadrata, di lato a = 1 cm e resistenza R = 100 Ω, posta sul piano xy. Se l’onda ha un’intensit`a media ¯I = 2 W/m2, si calcoli l’ampiezza della corrente circolante nella spira, trascurando fenomeni di autoinduzione.
UNIVERSITA' DEGLI STUDI di ROMA "LA SAPIENZA"
Anno Accademico 2013 – 2014 – Ing. Aerospaziale
Esame di Fisica II (ord. 270, 9 CFU) ), esercizi A1, A2, A3, A4, domande B1, B2 Esame di Elettromagnetismo (ord. 509, 6 CFU), esercizi A1, A2, A3, domande B1, B2, B3
Prova scritta del 11 Luglio 2014
A1) Un elettrone che si muove lungo la direzione x con velocità v0 = 107 m/s è sottoposto, per un tratto lungo d = 4 cm, ad un campo elettrico uniforme E0 = 104 V/m ortogonale alla sua velocità. Calcolare l’angolo che la direzione dell’elettrone forma con l’asse delle x dopo essere uscito dalla regione in cui è presente il campo elettrico.
A2) Un generatore di forza elettromotrice f e resistenza interna r è collegato ad un circuito come in figura. Calcolare in condizioni stazionarie la corrente che scorre nel generatore e la potenza che eroga; calcolare la potenza dissipata in R1 ed R2 e l’energia elettrostatica immagazzinata in ciascuno dei due condensatori.
A3) Nel circuito rappresentato in figura, i raggi delle semicirconferenze sono a=10 cm e b=15 cm. Se la corrente vale i=20A, calcolare il campo di induzione magnetica nel centro O delle semicirconferenze.
A4) All’esterno di un solenoide a sezione circolare di raggio a, con n spire per unità di lunghezza, alimentato dalla corrente quasi stazionaria I(t) = I0sin(ωt), è inserito un anello coassiale di dielettrico omogeneo di costante εr, raggio r e sezione S≪πr2. Si calcoli l’espressione del vettore di polarizzazione nel dielettrico.
Rispondere ai seguenti quesiti:
B1) Ricavare le condizioni di continuità del campo elettrico alla superficie di separazione fra due mezzi con diverso valore della costante dielettrica.
B2) Enunciare la seconda formula di Laplace e spiegarne l’origine.
B3) Enunciare e ricavare l’equazione di continuità .
Esercizio 3
La densit`a di energia magnetica um= 1
2BH = µ0µr
2 H2
Dal teorema di Ampere per H, dentro al cavo coassiale (a < r < b)
!
H · d⃗⃗ ℓ= 2πrH = I −→ H = I 2πr
r
dr
Um=
"
umdτ =
" b a
um2πrhdr = · · · = µ0µrI2h 4π
" b a
dr
r = µ0µrI2h 4π ln# b
a
$
Um= 1
2LI2 −→ L
h = µ0µr
4π ln# b a
$
Esercizio 4
Faraday: E 2πr = −dB
dt πa2 −→ E = −d
dt[µ0nI0sin (ωt)]a2
2r = −µ0nI0ωa2 2rcos ωt Sia ˆt versore tangente alla circonferenza di raggio r con verso antiorario,
P⃗ = ε0χ ⃗E = −µ0ε0(εr−1)nI0ωa2
2rcos ωt ˆt.
ip(t) = ∂P
∂tS = d
dt(ε0χE)S = µ0ε0(εr −1)nI0ω2a2
2rSsin (ωt)
Fisica II
1 Esercitazioni
© Politecnico di Torino Pagina 4 di 6
Data ultima revisione 30/06/00 Autore: Giovanni Alberto Ummarino Politecnico di Torino
CeTeM
0 0
2 v v
mv y qEd a
vy = y = x =
da cui è possibile ricavare l’angolo che la direzione dell’elettrone forma con l’asse x
°
−
=
−
=
− =
= 0.7 35
tan 2
0
θ
θ mv
qEx v
v
x y
Esercizio 1.5
Su un piano orizzontale sono poste due cariche q ad una distanza 2a l’una dall’altra.
Determinare il punto appartenente all’asse x (perpendicolare alla congiungente delle due cariche e passante per il suo punto medio) in cui il campo elettrico raggiunge il valore massimo.
Soluzione:
2 0 2 0
) 3 ) (
( )
( 3 ) (
) (
cos sen
sen
cos
2 2
2 2 2 3 2 2
2 2 3
2 2
2 2 2 2 / 3 2 2
2 / 3 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
1 2 1
2
x a x
dx a dE
x x x a
a a kq x
x a
x a x x
kq a dx dE
x a kq x x a
x x
a k q E
a x
x a
x a
E E E
x E a k q E
x x x
y x
±
=
=
−
⇒
=
− + +
= + +
+
−
= +
= + + + ⋅
=
+
= +
=
= + =
=
θ θ
θ θ
Esercizi proposti
Esercizio 1.6
Un dipolo elettrico di momento p è posto a distanza a= 1 m da una carica puntiforme Q=+10-10 coulomb parallelamente al campo elettrico generato da quest’ultima.
Se sul dipolo agisce una forza di intensità F= 1 newton, quanto vale il momento di dipolo?
Come deve essere orientato il dipolo affinché la forza sia attrattiva?
Risultato: p=0.55 coulomb m q
x q
2a
Fisica II
1 Esercitazioni
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Data ultima revisione 30/06/00 Autore: Giovanni Alberto Ummarino Politecnico di Torino
CeTeM
0 0
2 v v
mv y qEd a
vy = y = x =
da cui è possibile ricavare l’angolo che la direzione dell’elettrone forma con l’asse x
°
−
=
−
=
− =
= 0.7 35
tan 2
0
θ
θ mv
qEx v
v
x y
Esercizio 1.5
Su un piano orizzontale sono poste due cariche q ad una distanza 2a l’una dall’altra.
Determinare il punto appartenente all’asse x (perpendicolare alla congiungente delle due cariche e passante per il suo punto medio) in cui il campo elettrico raggiunge il valore massimo.
Soluzione:
2 0 2 0
) 3 ) (
( )
( 3 ) (
) (
cos sen
sen
cos
2 2
2 2 2 3 2 2
2 2 3
2 2
2 2 2 2 / 3 2 2
2 / 3 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
1 2 1
2
x a x
dx a dE
x x x a
a a kq x
x a
x a x x
kq a dx dE
x a kq x x a
x x
a k q E
a x
x a
x a
E E E
x E a k q E
x x x
y x
±
=
=
−
⇒
=
− + +
= + +
+
−
= +
= + + + ⋅
=
+
= +
=
= + =
=
θ θ
θ θ
Esercizi proposti
Esercizio 1.6
Un dipolo elettrico di momento p è posto a distanza a= 1 m da una carica puntiforme Q=+10-10 coulomb parallelamente al campo elettrico generato da quest’ultima.
Se sul dipolo agisce una forza di intensità F= 1 newton, quanto vale il momento di dipolo?
Come deve essere orientato il dipolo affinché la forza sia attrattiva?
Risultato: p=0.55 coulomb m q
x q
2a
Soluzioni
A1)
Il campo elettrico imprime all’elettrone un’accelerazione ay=F/m=−qE/m che lo fa spostare nella direzione y secondo la legge
Fisica II
1 Esercitazioni
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Data ultima revisione 30/06/00 Autore: Giovanni Alberto Ummarino Politecnico di Torino
CeTeM
2 / 3 2 2 0 2
0 2 / 3 2 2 0
2 2
) (
4 1 )
( 2 4
1
cos
cos
a x dl Qx
a x a E Q
r a x
x r
dE dE
E
a x
⋅ + + =
⋅
=
= +
=
=
=
∫
∫ ∫
πε π
πε
θ θ
π
Esercizio 1.4
Un elettrone che si muove lungo la direzione x con velocità v0 = 107 m/s è sottoposto, per un tratto lungo d = 4 cm, ad un campo elettrico uniforme E = 104 N/C ortogonale alla sua velocità. Calcolare in quale direzione si muove l’elettrone dopo aver attraversato la regione in cui è presente il campo elettrico.
Soluzione: Il campo elettrico imprime all’elettrone un’accelerazione
m qE m
ay = F =−
che lo fa spostare nella direzione y secondo la legge
2
2 1a t y= y
mentre lungo l’asse x si muove con moto uniforme t v x= 0 Eliminando la variabile t dalle equazioni si ottiene
2 2
2 0 x mv y=− qE
Le componenti della velocità dell’elettrone all’uscita del campo sono
E
x
mentre lungo l’asse x si muove con moto uniforme x=v0t
Eliminando la variabile t dalle equazioni si ottiene
Fisica II
1 Esercitazioni
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Data ultima revisione 30/06/00 Autore: Giovanni Alberto Ummarino Politecnico di Torino
CeTeM
2 / 3 2 2 0 2
0 2 / 3 2 2 0
2 2
) (
4 1 )
( 2 4
1
cos
cos
a x dl Qx
a x a E Q
r a x
x r
dE dE
E
a x
⋅ + + =
⋅
=
= +
=
=
=
∫
∫ ∫
πε π
πε
θ θ
π
Esercizio 1.4
Un elettrone che si muove lungo la direzione x con velocità v0 = 107 m/s è sottoposto, per un tratto lungo d = 4 cm, ad un campo elettrico uniforme E = 104 N/C ortogonale alla sua velocità. Calcolare in quale direzione si muove l’elettrone dopo aver attraversato la regione in cui è presente il campo elettrico.
Soluzione: Il campo elettrico imprime all’elettrone un’accelerazione
m qE m
ay =F =−
che lo fa spostare nella direzione y secondo la legge
2
2 1a t y= y
mentre lungo l’asse x si muove con moto uniforme t v x= 0 Eliminando la variabile t dalle equazioni si ottiene
2 2
2 0 x mv y=− qE
Le componenti della velocità dell’elettrone all’uscita del campo sono
E
x
Le componenti della velocità dell’elettrone all’uscita del campo sono
da cui è possibile ricavare l’angolo che la direzione dell’elettrone forma con l’asse x
A2)
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI di ROMA ”LA SAPIENZA”
FACOLTA’ DI INGEGNERIA A. A. 2006 - 2007
Esame di Fisica Generale II - Soluzioni del 18 Dicembre 2007
Esercizio N. 1 ρel= − Ze
4
3πR3 r ≤ R ρel= 0 r > R
!
S
E⃗ · ˆndS = Qint ϵ0
!
S
E⃗ · ˆndS = 4πr2E Qint= Ze
"
1 −#r R
$3%
(r ≤ R) Qint= 0 (r > R)
E⃗ = Ze 4πϵ0
& 1 r2 − r
R3 '
ˆ
r (r ≤ R) E⃗ = 0 (r > R)
Esercizio N. 2
In condizioni stazionarie, nel ramo contenente R2 e nei due condensatori non scorre corrente.
La corrente I che scorre nel generatore `e
I= f R1+ r
e la potenza W erogata dal generatore `e la somma di quella dissipata su R1 e su r, cio`e W = rI2+ R1I2= (r + R1) I2= f I.
La potenza dissipata su R2 `e nulla e quella dissipata su R1 vale W1=R1I2. L’energia immagaz- inata nella capacit`a Cj (j = 1, 2) `e
Uj = 1
2CjV2 con V = R1
r+ R1
f.
Esercizio N. 3
Ad un istante generico t, sia x(t) la distanza della spira dal filo. Il flusso concatenato sar`a:
Φ# ⃗B$
=
!
S
B⃗ · ⃗ndS =
! x+a x
Bbdx′ = µ0Ib 2π
! x+a x
dx′
x′ = µ0Ib
2π lnx+ a x Ma `e x(t) = d0+ vt, segue allora:
Φ# ⃗B$
= µ0Ib
2π lnd0+ a + vt d0+ vt
f = −
dΦ# ⃗B$
dt = µ0Iabv 2π
1
(d0+ a + vt)(d0+ vt) A3)
A4)
