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È dato il fascio di curve di equazione:

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Classe IV Sez. E, F

I gruppo di esercizi (Esercizi sui fasci di coniche e i luoghi geometrici)

Problema n. 1

È dato il fascio di curve di equazione:

( )

1 2

2

1 +

+

= + kx

x y k

1) Determinare per quali valori del parametro kR l’equazione rappresenta un’iperbole equilatera traslata.

2) Determinare l’equazione del luogo dei centri della famiglia di iperboli.

R. 1) kR − { } 0 ; 1 ; 2)

x

y = − x

2

+ 1 escluso il punto P (− 1 ; 2 ) .

Problema n. 2

È dato il fascio di curve di equazione:

1 3

5 ) 1 (

+ +

= −

k kx

k x y k

1) Determinare per quali valori del parametro kR l’equazione rappresenta un’iperbole equilatera traslata.

2) Determinare l’equazione del luogo dei centri della famiglia di iperboli.

3) Determinare gli eventuali punti fissi del fascio.

R. 1)

 

 

 −

∈ 4

; 1 2

; 1 0 R

k ; 2) y = x + 4 esclusi i punti P

1

( − 3 ; 1 ) , P

2

( − 5 ; − 1 ) , P

3

( 1 ; 5 ) ; 3) F

1

( − 5 ; 5 ) , )

1

; 1

2

( −

F .

Problema n. 3

È dato il fascio di curve di equazione:

0 3

) 2

( a + x

2

+ ax + − y =

1) Determinare per quali valori del parametro aR

l’equazione rappresenta una parabola.

2) Determinare l’equazione del luogo dei vertici della famiglia di parabole.

3) Determinare gli eventuali punti fissi del fascio.

R. 1) aR − { } − 2 ; 2)

1 2

3 6 2

2

+

− −

= x

x

y x ; 3) F

1

( 0 ; 3 ) , F

2

( − 1 ; 5 ) .

Problema n. 4

È dato il fascio di curve di equazione:

1 2

) 4

( kx

2

ky

2

= − Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

(2)

= 6

k , k = − 2 , 3

= 4

k , k = 0 , k = 4 (porre particolare attenzione alla scelta della scala e alla precisione del disegno)

R. 1) 0 < k < 4 ; 2) 3

= 4

k ; 3) k < 0 ; 4) k > 4 ; 5) 8 y

2

− 1 = 0 (per k=4), 4 x

2

− 1 = 0 (per k=0) ;

6)  

 

 4

; 2 2 1

F

1

,  

 

 −

4

; 2 2 1

F

2

,  

 

 − 4

; 2 2 1

F

3

,  

 

 − − 4

; 2 2 1 F

4

Problema n. 5

Determinare il luogo γ dei vertici del fascio di parabole y = x

2

− 2

(

k + 1

)

x + 3 k + 1

(

k ∈ ℝ

).

Soluzione

Ricordando che il vertice di una parabola è

4

2

2 ; 4

b ac b

V a a

 

 

  , possiamo scrivere le equazioni

parametriche di γ :

( ) ( )2

1

4 3 1 4 1

4

x k

k k

y

= +

 

 = + − +



Ed eliminando k otteniamo l’equazione: y = − x

2

+ 3 x + 2 . Il luogo geometrico dei vertici del fascio di parabole è dunque ancora una parabola.

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

(3)

Problema n. 6

Dato il fascio di parabole

( ) 2

2

( )

1 1

4

y = m x + mx + m + m

,dimostrare che tutte le parabole

passano per uno stesso punto A.

Soluzione

Consideriamo il sistema delle equazioni delle generatici del fascio:

( )

2

2 1 1

4 2

2 1

2

0

x x x

y x

+ + = + =

 

= − +



e otteniamo la soluzione doppia F

1

= F

2

= − ( ) 1 1 2 4 ; . Si tratta quindi di un fascio di parabole tangenti.

Problema n. 7

Scrivere l’equazione del fascio di parabole passanti per i punti A ( 1; 0 ) e B ( 2;1 ) . Determinare poi l’equazione della parabola avente come asse di simmetria la retta 1

x = 2 . I modo

Le parabole degeneri che generano il fascio sono:

( )( ) 2

1 2

: 1 2 3 2

: 1

P x x x x

P y x

− − = − +

= − .

L’equazione del fascio è dunque:

( ) (

2

)

2 ( )

: 1 3 2 1 3 2 1

F x − − y + a xx + → y = ax + − a x + a − . Per determinare la parabola del fascio avente l’asse 1

x = 2 , poniamo 1

2 2

b

a = e otteniamo:

3 1 1

2 2

a a − = che fornisce 1

a = 2 .

La parabola cercata è quindi: 1

2

1

2 2

y = xx . II modo

La generica parabola del fascio ha equazione y = ax

2

+ bx + c

.

Poiché i punti A e B appartengono a tutte le parabole del fascio, consideriamo il sistema:

0

4 2 1

a b c

a b c

+ + =

 

+ + =

 da cui ricaviamo:

1 3

2 1

b a

c a

= −

 

= −

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

(4)

Considerato il fascio di parabole F : y = ax

2

+ (

23

− 7 a x ) + 10 a

43

, si richiede di:

1) determinare i punti base del fascio;

2) determinare l’equazione del luogo dei vertici delle parabole del fascio;

3) determinare le parabole del fascio aventi il vertice sulla retta di equazione 3y-10x+32=0.

Soluzione

Per determinare le coordinate dei punti base individuiamo le equazioni delle curve generatrici del fascio. Rielaborando l’equazione si ottiene: (

23

x − − y

43

) + a x (

2

− 7 x + 10 ) = 0 .

Le curve generatrici (parabole degeneri) hanno equazioni: P

1

:

23

x − − = y

43

0 e P

2

: x

2

− 7 x + 10 = 0 . Risolvendo il sistema composto da dette equazioni

2 4

3 3

2

0

7 10 0

x y

x x

− − =

 

− + =

si ottengono come soluzioni i punti di coordinate F

1

( 2; 0 ) e F

2

( 5; 2 ) . Le parabole del fascio sono dunque secanti. La retta

2 4

3

x − − = y

3

0 e la coppia di rette

2

7 10 0

xx + = rappresentano le parabole degeneri.

Per scrivere l’equazione del luogo dei vertici delle parabole del fascio, è necessario determinare le coordinate del vertice della generica parabola del fascio e comporre il sistema che esprime dette coordinate in funzione del parametro; l’equazione cartesiana del luogo si ricava eliminando il parametro.

Ricordando che il vertice della parabola y = ax

2

+ bx + c è

4

2

2 ; 4

b ac b

V a a

 

 

  , possiamo scrivere le

equazioni parametriche di γ :

2

21 2

6

81 36 4

36

v

v

x a

a

a a

y a

 =

 

− +

 =



Ed eliminando a otteniamo l’equazione:

( )

( )

2 2

2

3 2 7

y x

x

= −

.

Determiniamo ora le parabole del fascio aventi il vertice sulla retta assegnata di equazione 3y − 10x + 32 = 0 .

Imponendo che le coordinate del vertice soddisfino la precedente relazione, si ottiene la seguente equazione:

81

2

36 4 21 2

3 10 32 0

36 6

a a a

a a

− + −

⋅ − ⋅ + =

che semplificata, con a≠0, diventa:

2 2 2

1 3 2 3

81 a − 36 = 0 ⇒ a = ∨ a = −

Esistono due parabole del fascio con il vertice sulla retta indicata e le loro equazioni si ricavano sostituendo nell’equazione del fascio di parabole i valori trovati:

16 2

3

:

23

4

3

P y = xx +

16 2

4

:

23 3

8

P y = − x + x.

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

(5)

Problema n. 9

Determinare l’equazione dei luoghi dei vertici dei seguenti fasci di parabole:

1) y = x

2

( a 1 ) x + 1 R. y = − 1 x

2

2) y = kx

2

− 2 x + − 2 k R. y ( x 1 )

2

x

= − −

3) y = ( 4 + k x )

2

+ 8 x − + k 1 R. y 4 x

2

5 x 4

x + +

=

4) y = kx

2

− 4 x + 6 R. y = − 6 2 x ( x 0 )

Problema n. 10

Nel fascio y = kx

2

+ 2 x trovare:

1) la retta del fascio R. [y = 2x]

2) i punti base (punti fissi) del fascio R. [O(0;0)]

3) la parabola tangente alla retta di equazione y = 2 x R. [lo sono tutte]

4) la parabola con k > 0 che forma con l’asse x un segmento parabolico di area 3. R. [k = 2/3]

5) l’equazione del luogo L dei vertici R. [y = x]

Problema n. 11

Studiare il fascio di parabole y = kx

2

(

k + 1

)

x + 1 al variare di k in ℝ , indicando gli eventuali punti base e le parabole degeneri. Trovare l’equazione del luogo descritto dai vertici delle parabole.

Soluzione

Rielaborando l’equazione si ottiene:

(

2

)

1 0

y + − + x kx + x =

e osservare che per k = 0 esso si riduce alla retta y + − = x 1 0 , mentre l’altra parabola degenere è

2

0

x x

− + = che rappresenta la coppia di rette parallele all’asse y di equazioni x = 0 e x = 1 . Le generatrici del fascio sono anche gli elementi degeneri del fascio stesso.

Le generatrici si incontrano nei punti F

1

( 1; 0 ) e F

2

( 0;1 ) , punti base (punti fissi) del fascio.

Il vertice V di una generica parabola del fascio ha coordinate:

( )

2

1 2

1 4

v

v

k k

k k x

y

=

 

− −

= +

 

Ricavando k in funzione di x nella prima equazione, si ottiene

1

2x 1

k =

. Questo valore, sostituito nella seconda, fornisce l’equazione del luogo dei vertici:

(

211

)

2

( )

2

4 2 1

1 1

1 2

x x

y x

x

− −

= − =

Attenzione

: i risultati non sono stati ricontrollati, si prega di segnalare le eventuali imprecisioni

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;

2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.

5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).

Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:

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