Classe IV Sez. E, F
I gruppo di esercizi (Esercizi sui fasci di coniche e i luoghi geometrici)
Problema n. 1
È dato il fascio di curve di equazione:
( )
1 2
2
1 +
+
= + kx
x y k
1) Determinare per quali valori del parametro k ∈ R l’equazione rappresenta un’iperbole equilatera traslata.
2) Determinare l’equazione del luogo dei centri della famiglia di iperboli.
R. 1) k ∈ R − { } 0 ; 1 ; 2)
x
y = − x
2+ 1 escluso il punto P (− 1 ; 2 ) .
Problema n. 2
È dato il fascio di curve di equazione:
1 3
5 ) 1 (
+ +
−
= −
k kx
k x y k
1) Determinare per quali valori del parametro k ∈ R l’equazione rappresenta un’iperbole equilatera traslata.
2) Determinare l’equazione del luogo dei centri della famiglia di iperboli.
3) Determinare gli eventuali punti fissi del fascio.
R. 1)
−
−
∈ 4
; 1 2
; 1 0 R
k ; 2) y = x + 4 esclusi i punti P
1( − 3 ; 1 ) , P
2( − 5 ; − 1 ) , P
3( 1 ; 5 ) ; 3) F
1( − 5 ; 5 ) , )
1
; 1
2
( −
F .
Problema n. 3
È dato il fascio di curve di equazione:
0 3
) 2
( a + x
2+ ax + − y =
1) Determinare per quali valori del parametro a ∈ R
l’equazione rappresenta una parabola.2) Determinare l’equazione del luogo dei vertici della famiglia di parabole.
3) Determinare gli eventuali punti fissi del fascio.
R. 1) a ∈ R − { } − 2 ; 2)
1 2
3 6 2
2+
−
− −
= x
x
y x ; 3) F
1( 0 ; 3 ) , F
2( − 1 ; 5 ) .
Problema n. 4
È dato il fascio di curve di equazione:
1 2
) 4
( k − x
2− ky
2= − Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
= 6
k , k = − 2 , 3
= 4
k , k = 0 , k = 4 (porre particolare attenzione alla scelta della scala e alla precisione del disegno)
R. 1) 0 < k < 4 ; 2) 3
= 4
k ; 3) k < 0 ; 4) k > 4 ; 5) 8 y
2− 1 = 0 (per k=4), 4 x
2− 1 = 0 (per k=0) ;
6)
4
; 2 2 1
F
1,
−
4
; 2 2 1
F
2,
− 4
; 2 2 1
F
3,
− − 4
; 2 2 1 F
4Problema n. 5
Determinare il luogo γ dei vertici del fascio di parabole y = x
2− 2
(k + 1
)x + 3 k + 1
(k ∈ ℝ
).Soluzione
Ricordando che il vertice di una parabola è
4
22 ; 4
b ac b
V a a
−
−
, possiamo scrivere le equazioni
parametriche di γ :
( ) ( )21
4 3 1 4 1
4
x k
k k
y
= +
= + − +
Ed eliminando k otteniamo l’equazione: y = − x
2+ 3 x + 2 . Il luogo geometrico dei vertici del fascio di parabole è dunque ancora una parabola.
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
Problema n. 6
Dato il fascio di parabole
( ) 22
( )1 1
4
y = m − x + mx + m + m ≠
,dimostrare che tutte le parabolepassano per uno stesso punto A.
Soluzione
Consideriamo il sistema delle equazioni delle generatici del fascio:
( )
22 1 1
4 2
2 1
2
0
x x x
y x
+ + = + =
= − +
e otteniamo la soluzione doppia F
1= F
2= − ( ) 1 1 2 4 ; . Si tratta quindi di un fascio di parabole tangenti.
Problema n. 7
Scrivere l’equazione del fascio di parabole passanti per i punti A ( 1; 0 ) e B ( 2;1 ) . Determinare poi l’equazione della parabola avente come asse di simmetria la retta 1
x = 2 . I modo
Le parabole degeneri che generano il fascio sono:
( )( ) 2
1 2
: 1 2 3 2
: 1
P x x x x
P y x
− − = − +
= − .
L’equazione del fascio è dunque:
( ) (
2)
2 ( ): 1 3 2 1 3 2 1
F x − − y + a x − x + → y = ax + − a x + a − . Per determinare la parabola del fascio avente l’asse 1
x = 2 , poniamo 1
2 2
b
− a = e otteniamo:
3 1 1
2 2
a a − = che fornisce 1
a = 2 .
La parabola cercata è quindi: 1
21
2 2
y = x − x . II modo
La generica parabola del fascio ha equazione y = ax
2+ bx + c
.Poiché i punti A e B appartengono a tutte le parabole del fascio, consideriamo il sistema:
0
4 2 1
a b c
a b c
+ + =
+ + =
da cui ricaviamo:
1 3
2 1
b a
c a
= −
= −
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
Considerato il fascio di parabole F : y = ax
2+ (
23− 7 a x ) + 10 a −
43, si richiede di:
1) determinare i punti base del fascio;
2) determinare l’equazione del luogo dei vertici delle parabole del fascio;
3) determinare le parabole del fascio aventi il vertice sulla retta di equazione 3y-10x+32=0.
Soluzione
Per determinare le coordinate dei punti base individuiamo le equazioni delle curve generatrici del fascio. Rielaborando l’equazione si ottiene: (
23x − − y
43) + a x (
2− 7 x + 10 ) = 0 .
Le curve generatrici (parabole degeneri) hanno equazioni: P
1:
23x − − = y
430 e P
2: x
2− 7 x + 10 = 0 . Risolvendo il sistema composto da dette equazioni
2 4
3 3
2
0
7 10 0
x y
x x
− − =
− + =
si ottengono come soluzioni i punti di coordinate F
1( 2; 0 ) e F
2( 5; 2 ) . Le parabole del fascio sono dunque secanti. La retta
2 43
x − − = y
30 e la coppia di rette
2
7 10 0
x − x + = rappresentano le parabole degeneri.
Per scrivere l’equazione del luogo dei vertici delle parabole del fascio, è necessario determinare le coordinate del vertice della generica parabola del fascio e comporre il sistema che esprime dette coordinate in funzione del parametro; l’equazione cartesiana del luogo si ricava eliminando il parametro.
Ricordando che il vertice della parabola y = ax
2+ bx + c è
4
22 ; 4
b ac b
V a a
−
−
, possiamo scrivere le
equazioni parametriche di γ :
221 2
6
81 36 4
36
v
v
x a
a
a a
y a
−
=
− +
=
Ed eliminando a otteniamo l’equazione:
( )( )
2 2
23 2 7
y x
x
= −
− .
Determiniamo ora le parabole del fascio aventi il vertice sulla retta assegnata di equazione 3y − 10x + 32 = 0 .
Imponendo che le coordinate del vertice soddisfino la precedente relazione, si ottiene la seguente equazione:
81
236 4 21 2
3 10 32 0
36 6
a a a
a a
− + −
⋅ − ⋅ + =
che semplificata, con a≠0, diventa:
2 2 2
1 3 2 3
81 a − 36 = 0 ⇒ a = ∨ a = −
Esistono due parabole del fascio con il vertice sulla retta indicata e le loro equazioni si ricavano sostituendo nell’equazione del fascio di parabole i valori trovati:
16 2
3
:
234
3P y = x − x +
16 2
4
:
23 38
P y = − x + x − .
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
5) Determinare le equazioni delle coniche degeneri (coppie di rette).
Determinare per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta:
1) un’ellisse; 3) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse;
2) una circonferenza; 4) un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate.
Problema n. 9
Determinare l’equazione dei luoghi dei vertici dei seguenti fasci di parabole:
1) y = x
2− ( a − 1 ) x + 1 R. y = − 1 x
22) y = kx
2− 2 x + − 2 k R. y ( x 1 )
2x
= − −
3) y = ( 4 + k x )
2+ 8 x − + k 1 R. y 4 x
25 x 4
x + +
=
4) y = kx
2− 4 x + 6 R. y = − 6 2 x ( x ≠ 0 )
Problema n. 10
Nel fascio y = kx
2+ 2 x trovare:
1) la retta del fascio R. [y = 2x]
2) i punti base (punti fissi) del fascio R. [O(0;0)]
3) la parabola tangente alla retta di equazione y = 2 x R. [lo sono tutte]
4) la parabola con k > 0 che forma con l’asse x un segmento parabolico di area 3. R. [k = 2/3]
5) l’equazione del luogo L dei vertici R. [y = x]
Problema n. 11
Studiare il fascio di parabole y = kx
2−
(k + 1
)x + 1 al variare di k in ℝ , indicando gli eventuali punti base e le parabole degeneri. Trovare l’equazione del luogo descritto dai vertici delle parabole.
Soluzione
Rielaborando l’equazione si ottiene:
(
2)
1 0
y + − + x k − x + x =
e osservare che per k = 0 esso si riduce alla retta y + − = x 1 0 , mentre l’altra parabola degenere è
2
0
x x
− + = che rappresenta la coppia di rette parallele all’asse y di equazioni x = 0 e x = 1 . Le generatrici del fascio sono anche gli elementi degeneri del fascio stesso.
Le generatrici si incontrano nei punti F
1( 1; 0 ) e F
2( 0;1 ) , punti base (punti fissi) del fascio.
Il vertice V di una generica parabola del fascio ha coordinate:
( )
21 2
1 4
v
v
k k
k k x
y
=
− −
= +
Ricavando k in funzione di x nella prima equazione, si ottiene
12x 1
k =
−. Questo valore, sostituito nella seconda, fornisce l’equazione del luogo dei vertici:
(
211)
2( )
24 2 1
1 1
1 2
x x
y x
x
−
−
− −
= − =
−
Attenzione